6.1 课时1 初识分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 课时1 初识分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 1 问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 完成一件什么事 怎么完成这件事 英文字母 有什么要求 给一个座位编号 用一个英文字母或一个阿拉伯数字 方案1： 方案2： 用英文字母编号 用阿拉伯数字编号 26 10 26+10=36 分析： 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出 种不同的号码. 探究1 你能说一说这个问题的特征吗？ 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到了号码的总数. 上述计数过程的基本环节是： (1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2)分别计算各类号码的个数; (3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 一、分类加法计数原理 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 新知归纳 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表. 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ l 解：这名同学可以选择两所大学中的一所.在大学中有种专业选择方法，在大学中有种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为：. A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 探究2 如果完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ ++ 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， ..... 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法. 分类加法计数原理推广: 新知归纳 分类加法计数原理的应用 1.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4.若某个焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有(　　)种. A.9 B.11 C.13 D.15 解析:按照可能脱落的焊接点的个数分为四类: 第1类:脱落1个,则有(1),(4)共2种情况; 第2类:脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况; 第3类:脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况; 第4类:脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种情况. 综上,由分类加法计数原理知,共有2+6+4+1=13种情况,故选C. C 解:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类, 在每一类中满足题目条件的两位数分别有： 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 由分类加法计数原理,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 个. 个位 十位 1 2,3,4,5,6,7,8,9 2 3,4,5,6,7,8,9 …… …… 36 问题2 用前6个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，，…，，，,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 完成一件什么事 怎么完成这件事 英文字母 有什么要求 说一说： 问题2 用前6个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，，…，，，,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 分析：树状图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 A9 与字母A对应的编号有9种 字母 数字 得到的号码 追问1：你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 也可能这样思考：由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码. 问题3 你能说一说这个问题的特征吗？ 上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成. 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的. 二、分步乘法计数原理 一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 注意：(1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数; (2)各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成. 新知归纳 例2 某班有男生名、女生名，从中任选男生和女生各名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解：任选男生和女生各1人，可以分两个步骤完成： 分析： 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为 完成一件什么事 怎么完成这件事 英文字母 有什么要求 选两名班级代表 1名男生和1名女生 第1步： 第2步： 选男生 选女生 N =30×24=720 第步，从名男生中选出人，有种不同选法； 第步，从名男生中选出人，有种不同选法. 问题4 如果完成一件事需要三个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有类不同方案，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ..... 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法. 分类乘法计数原理推广: 新知归纳 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 分析：(2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法） 解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 3.从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成多少条不同的抛物线? 解:解答本题需分三步完成, 第1步,选系数a(a不能为0),有5种选法; 第2步,选系数b,有5种选法; 第3步,选系数c,有4种选法. 根据乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4=100. 若要求该二次函数的顶点在第一象限且过原点,此时抛物线的条数为多少? 思考 3.从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成多少条不同的抛物线? 解:分三步: 第1步,c=0,只有1种选法; 第2步,确定a,a从-2,-1中选一个,有2种不同选法; 第3步,确定b,从1,2,3中选一个,有3种不同选法. 根据乘法计数原理得1×2×3=6,故抛物线的条数为6. 若要求该二次函数的顶点在第一象限且过原点,此时抛物线的条数为多少? 思考 1.解答计数问题的一般思路： 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 方法的分类 过程的分步 利用加法原理进行计数 利用乘法原理进行计数 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 区别 注意 2.两个原理的异同点 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） $