由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求距离最值专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求距离最值专项训练 由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求距离最值专项训练 考点目录 由直线与圆的位置关系求参数 由直线与圆的位置关系求距离最值 考点一 由直线与圆的位置关系求参数 例1．（2026·广东肇庆·二模）直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 例3．（2026·辽宁大连·一模·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．存在实数a，使圆O关于直线l对称 C．对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D．直线l被圆O所截弦长最小值为2 例4．（2026·河北·一模·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 例5．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 例6．（25-26高三上·天津南开·期中）已知直线，圆，若圆M截直线l所得两段弧长之比为，则______. 变式1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·宁夏·二模·多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 变式4．（2026·广东清远·二模·多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 变式6．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 考点二 由直线与圆的位置关系求距离最值 例1．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 例3．（24-25高三上·浙江杭州·期中·多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 例4．（24-25高三上·河南南阳·期中·多选）在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积的最大值为3 C．边上的高的最大值为 D．若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 例5．（2026·山西晋城·一模）过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 例6．（25-26高三下·北京·开学考试）若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 变式1．（25-26高二下·上海·月考）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 变式2．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 变式3．（25-26高二上·新疆伊犁·期末·多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 变式4．（2026·安徽芜湖·一模·多选）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 变式5．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为_____. 变式6．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求距离最值专项训练 由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求距离最值专项训练 考点目录 由直线与圆的位置关系求参数 由直线与圆的位置关系求距离最值 考点一 由直线与圆的位置关系求参数 例1．（2026·广东肇庆·二模）直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式求得，得，由点到直线的距离公式列出方程，求得的值，即可判断. 【详解】因为，所以， 即，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以“”是“的面积为”的充分不必要条件. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点， 则应位于直线和切线之间，所以， 所以斜率的最大值为 例3．（2026·辽宁大连·一模·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．存在实数a，使圆O关于直线l对称 C．对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D．直线l被圆O所截弦长最小值为2 【答案】ACD 【分析】对于A：整理直线方程求定点，对于B：判断直线是否过圆心，代入圆心后等式恒不成立；对于C：计算定点到圆心距离小于半径，确定直线与圆恒相交；对于D：利用弦长公式，结合定点与圆心连线垂直时最大，即可算出弦长最小值. 【详解】对于A，整理直线方程为，， 则，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，易得圆心为，若圆O关于直线l对称，则l过圆心， 将代入到得，恒不成立，故B错误； 对于C，易得半径，圆心到定点的距离， 所以定点在圆内，直线与圆有两个不同的公共点，故C正确； 对于D，当直线l与定点和圆心的连线垂直时，直线l被圆O所截弦长最小， 设定点到圆心的距离为，此时， 则弦长为，故D正确. 例4．（2026·河北·一模·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 例5．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 【答案】 【分析】先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与的关系式，再由切线长公式表示出，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出． 【详解】因为抛物线和圆均关于轴对称， 所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，所以， 设，则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则，化简得， 因为， 所以 ． 当且仅当，即，即时，等号成立， 此时． 例6．（25-26高三上·天津南开·期中）已知直线，圆，若圆M截直线l所得两段弧长之比为，则______. 【答案】 或 【分析】弧长之比等于对应圆心角之比，因此两段弧对应的圆心角之比也为，先求出较小弧所对的圆心角，再利用“圆心到弦的距离”求出圆心到直线的距离，最后利用点到直线距离公式求. 【详解】设直线与圆交于两点，圆心为，半径为 因为圆被直线截得两段弧长之比为，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比也为. 故较小弧所对的圆心角为. 设为圆心到弦的垂足，则，并且在等腰三角形中， 平分圆心角，所以 ， 在直角三角形中， . 这说明圆心到直线的距离为. 直线可化为， 由点到直线的距离公式，得 即 ， 两边平方，得， 整理得 解得， 所以或. 变式1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 变式2．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 变式3．（2026·宁夏·二模·多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径. 对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确. 对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误. 对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 变式4．（2026·广东清远·二模·多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 变式5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 变式6．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有且只有一条， 则点在圆上， 所以，解得， 因为，所以. 考点二 由直线与圆的位置关系求距离最值 例1．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 例2．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 例3．（24-25高三上·浙江杭州·期中·多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 例4．（24-25高三上·河南南阳·期中·多选）在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积的最大值为3 C．边上的高的最大值为 D．若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 【答案】BD 【分析】因为．所以．由直接法求轨迹方程即可判断A；当的坐标为时，面积的最大即可判断B；当与圆相切时，到的距离最大，作于点，所以为最大值即可判断C；当时，，此时直线被圆截得的弦长为；当时，不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长求解即可判断D. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 设，则，整理得， 因为顶点不能与，重合， 所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误． 当的坐标为时，，所以B正确． 当与圆相切时，到的距离最大， 如图1，作于点，因为，所以， 所以边上的高的最大值为，故C错误． 如图2，当时，，此时直线被圆截得的弦长为； 当时，由得， 不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长， 此时直线的方程为，圆心到直线的距离， 所以弦长为．故D正确. 故选：BD 例5．（2026·山西晋城·一模）过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 【答案】 【详解】的焦点为，抛物线方程可改写为，则， 设两条切线分别为，切点分别为，如下图： 则， 令，可得．联立的方程，可得， 所以，则，所以， 同理， 则的外接圆以为直径，又， 所以外接圆面积的最小值为． 例6．（25-26高三下·北京·开学考试）若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意作出几何图形，结合几何图形分析出和圆相切时，最小，利用几何关系求出，进而得解. 【详解】 如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小， 由题知，圆心，，则， 连接，由切线的性质，是直角三角形， 于是，则， 由于斜率为，结合图形可知，， 则 变式1．（25-26高二下·上海·月考）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 变式2．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 变式3．（25-26高二上·新疆伊犁·期末·多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 变式4．（2026·安徽芜湖·一模·多选）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意圆，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点到直线的距离为，得到并设，利用向量法及、确定纵坐标的表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D. 【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1， 所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对， 显然点在圆内，若直线过该点， 则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对， 由，则其中点与圆心的距离， 所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错， 若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且， 设，则，与垂直的一个单位向量为， 而，则，又， 所以，而关于对称，则， 所以，，则且， 所以时，最大值为，D对.    故选：ABD 变式5．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】画出图形并根据所求角的范围可知当时，劣弧最小，即可得出劣弧长度的最小值. 【详解】如下图所示： 易知圆心到直线的距离为， 在直角三角形中，，， 所以，所以； 因此可知当时，劣弧最小， 此时，即可得； 所以劣弧AB长度的最小值为. 故答案为： 变式6．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为___________. 【答案】 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      2 学科网（北京）股份有限公司 $