期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 考点目录 导数的定义与计算 切线问题 利用导数研究极值与最值问题 考点一 导数的定义与计算 例1．（25-26高二下·山东青岛·月考）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，A错误； 选项B：化简得，求导得，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误. 例2．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算即可． 【详解】由题意得， 故． 例3．（25-26高二下·江苏无锡·期中·多选）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：. 正确. 选项B：. 原式错误. 选项C：.原式错误. 选项D :. 正确. 例4．（25-26高二下·河南周口·月考）已知函数（是的导函数），则__________. 【答案】 【分析】求导，得到，代入，求出，得到函数解析式，再代入求出答案. 【详解】因为函数，所以， 故， 即，解得：， 则， 故. 变式1．（25-26高二下·重庆·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，因为，所以C正确； 对于D，因为，所以D错误. 变式2．（25-26高二下·广东中山·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得. 变式3．（25-26高二下·河南南阳·期中·多选）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B， ，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 变式4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）若函数，则______. 【答案】 【详解】由题意得：，所以， 解得. 考点二 切线问题 例1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 例2．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，即， 解得或（负值舍去），则， 则，故. 例3．（2026·辽宁辽阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 例4．（25-26高二下·安徽·期中）是函数与的公切线，则______. 【答案】 【分析】设切点坐标，由导数的几何意义进行求解． 【详解】设的切点为， ∴，∴， ∴切点为， ∴， 设的切点为， 由，得， 得切点为，则， 得， ∴. 例5．（25-26高二下·上海徐汇·期中）曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为______． 【答案】 【分析】求出切线方程，可求出该切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，则，所以，，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 在直线中，令可得， 故直线与轴、轴分别交于点、， 故曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为. 例6．（25-26高二下·四川乐山·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】本题为导数几何意义与函数零点问题的综合应用，将过点有两条切线的问题，转化为方程有两个不同实数根的问题，通过导数研究函数的单调性与极值，最值确定的取值范围. 【详解】解：由题意得，设切点为，则切线的斜率， 设切线方程为，又点在切线上，所以, 化简得，由题意知过点可以作曲线的两条切线， 即关于的方程有两个不同的实数根， 令，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减，所以在处取极大值， 当时，；当时，， 又因为当时，；当时，， 因此要使有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根， 此时实数的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·天津南开·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义列出相应方程组求，即可求得答案. 【详解】函数的导函数， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由已知直线与直线重合， 故，解得， 所以. 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）若曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点在曲线上，所以当时，， 代入可得，即函数， 求导可得， 因为曲线在点处的切线方程是，即切线的斜率为， 所以， 所以，. 变式4．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若函数，则在点处的切线方程为__________． 【答案】 【详解】由题意得，，故切点坐标为. 因为， 所以 所以在处的切线斜率， 在点处的切线方程为，即. 变式5．（25-26高三下·湖北武汉·月考）函数的图象在处的切线方程为___________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以， 又， 所以函数的图象在处的切线方程为:， 即． 变式6．（25-26高二下·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 考点三 利用导数研究极值与最值问题 例1．（25-26高二下·浙江温州·期中）设函数 (1)求在处的切线方程； (2)求在上的极大值点和极大值． 【答案】(1) (2)极大值点为1；极大值为 【分析】（1）对求导，进而得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程； （2）对求导，利用导数分析函数单调性和极值. 【详解】（1）对，代入，即切点为 求导，得：，即切线斜率 则切线方程：. （2）令得得或； 故的减区间为，增区间为和； 所以函数的极大值点为，因为， 所以在上的极大值为. 例2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知函数的极值点分别为和. (1)求函数的解析式，以及在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）利用极值点定义可求出、，即可得的解析式，再利用导数研究函数单调性进行检验；利用导数的几何意义计算可得切线方程； （2）由（1）中所求即可得. 【详解】（1）， 由题意，有， 解得：， 检验：当时，，， 令得或，令得， 所以的增区间为，减区间为， 故和是函数的极值点，符合题意； 所以，则，， 即切点为，切线斜率为， 所以处的切线方程为， 整理得：； （2）由（1）可得增区间为，减区间为. 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，在及处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)在上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求； （2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值. 【详解】（1），因为在及处取得极值， 故有两个解及，故，故， 此时， 当或时，；当时，， 故在及处取得极值，符合题设，故. （2）由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，而，， ，. 故在上的最大值为，最小值为. 例4．（25-26高二下·甘肃天水·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可． 【详解】（1）解：， ， 则函数在处的切线方程为； （2）由（1）知， 令，解得或， 和时，，单调递增； 时，，单调递减； 又， 函数在区间的最大值为，最小值为． 变式1．（25-26高二下·上海浦东新·月考）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)函数的极小值为，无极大值. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值. 【详解】（1）的定义域为，， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）函数的定义域为，. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 变式2．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求得直线方程； （2）由导数确定单调性即可求得极值. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以是的极小值，无极大值. 变式3．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·月考）已知函数 ，且 . (1)求的值； (2)求 在区间 上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数求导，结合条件易得的值； （2）对函数求导，根据导函数的符号确定函数的单调性，求出函数的极值，结合区间端点的函数值，比较即得函数的值域. 【详解】（1）由求导得，则由，可得； （2）由（1）知， 因，当时，，当时，， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故时，取得极小值，也是最小值，， 又，因，则， 故函数的值域为. 变式4．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 考点目录 导数的定义与计算 切线问题 利用导数研究极值与最值问题 考点一 导数的定义与计算 例1.(25-26高二下山东青岛·月考)下列函数的求导正确的是() A.(x2)=-2x B.1 C.(el)=el D.(xcosx)cosx+xsinx 例2.(25-26高二下河北张家口月考)已知函数fx=e-,则im f1+△-f四=（) △0 △x A.1 B.e C.2e D.-e 例3.(25-26高二下·江苏无锡期中·多选)下列函数的导数运算正确的是() 1 A.(xe*)'=e*+xe" B.(2x+= V2x+1 C. sinx 1 1 cOSx cos-x D.[Ig()x 例4.2526商二下-河南周口月考)已知函数=/写x-c02x+5x(f八到是f到的导函数)，则 1 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 变式1.(25-26高二下·重庆·期中)下列求导正确的是() A.(In10)=I 10 ()=x C.xe）=(x+l)e D.(cos3x)=-sin3x 变式2.(25-26高二下广东中山期中)若函数f(x)=2+cos3x,则() 川到 -+3sin3x B.f'x)=2'In2+sin3x C.in D.f(x)=2*In2-3sin3x 变式3.(25-26高二下·河南南阳·期中多选)下列求函数的导数正确的是() B.（x3-2+1'=3x2-2n2 C.(xsinx)'=sinx+xcosx D. Inx_1-Inx 变式4.（2526商二下-江苏扬州期)若函数f=-r-2x+1,则f-1)=一 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 考点二 切线问题 例1.(2026江苏·模拟预测)若直线y=ar+a是曲线y=e的一条切线，则a=() A.-e B.1 C.e D.e2 e 例2.(25-26高二下…浙江温州·期中)已知直线y=x+a是曲线f(x=x2-ln(3x的一条切线，则a=() A.In3 B.-In3 c D 例3.(2026辽宁辽阳二模)函数y=(x+8)3在x=0处的切线方程是() A.x-3y+12=0B.x+3y-12=0C.4x-3y+12=0D.x-3y+4=0 例4.(25-26高二下…安徽期中)y=4x+a是函数fx=e+3x-3b与gx=2x+2lnx的公切线，则ab= 例5.(25-26高二下·上海徐汇期中)曲线f(x=1nx+2x在x=1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为· 例6.(25-26高二下·四川乐山期中)若过点(2，b)可以作曲线y=e*的两条切线，则实数b的取值范围是 变式1.(2526高二下天津南开月考)已知函数f(x=血+。，曲线y=fx在点1，f)处的切线方程为 x+l x ax+2y-3=0,则3a-2b=（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 变式2.(2026·重庆沙坪坝·模拟预测)过坐标原点0可作曲线f(x)=x+xsx的切线条数为() A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 变式3.(25-26高二下…江苏南京·期中)若曲线y=x3+ax+b在点(0,1)处的切线方程是x+y-1=0,则() A.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=1,b=1 变式4.526商=下潮北熊期)若函数八国-2·则/在点L)处的句线方程为 变式5.(25-26高三下·湖北武汉·月考)函数fx)=2x-e的图象在x=0处的切线方程为 变式6.(25-26高二下·江苏无锡·期中)过点Mm,0)的曲线y=(1-x)e的切线有2条，则m的取值范围为 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 考点三 利用导数研究极值与最值问题 例1.(25-26高二下.浙江温州期中)设函数f(x)=x3-6x2+9x-2 (1)求f(x)在x=2处的切线方程： (2)求f(x)在[-1,5]上的极大值点和极大值. 例2.(25-26高二下·福建宁德·期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的极值点分别为-1和0 (1)求函数∫(x)的解析式，以及在x=1处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间. 5 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 例3.(25-26高二下·天津月考)已知函数fd)=x+2+bx,在x=}及r=1处取得极值 3 (1)求a,b的值； (2)求函数y=f(x在[0,2上的最大值与最小值 例4.(25-26高二下甘肃天水月考)已知函数f=+)2-2x+1. (1)求函数f(x)在(0,1)处的切线方程； (2)求函数∫x)在区间-2,1的最大值和最小值. 6 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 变式1.(25-26高二下上海浦东新·月考)已知fx)=lr+1+1 (1)求曲线y=∫(x在点1，∫1)处的切线方程； (②)求函数y=f(x的极值 变式2.(2526高二下山西太原月考)已知函数f(x)=1-x er (1)求曲线y=∫(x在点1，(1月处的切线方程； (2)求函数f(x的极值. 期中培优：导数的定义与计算、切线问题、极值与最值问题专项训练 变式3.(25-26高三上甘肃嘉峪关月考)已知函数fx)=e-ax,且f'(0)=0 (1)求a的值： (2)求f(x)在区间-1,1上的值域。 变式4.(25-26高三上广东梅州期中)己知函数f(x)=-xlnx+2x+1. (1)求函数∫(x)的单调区间以及极值： (2)求函数f(x)在1，e2上的最值 6