6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 温州科技高级中学 | 张明 1.7.2013 大家好，今天我们来学习第六章的第一节内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这两个原理是解决计数问题的基础，非常重要。希望通过今天的学习，大家能够掌握它们的核心思想，并能运用它们解决一些实际问题。 ‹#› 新课引入 同学们，什么是计数？ 汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容。那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？ 这就需要“数（shǔ）出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数。 思考：在生活中，还有哪些场景需要用到“计数”的思想？ 1.7.2013 首先，我们来思考一个问题：什么是计数？大家看这个例子，汽车牌照的号码是怎么来的？它涉及到从字母和数字中选择并排列。当车辆增多，号码不够用时，就需要设计新的方案，这就需要计算出一共有多少种可能的号码组合。这个“数清楚有多少种”的过程，就是我们今天要探讨的计数。 ‹#› 生活中的计数问题 日常生活、生产中类似的计数问题大量存在。当数量较少时，逐一列举、逐个计数是最直观的方法。但如果问题中涉及的数量非常庞大，我们还能继续用这种“数豆子”的方式吗？ 情境引入 例如： ① 幼儿通过一个一个地数，来计算自己拥有玩具的数量； ② 学校举行班际篮球比赛，确定赛制后，老师需要计算共需举行多少场比赛； ③ 用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列代表不同信号，需要知道共可组成多少种信号。 如果问题中的数量很少，“一个一个地数”不失为一种好方法。 但是，如果数量很多，我们还能这样一个一个地去数吗？ 1.7.2013 像这样的计数问题在生活中随处可见。比如数玩具、安排比赛场次、设计信号等等。当数量很少时，我们可以一个一个地数。但如果数量非常庞大，比如给一个大城市设计汽车牌照，再一个一个数显然是不现实的。那么，当数量很多时，我们该怎么办呢？这就引出了我们今天的主题：寻找解决计数问题的普遍规律。 ‹#› 那就是去寻找解决计数问题的普遍规律，今天先讲两个规律 在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法。这两种方法经过推广，就成了本章将要学习的核心内容：分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 这两个原理是解决所有计数问题的基石，是最基本、最重要的方法。以此为起点，我们还将推导出两类特殊计数问题的标准化公式——排列数公式与组合数公式，从而能高效地解决生活和数学中的各类计数难题。 最后，作为这些计数原理与公式的重要应用与延伸，本章还将学习在数学领域应用广泛的二项式定理。 1.7.2013 解决大量计数问题的关键，就是寻找普遍规律。今天我们要学习的两个基本规律，其实就源于我们非常熟悉的加法和乘法。它们被推广为分类加法计数原理和分步乘法计数原理。掌握了这两个原理，我们就能解决更复杂的计数问题，并且为后续学习排列、组合和二项式定理打下坚实的基础。 ‹#› 新课引入 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字 0-9 共有10个，所以总共可以编出26 + 10 = 36种不同的号码。 探究：你能说说这个问题的特征吗？ 首先，要完成的事情是“给一个座位编号”。其次，关键词“或”表明了选择的分类：每个座位可选择英文字母或阿拉伯数字两类方式编号。由于两类符号互不重复，所以通过这两种方法得到的号码也自然互不相同，最终总数是两者数量之和。 拓展思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 1.7.2013 现在我们来看一个具体的问题。如果用一个大写字母或者一个数字给座位编号，总共有多少种不同的号码？很简单，26个字母加上10个数字，一共36种。这个问题的关键在于“或”字，它表示我们有两类不同的选择方法，一类是字母，一类是数字，而且这两类方法是互不干扰的。大家能想到生活中其他类似的例子吗？ ‹#› 上述计数过程的基本环节是： (1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2)分别计算各类号码的个数； (3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数。 学习新知 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法。 ⚠️ 注意：两类不同方案中的方法必须是互不相同的，即任何一种方法都只能属于某一类方案。 1.7.2013 刚才的思考过程，其实就体现了分类加法计数原理。我们把这件事分成了两类方案：字母和数字。第一类有26种方法，第二类有10种方法。因为每一类方法都能独立完成编号这件事，所以总的方法数就是把它们加起来。这就是分类加法计数原理的核心：完成一件事，有不同的类别，每一类都能独立完成任务，总的方法数就是各类方法数的和。 ‹#› 例题讲评 例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学有5个强项专业，B大学有4个强项专业，且两所大学没有共同的强项专业。 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 【分析】要完成的事情是“选一个专业”。因为这名同学在A、B两所大学中只能选择一所，且只能选择一个专业，同时两所大学没有共同的强项专业，因此，这件事可以分为两类办法来完成，符合分类加法计数原理的条件。 【解】这名同学可选择A大学或B大学。在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法。根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择总数为：N = 5 + 4 = 9（种） 1.7.2013 我们来看一个例题。一名同学想从A、B两所大学中选择一个感兴趣的专业。A大学有5个专业可选，B大学有4个。他的选择可以分为两类：选A大学或者选B大学。这两类选择是独立的，所以总的选择数就是5加4，等于9种。这就是分类加法计数原理的直接应用。 ‹#› 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m₁种不同的方法，在第2类方案中有m₂种不同的方法，在第3类方案中有m₃种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 问题 2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 解析：从甲地到乙地有3类方法： ① 第一类方法：乘火车，有4种方法； ② 第二类方法：乘汽车，有2种方法； ③ 第三类方法：乘轮船，有3种方法。 所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种不同的走法。 1.7.2013 我们再深入一步。如果完成一件事有三类方案呢？方法数是不是就是三类方法数相加？我们来看这个问题，从甲地到乙地有火车、汽车、轮船三种方式。火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那么总的走法就是4加2加3，等于9种。这说明，分类加法计数原理可以推广到多类方案的情况。 ‹#› 完成一件事情，有n类不同方案，在第1类方案中有m₁种不同的方法，在第2类方案中有m₂种不同的方法……在第n类方案中有mₙ种不同的方法。那么完成这件事共有N = m₁ + m₂ + … + mₙ种不同的方法。 分类加法计数原理 核心要点总结 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数，做到“不重不漏”。 1)各类方案之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方案方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 学习新知 特点：各类中的每一个方法都可以独立完成要做的事情，它强调的是“每一类中的任意一个方法”即可完成整件事。 1.7.2013 现在我们来正式总结一下分类加法计数原理。它的定义是：完成一件事，有n类不同方案，那么总的方法数就是每一类方法数的总和。这里的关键有两点：第一，各类方案必须相互独立，也就是说，用任何一类中的任何一种方法都能独立完成整件事。第二，我们需要先确定一个合理的分类标准。这个原理也因此被称为“加法原理”。 ‹#› 练习：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 【解】：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1个。 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)。 例题讲评 变式思考：在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ （提示：可以类比上面的方法，也可以从所有两位数的总数减去“个位数大于十位数”和“个位数等于十位数”的数量来计算。） 1.7.2013 我们来看一个稍微复杂一点的例子。在所有的两位数里，个位数字大于十位数字的有多少个？我们可以按十位数字来分类。十位是1时，个位可以是2-9，共8个；十位是2时，个位可以是3-9，共7个……依此类推，直到十位是8时，个位只能是9，有1个。把这些数加起来，8+7+6+…+1，等于36个。大家思考一下，如果问题变成个位数字小于十位数字，答案又是多少呢？ ‹#› 学习新知 思考：用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 分析：这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码。而在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，得到一个号码必须经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤。用右图的方法可以列出所有可能的号码。 右图是解决计数问题常用的“树形图”。请你尝试画出树形图列出所有可能号码。 我们还可以这样来思考： 由于前6个英文字母的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6 × 9 = 54个不同的号码。 1.7.2013 好，现在我们来看一个新问题。如果要求座位编号必须是一个字母加一个数字，比如A1, A2, B1这样，总共有多少种呢？这个问题和之前的不一样了。它不是“或”的关系，而是“和”的关系。要完成编号，必须先选一个字母，再选一个数字，这是两个步骤。我们可以用树形图来直观地表示，或者直接计算：6个字母，每个字母都能和9个数字组合，所以总共是6乘以9，等于54种。 ‹#› 学习新知 上述问题完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”,其中最重要的特征是“和”字的出现： 一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成,因此得到一个号码必须经过先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字这两个步骤。每个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的。 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有N = m × n种不同的方法。 注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数。 1.7.2013 刚才的问题引出了我们今天的第二个重要原理——分步乘法计数原理。它的核心是“分步”。完成一件事需要分成几个步骤，每一步都有若干种方法，那么总的方法数就是把每一步的方法数相乘。这里的关键是“步骤”，各步骤之间是相互依存的，只有完成了所有步骤，整件事才算完成。这个原理也叫“乘法原理”。 ‹#› 例题讲评 例2.某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 【分析】要完成的一件事是“选男生和女生各1名”。这件事可以分两个步骤依次进行：第1步，从男生中选出1名代表； 第2步，从女生中选出1名代表。只有当两步都完成，这件事才算最终完成。 【解】 ① 第一步，从30名男生中任选1人，有30种不同的选法； ② 第二步，从24名女生中任选1人，有24种不同的选法； 根据“分步乘法计数原理”，总选法数 = 第一步的方法数 × 第二步的方法数。 N = 30 × 24 = 720 (种) 1.7.2013 ‹#› 学习新知 分步乘法计数原理 探究一： 如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 探究二： 如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 分步乘法计数原理定义： 完成一件事情，需要分成个步骤：做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法……做第 步有 种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。 01.核心逻辑：各个步骤相互依存，只有每一步都完成，事情才算完成。总数等于各步方法数的乘积，故又称“乘法原理”。 02.解题关键：首先要根据具体问题的特点确定一个合理的“分步标准”，再依次对每一步的方法数进行计数。 1.7.2013 同样，分步乘法计数原理也可以推广到多个步骤的情况。如果完成一件事需要n个步骤，总的方法数就是每一步方法数的乘积。这里的关键是“依存”，即步骤之间是有先后顺序、相互关联的，必须全部完成。我们需要先确定一个合理的分步标准，然后再进行计算。 ‹#› 学习新知 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题。 区别在于： ◆ 分类加法计数原理：针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； ◆ 分步乘法计数原理：针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。 1.7.2013 现在我们来对比一下这两个原理。它们都用来解决计数问题，但本质不同。分类加法原理针对的是“分类”问题，关键词是“或”，各类方法相互独立，可以任选其一完成任务。而分步乘法原理针对的是“分步”问题，关键词是“和”或“然后”，各步骤相互依存，必须依次完成所有步骤才能完成任务。简单记就是：分类用加法，分步用乘法。 ‹#› 例6.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。 (1) 1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 例题讲评 分析：(1) 要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”，由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，且不同顺序代表不同字符，因此可用分步乘法计数原理解答。 (2) 只需计算多少个字节所能表示的不同字符数量，大于或等于6763即可。 解 (1)：1个字节共有8位，每一位有2种选择。根据分步乘法计数原理，不同字符的个数为： 2 × 2 × ... × 2 (共8个2相乘) = 2⁸ = 256 解 (2)：由(1)知，1个字节仅能表示256个字符，远小于6763。计算2个字节： 前1个字节有256种表示，后1个字节也有256种表示，总数为：256 × 256 = 65536。 结论：因为65536 > 6763，所以每个汉字至少需要用2个字节表示。 1.7.2013 我们来看一个计算机领域的应用。计算机用二进制存储信息，每个字节有8位，每位有0或1两种状态。那么一个字节能表示多少个不同字符呢？这是一个分步问题，每一位都有2种选择，共8位，所以是2的8次方，等于256种。而汉字有六千多个，显然一个字节不够。那两个字节呢？就是256乘以256，等于65536种，这就足够了。所以每个汉字至少需要用2个字节来编码。 ‹#› 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步：做什么事） 如何完成这件事 （第二步：怎么做？） 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 利用乘法原理进行计数 1.7.2013 总结一下解决计数问题的一般思路。第一步，明确要完成的“一件事”是什么。第二步，分析如何完成这件事。关键在于判断是“分类”还是“分步”。如果是分类，各类方法相互独立，就用加法原理；如果是分步，各步骤相互依存，就用乘法原理。这个思维过程非常重要。 ‹#› 例7. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：(1) 报名问题：5名学生中任一名均可报四项中的任一项，故每人有4种选择。需5名学生全部报名完成，因此报名方法种数为：4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ = 1024种。 (2) 冠军争夺问题：每项比赛冠军只有1个，但每位学生都可获此冠军，故每项冠军有5种选择。需产生四项冠军，因此获冠军的可能性为：5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴ = 625种。 例题讲评 易错点：都是“5人”和“4项”，到底是4⁵ 还是 5⁴？混淆了怎么办？ 1.7.2013 我们再来看一个容易混淆的例子。五名学生报名四项比赛，每人限报一项，有多少种报名方法？这里是分步，每个学生都有4种选择，所以是4的5次方。而如果是这五名学生争夺四项比赛的冠军呢？这里是为每个项目选冠军，每个项目有5种选择，所以是5的4次方。大家看，虽然都是人和项目，但因为“做什么事”不同，一个是学生选项目，一个是项目选冠军，所以解法完全不同。通过画图可以帮助我们理清思路。 ‹#› 1、某教学楼有四个不同的楼梯，3名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？ 2、有4名同学要争夺3个比赛的冠军，冠军获得者共有多少可能？ 3、四封信投入三个信箱，有多少种投法？ 4、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？ 巩固提高 43 43 34 510 生1 生2 生3 梯1 梯2 梯3 梯4 生1 生2 生3 生4 冠1 冠2 冠3 信1 信2 信3 信4 箱1 箱2 箱3 客1 客2 客3 10 站1 站2 站3 站4 站5 讲课人：邢启强 5、75600有多少个正约数？有多少个奇约数？ 解：由于 75600 = 2⁴ × 3³ × 5² × 7 1. 75600 的每个约数都可以写成 的形式，其中 分别在各自的范围内任取一个值。 于是，要确定 75600 的一个约数，可分四步完成，即 i, j, k, l 分别在各自的范围内任取一个值。这样 i 有 5 种取法（0,1,2,3,4），j 有 4 种取法（0,1,2,3），k 有 3 种取法（0,1,2），l 有 2 种取法（0,1）。根据分步计数原理，可得约数的个数为：5 × 4 × 3 × 2 = 120 个。 1.7.2013 最后看一个综合题。求75600有多少个正约数。首先我们把它分解质因数，得到2的4次方乘以3的3次方乘以5的2次方乘以7。一个数的约数就是这些质因数的不同组合。对于质因数2，我们可以选0个、1个、2个、3个或4个，共5种选择；同理，3有4种选择，5有3种选择，7有2种选择。这是一个分步问题，所以总的约数个数就是5乘以4乘以3乘以2，等于120个。 ‹#› 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 共同点： 都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的种数问题。 主要不同点： 分类加法计数原理 ①完成一件事，有 类不同的方案； ②各类方案之间相互独立，互不干扰； ③在每一类中任取一种方法，都能直接完成这件事。 分步乘法计数原理 ①完成一件事，需要分成 个不同的步骤； ②各个步骤之间相互联系，依次相依； ③只完成其中一步不能做完，只有做完每一个步骤，这件事才算完成。 💡 解题思路：第一步，明确“要做什么事”； 第二步，判断是“分类完成”还是“分步完成”。 1.7.2013 我们最后再通过一个表格来巩固两个原理的区别。分类加法原理，核心是“分类”，各类独立，用加法。分步乘法原理，核心是“分步”，各步联系，用乘法。解决计数问题的关键思路永远是：第一步，明确要做什么事；第二步，分析是分类完成还是分步完成。 ‹#› 描述分类计数原理和分步计数原理的诗： 两大原理妙无穷， 解题应用各不同； 多思慎密最重要， 茫茫数理此中求。 总结：解决计数问题第一步做什么事很好知道，就是第二步这件事怎么做很难知道。为了知道这件事怎么做，你可以先列出一种结果分析出这件事怎么做。 1.7.2013 这里有一首小诗帮助大家记忆：“两大原理妙无穷，解题应用各不同；多思慎密最重要，茫茫数理此中求。” 总结一下，解决计数问题，关键在于分析“怎么做”。如果感觉无从下手，可以尝试先写出一两种具体的结果，通过分析这些结果是如何构成的，来反推出解题的思路是分类还是分步。 ‹#› 课堂总结 同学们，怎么做千奇百态；做什么简单明白。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。 “教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以一个人不管是谁，只要他是幸福的完整的，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。希望大家也能找到属于自己的方向。 1.7.2013 今天的课就到这里。希望大家不仅学会了计数的两个原理，更能体会到其中蕴含的思维方式。就像诗里说的，人生也是如此，先要明白自己想“做什么”，然后思考“怎么做”。希望大家都能找到自己热爱的事情，并为之努力。谢谢大家！ ‹#› $