已知函数的单调性、极值、最值求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

已知函数的单调性、极值、最值求参数问题专项训练 已知函数的单调性、极值、最值求参数问题专项训练 考点目录 已知函数的单调性求参数问题 已知函数的极值求参数问题 已知函数的最值求参数问题 考点一 已知函数的单调性求参数问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北·期中·多选）已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 例5．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 例6．（2025·广东广州·一模）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 例7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知函数在定义域内单调递增． (1)求取值范围． (2)若，求在处的切线方程． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 变式2．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考·多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C． D． 变式4．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________． 变式5．（25-26高二上·河北沧州·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 变式6．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围. 变式7．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 考点二 已知函数的极值求参数问题 例1．（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·贵州·模拟预测·多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 例4．（24-25高二下·福建泉州·月考）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 例5．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的极小值大于0，则的取值范围为__________. 例6．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 例7．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数的极大值点是2. (1)求的值； (2)若在上有3个零点，求的取值范围. 变式1．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式3．（25-26高三上·湖北黄冈·期末·多选）已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．若时，的值域为，则的取值范围为 D．曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 变式4．（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 变式5．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 变式6．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若函数，当时，函数有极值． (1)求的值. (2)方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 变式7．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 考点三 已知函数的最值求参数问题 例1．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 例2．（24-25高二下·江苏无锡·月考）函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知函数的最小值为0，则实数a的取值范围为______. 例4．（2025·上海·模拟预测）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 变式1．（2025·四川自贡·模拟预测）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 变式4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知函数的单调性、极值、最值求参数问题专项训练 已知函数的单调性、极值、最值求参数问题专项训练 考点目录 已知函数的单调性求参数问题 已知函数的极值求参数问题 已知函数的最值求参数问题 考点一 已知函数的单调性求参数问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 例3．（25-26高三上·河北·期中·多选）已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知函数定义域为， 由可得， 当函数在单调递增时，即二次函数在上恒大于或等于0， 则必有，所以A，C正确； 如图，当时也满足题意， 所以，，B错误，D错误； 故选：AC. 例4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 例5．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例6．（2025·广东广州·一模）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因为在处取得极值，所以，解得 检验：将代回得， 令得或， 所以，在和单调递增，在区间单调递减 所以在处取得极小值，满足题意. 所以 （2）解：在区间上单调递减，故在上恒成立 即在上恒成立，令 故，解得 所以a的取值范围为. 例7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知函数在定义域内单调递增． (1)求取值范围． (2)若，求在处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，， 又函数在定义域内单调递增，故在定义域内恒成立，即， 又由均值不等式得，，当且仅当，即时等号成立， ， 取值范围为. （2）当时，，则，， 又， 由点斜式可得，. 即. 故在处的切线方程为. 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 变式2．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 变式3．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考·多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意得， 函数恰好有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即有两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围是. ，，故A正确； ，故B错误； ，，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 变式4．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，所以. 又因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立，且在定义域内. 即，所以， 即实数的取值范围为. 变式5．（25-26高二上·河北沧州·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 【答案】 【详解】，因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立．即在区间上恒成立，所以，， 因为，所以，当时，取得最大值， 所以，则的最小值为. 变式6．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为定义域为，， 要使为增函数，则要满足在区间上恒成立， 又恒成立，所以恒成立，即在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以，得到， 所以的取值范围是. 变式7．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，， 则切线的斜率，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立.记函数，则， 因为，所以，所以在区间上为增函数， 故，所以，所以的取值范围为. 考点二 已知函数的极值求参数问题 例1．（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】函数求导得， 由题意知， 则，解得或， 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值. 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 满足条件的是． 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 例3．（2026·贵州·模拟预测·多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】. 当时，，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，令，得或， 当时，，则得或；得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，在上单调递增，没有极值； 当时，，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，，则符合题意的有ABC选项. 故选：ABC 例4．（24-25高二下·福建泉州·月考）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 例5．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的极小值大于0，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】. 因为的极小值大于0，所以存在两个不同的根，设， 当或时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减，则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又，显然是的零点， 所以方程无实数根，即，即， 因为， 若，因为在单调递增，结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故的取值范围为， 故答案为： 例6．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由题意可知，即，解得， 经检验是函数的极小值点，所以. （2）由（1）可知，令，解得或， 当时，，当时，， 所以在处取得极大值，， 又，，， 所以函数在上的值域为. 例7．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数的极大值点是2. (1)求的值； (2)若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. （2）由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 变式2．（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】， 若，，此时单调递增，故无极大值，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 故1为的极大值点，，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 则为的极大值点， 所以， 所以，所以，解得. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·湖北黄冈·期末·多选）已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．若时，的值域为，则的取值范围为 D．曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 【答案】BC 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点， 所以， 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，法一：， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即； 法二：由于，令，则， 令，， 所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确； 对于C，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有1个不同的公共点，故D错误. 故选：BC. 变式4．（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 变式5．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若函数，当时，函数有极值． (1)求的值. (2)方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得， 因为函数有极值，所以，解得， 此时，经检验符合题意， 故. （2）由（1）可知，令，解得或， 当变化时，，的变化情况如表， 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值；当时，有极小值． 则函数的图象如图所示：    由图象知要使关于的方程有三个不等实根，则应满足， 即实数的取值范围是. 变式7．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值，最小值 【详解】（1）， ∵在处有极值， ∴， 即，解得，     经检验，符合题意，∴，. （2）由（1）可知，， 令，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x -1 1 3 + 0 - 单增 单减 2 ∴当时，有最大值，当时，有最小值. 考点三 已知函数的最值求参数问题 例1．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 例2．（24-25高二下·江苏无锡·月考）函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 因为函数在区间上存在最大值与最小值， 所以，所以. 例3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知函数的最小值为0，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】函数定义域为，显然. 1°当时，， 当时，函数在上单调递减，； 当时，函数在上单调递减，其取值集合为. 函数在上单调递增，其取值集合为. 因此存在，使得.于是，不符合题意； 2°当时，. 令，，得，即在上单调递增. ，，即有. 当时，，即， 当且仅当时取等号； 当时，.显然当时，，函数在上单调递减，，不符合题意. 综上，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例4．（2025·上海·模拟预测）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（2025·四川自贡·模拟预测）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数的定义域为，， 因此，当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以的极大值为，极小值为， 令，得，化简得，解得或， 因为函数在上存在最小值，所以，解得， 故选：C. 变式3．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 变式4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 【答案】 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $