专题12 直线与圆中的切线弦长、距离最值与轨迹问题（6大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题12 直线与圆中的切线弦长、距离最值与轨迹问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用定义或几何条件求轨迹 题型02 圆的切线方程问题 题型03 圆的弦长问题 题型04 两圆的公共弦问题 题型05 两圆的公切线问题 题型06 与圆相关的距离、面积最值 模块三、综合实战演练 一、轨迹方程的求解优先策略： 1.定义法 （1）适用场景 已知条件直接符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的经典定义（如到定点距离为定长、到两定点距离和/差为定值、到定点与定直线距离相等）。 （2）核心步骤 1. 从题干中提取定点、定长、定直线等核心几何要素； 2. 判定轨迹对应的曲线类型（圆/椭圆/双曲线/抛物线）； 3. 直接确定曲线核心参数（如圆的圆心/半径、椭圆的），代入标准方程即可。 2.直译法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 3. 相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 二、与圆相关的距离、面积最值的求解思路 一、距离最值（动点在圆上） 核心公式：圆半径为，核心基础距离为，则最值=基础距离±，最值点在特殊线与圆的交点上。 1. 到定直线的距离最值 求圆心到定直线的距离，圆上点到直线的最大值=，最小值=，最值点在过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点处。 2. 到定点的距离最值 求圆心到定点的距离，圆上点到的最大值=，最小值=，最值点在连线（延长/反向延长线）与圆的交点处。 3. 两圆上点的距离最值 求两圆圆心距，两圆半径，则最大值=，最小值=，最值点在两圆圆心连线上。 二、面积最值（多为圆与直线/定点围成的图形） 核心思路：将面积最值转化为弦长或高的最值（面积公式中定底看高、定高看底），再用距离最值结论求解，核心依托垂径定理。 1. 弦与圆心围成的三角形面积最值 面积（为弦长，为圆心到弦的距离），结合垂径定理，得，当时，取最大值。 2. 弦与定点围成的三角形面积最值 面积（为定点到弦的距离），定看（不变时，弦长最大则面积最大）、定看（不变时，最大则面积最大），分别求弦长/高的最值即可。 3. 圆内接多边形面积最值 同周长/同外接圆的多边形中，正多边形面积最大：圆内接三角形以正三角形面积最大，圆内接四边形以正方形面积最大，直接用正多边形面积公式计算。 题型01 利用定义或几何条件求轨迹 1．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 2．不经过坐标原点的直线被曲线：截得的弦的长度为，则直线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将曲线化为标准方程求圆心及半径，根据垂径定理求的值，确定直线方程后得到与坐标轴交点，再求三角形外接圆的圆心与半径，从而求出圆的方程. 【详解】由得， 则圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线：的距离， 又直线：被曲线：截得的弦的长度为， 所以，解得或（因直线不经过坐标原点，舍去此解）， 则直线：,易得直线与两坐标轴的交点分别为，， 则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆的圆心为，半径为， 所以外接圆的方程为，即． 3．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 4．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 5．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 核心：抓“到定点距离为定长”的圆的定义，或把几何条件转化为“定点+定长”形式，直接定圆心和半径。 1. 定义法：条件为“动点到某定点距离为定值”→定点为圆心，定值为半径，直接写圆的标准方程； 2. 条件转化法：条件为“对定线段视角为直角”“到两点距离平方和为定值”等→设动点坐标，列等式化简，整理为圆的标准/一般方程，提取圆心和半径； 关键：验证方程为圆的形式（系数相等且非0，无项），剔除轨迹上的无效点。 题型02 圆的切线方程问题 1．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 2．过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 3．已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且． （1）则圆的标准方程为________； （2）过点与圆相切的直线方程为________． 【答案】 和 【分析】（1）求出圆心C到直线的距离，然后利用勾股定理即得； （2）首先判断点P在圆外，然后讨论过点P的切线斜率存在时和过点P的直线斜率不存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求. 【详解】（1）圆心C到直线的距离， 圆C的半径， 圆C的方程为． （2）点满足，所以点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设过点P的切线方程为， 即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得， 所以切线方程为； 当过点P的直线斜率不存在时，方程为， 易知直线与圆相切． 综上所述，过点P的切线方程为和， 故答案为：；和 4．已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 【答案】(填也可) 【分析】设，根据两点间的距离公式得到方程，即可求出动点的轨迹为曲线的方程，再设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】设，因为点，，且动点满足， 所以，整理得， 所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆； 直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，所以，解得， 所以直线的方程为，即或. 故答案为：（填也可） 5．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______________. 【答案】或（写出一条即可） 【分析】先求出点关于直线的对称点B的坐标，由题意，经过B的直线与圆相切，分别讨论斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式，分别求出直线，综合分析，即可得答案. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 由题意得，解得，即， 由反射后的直线与圆相切，得过点的直线与圆相切， 圆，变形为，则圆心为，半径为2， 当过点B的直线斜率不存在时，即为， 则圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意， 当过点B的直线斜率存在时，设为k，则方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，反射后光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（写出一条即可） 核心：切线核心性质圆心到切线的距离=半径，分3类情况，勿忘斜率不存在的竖直切线，几何法优先。 1. 已知切点：圆的切线直接套公式→； 2. 已知切线上一点（非切点）：设切线（单独讨论），用圆心到切线距离求，有几解即几条切线； 3. 代数兜底：联立圆与切线方程，令判别式，求解斜率/参数。 题型03 圆的弦长问题 1．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 2．若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先计算直线截圆所得弦长，再利用点到直线距离公式表示直线截圆的弦长，根据弦长相等建立方程，求解并结合的条件确定的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 由两弦长相等，得，两边除以2得. 两边平方得，移项得. ，整理得，即. 因，故，解得. 3．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 4．直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】由等差中项的条件确定直线过定点，且定点在圆内，所以时，的值最小. 【详解】由题意得，即，直线， 整理得，令，解得，故直线过定点， 设圆的圆心为，半径， 且圆心到的距离， 定点在圆内，所以当时，的值最小， 即. 5．已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，过点的直线交圆于，两点，则弦长的最小值为______． 【答案】 【分析】先利用圆的直径端点坐标求出圆心和半径，再根据弦心距与弦长的反比关系，计算出点到圆心的最大弦心距，则可用弦长公式求出弦的最小值. 【详解】已知直径的两个端点为和，根据中点坐标公式，圆心为直径中点： ，，即圆心； 直径长度为，因此半径； 所以圆设点，则定点在圆内， 弦长公式为（为圆心到直线的距离）； 因为直线过点，所以，当且仅当时，取最大值，此时弦长最小； ，代入弦长公式： . 核心：垂径定理（圆心到弦的垂线平分弦）为核心，转化为“圆心到弦的距离、半径、弦长”的勾股关系，几何法远简于代数法。 1. 核心公式：（为圆心到弦所在直线的点线距离，首选）； 2. 步骤：定圆心和半径→求→代公式算弦长； 3. 代数兜底：联立圆与弦的直线方程，韦达定理得，用。 题型04 两圆的公共弦问题 1．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 2．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 3．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 4．两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 5．已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为，即，且，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】圆，即为，圆心为，半径； 圆，即为，圆心为，半径； 则，即，可知圆和圆相交， 两圆方程作差可得，即两圆的公共弦所在直线方程为， 由题意可得，即，且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 核心：两圆方程相减消去二次项，得公共弦所在直线方程，再结合垂径定理求弦长、中点等。 1. 核心步骤：① 设两圆一般方程，两式相减消去项，得公共弦直线方程；② 求其中一个圆的圆心和半径；③ 求圆心到公共弦的距离，用求公共弦长； 2. 关键：两圆相交才有公共弦；公共弦的中点在两圆圆心的连线上，且连心线垂直于公共弦。 题型05 两圆的公切线问题 1．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 2．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 3．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 4．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 5．若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】由题意可知，两圆内切，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 核心：公切线核心关系圆心距、两圆半径、公切线长构成直角三角形，分外离/外切/相交/内切/内含判断公切线条数，几何法求切线方程。 1. 先定条数：外离→4条，外切→3条，相交→2条，内切→1条，内含→0条； 2. 求切线方程：① 设公切线方程（单独讨论斜率不存在的情况）；② 分别用两圆心到公切线的距离=各自半径，列关于的方程组；③ 解方程组得，即得公切线方程； 关键：两圆外切/内切时，公切线过切点，且切点在两圆圆心连线上。 题型06 与圆相关的距离、面积最值 1．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 2．已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 【答案】ACD 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可. 【详解】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 3．若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】根据对称求出圆N的方程，根据两圆的方程可判断A,B，根据点和圆心的距离可判断C,D. 【详解】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. 4．已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BD 【分析】根据题意，圆心，半径，根据直线与圆的位置关系可判断A；将代入圆中，得到，解得即可判断B；对于C，令，即，则，解得即可判断C；先求圆心到原点的距离为，则的最小值是． 【详解】圆，可化为，故圆心，半径， 对于A，圆心到轴的距离，则圆C与轴相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则， ，解得，即b的最大值是5，故B正确； 对于C，令，即，又点在圆上， 所以，解得，则的最小值是，故C错误； 对于D，因为圆心到原点的距离为， 所以的最小值是，故D正确． 故选：BD． 5．已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 核心：距离最值抓“圆心连线/圆心到定直线的垂线”，面积最值转化为弦长/距离最值，最值点均在特殊几何连线上。 一、距离最值（动点在圆上） 1. 到定直线的距离：圆心到直线距离为→最大值，最小值（最值点在过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点）； 2. 到定点的距离：圆心为，→最大值，最小值（最值点在连线延长/反向延长线与圆的交点）。 二、面积最值 1. 圆内弦与圆心围成的三角形：，结合，时面积最大； 2. 弦与定点围成的三角形：（为定点到弦的距离），转化为求弦长或的最值； 3. 圆内接多边形：正多边形面积最大（三角形为正三角形，四边形为正方形）。 关键：所有面积最值最终都归为弦长或距离的最值，先定核心变量再求解。 1．直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】对圆方程变形得，，即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为 直线与圆相切，所以，即. 2．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 3．曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 4．已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 5．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），如下图， 当圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为3，且， 则直线必在的右下方，且与x轴、y轴的正半轴相交， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 6．若实数满足，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，将原问题转化为直线和圆相切问题，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程求解，即得答案. 【详解】由题意知实数满足，即点在圆上， 则可看作点和点的连线的斜率，设点为P，设， 则，即， 当和圆相切时，k取最大值或最小值； 由圆心到直线的距离为， 得，解得或， 故的最大值是0，最小值是. 7．已知直线：，圆：，点为圆上任意一点则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆C恒有两个公共点 C．直线被圆截得最短弦长为 D．当时，点到直线距离最大值为 【答案】ABD 【分析】根据分离参数法即可得到直线的定点，根据直线与圆的位置关系，弦长计算公式及点到直线的距离逐项分析判断即可. 【详解】选项A：将直线整理为关于的方程：. 令，解得，因此直线恒过定点，A正确； 选项B：圆：的圆心为，半径. 圆心到直线恒过定点的距离：， 所以定点在圆内，因此直线与圆恒有两个公共点，B正确； 选项C：由直线的方程易知，直线斜率存在. 又直线方程为，故直线不垂直于直线. 若直线，此时弦心距为，根据弦长公式得，， 所以直线被圆截得弦长，C错误； 选项D：当时，直线方程为，即. 圆心到直线距离为：， 所以圆上点到直线距离最大值为，D正确. 故选：ABD. 8．已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】先由题求出圆心和半径r，由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解判断A；即可判断B；由，时取得最小值即可计算求解判断C；设是圆上一点，推导出点处的切线方程，进而得到点处的切线方程，利用两切线的交点即可分析得到直线的方程，进而求出其所过定点即可判断D. 【详解】由圆得圆的圆心，半径， 对于A，当时，圆心到直线的距离， ∴直线被圆截得的弦长为，A错误； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ∵，∴圆上到直线的距离为1的点有4个，B正确； 对于C，∵为圆的两条切线，∴， ∴，∴， ，∵当时，取得最小值， ∴四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为； 当或时，在处切线的斜率为， ∴在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为； 当或，在处切线满足方程； 综上所述，在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则 ∴坐标满足方程， 即直线方程为：， ∵为直线上的动点，∴， ∴直线，整理可得， 令，解得， ∴直线恒过定点，D正确. 故选：BCD 9．圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 【答案】 【详解】由圆与直线相切于点，得， 解得，圆的圆心为， 过切点的圆的半径所在直线斜率为， 所以直线的斜率为. 10．已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据直线与直线的垂直及直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】两平行直线，均与直线垂直， 且交点分别为，， 所以圆心为的中点，所以， 点到直线的距离， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 11．已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】，记，表示上的点到直线上的距离， 如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为， ，， ． 12．已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 13．动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【分析】利用两点距离公式求出点的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】设，则，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 故点到直线的距离的最大值为. 14．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据条件，求出圆心C和半径r，由题意得，圆心C到直线l的距离小于半径r，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】因为，， 所以AB中点坐标为，直线AB的斜率， 所以与AB垂直的直线的斜率， 则AB的垂直平分线方程为，即， 由题意圆心为直线与的交点，联立解得圆心为， 则圆的半径， 因为直线：与圆相交， 所以圆心到直线l的距离，解得， 则实数的取值范围为 15．已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 【答案】64 【分析】根据斜率关系确定点的轨迹，结合目标式的几何意义求解即可. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 直线与圆中的切线弦长、距离最值与轨迹问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用定义或几何条件求轨迹 题型02 圆的切线方程问题 题型03 圆的弦长问题 题型04 两圆的公共弦问题 题型05 两圆的公切线问题 题型06 与圆相关的距离、面积最值 模块三、综合实战演练 一、轨迹方程的求解优先策略： 1.定义法 （1）适用场景 已知条件直接符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的经典定义（如到定点距离为定长、到两定点距离和/差为定值、到定点与定直线距离相等）。 （2）核心步骤 1. 从题干中提取定点、定长、定直线等核心几何要素； 2. 判定轨迹对应的曲线类型（圆/椭圆/双曲线/抛物线）； 3. 直接确定曲线核心参数（如圆的圆心/半径、椭圆的），代入标准方程即可。 2.直译法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 3. 相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 二、与圆相关的距离、面积最值的求解思路 一、距离最值（动点在圆上） 核心公式：圆半径为，核心基础距离为，则最值=基础距离±，最值点在特殊线与圆的交点上。 1. 到定直线的距离最值 求圆心到定直线的距离，圆上点到直线的最大值=，最小值=，最值点在过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点处。 2. 到定点的距离最值 求圆心到定点的距离，圆上点到的最大值=，最小值=，最值点在连线（延长/反向延长线）与圆的交点处。 3. 两圆上点的距离最值 求两圆圆心距，两圆半径，则最大值=，最小值=，最值点在两圆圆心连线上。 二、面积最值（多为圆与直线/定点围成的图形） 核心思路：将面积最值转化为弦长或高的最值（面积公式中定底看高、定高看底），再用距离最值结论求解，核心依托垂径定理。 1. 弦与圆心围成的三角形面积最值 面积（为弦长，为圆心到弦的距离），结合垂径定理，得，当时，取最大值。 2. 弦与定点围成的三角形面积最值 面积（为定点到弦的距离），定看（不变时，弦长最大则面积最大）、定看（不变时，最大则面积最大），分别求弦长/高的最值即可。 3. 圆内接多边形面积最值 同周长/同外接圆的多边形中，正多边形面积最大：圆内接三角形以正三角形面积最大，圆内接四边形以正方形面积最大，直接用正多边形面积公式计算。 题型01 利用定义或几何条件求轨迹 1．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 2．不经过坐标原点的直线被曲线：截得的弦的长度为，则直线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 3．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 4．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 5．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 核心：抓“到定点距离为定长”的圆的定义，或把几何条件转化为“定点+定长”形式，直接定圆心和半径。 1. 定义法：条件为“动点到某定点距离为定值”→定点为圆心，定值为半径，直接写圆的标准方程； 2. 条件转化法：条件为“对定线段视角为直角”“到两点距离平方和为定值”等→设动点坐标，列等式化简，整理为圆的标准/一般方程，提取圆心和半径； 关键：验证方程为圆的形式（系数相等且非0，无项），剔除轨迹上的无效点。 题型02 圆的切线方程问题 1．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且． （1）则圆的标准方程为________； （2）过点与圆相切的直线方程为________． 4．已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 5．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______________. 核心：切线核心性质圆心到切线的距离=半径，分3类情况，勿忘斜率不存在的竖直切线，几何法优先。 1. 已知切点：圆的切线直接套公式→； 2. 已知切线上一点（非切点）：设切线（单独讨论），用圆心到切线距离求，有几解即几条切线； 3. 代数兜底：联立圆与切线方程，令判别式，求解斜率/参数。 题型03 圆的弦长问题 1．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 4．直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 5．已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，过点的直线交圆于，两点，则弦长的最小值为______． 核心：垂径定理（圆心到弦的垂线平分弦）为核心，转化为“圆心到弦的距离、半径、弦长”的勾股关系，几何法远简于代数法。 1. 核心公式：（为圆心到弦所在直线的点线距离，首选）； 2. 步骤：定圆心和半径→求→代公式算弦长； 3. 代数兜底：联立圆与弦的直线方程，韦达定理得，用。 题型04 两圆的公共弦问题 1．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 5．已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 核心：两圆方程相减消去二次项，得公共弦所在直线方程，再结合垂径定理求弦长、中点等。 1. 核心步骤：① 设两圆一般方程，两式相减消去项，得公共弦直线方程；② 求其中一个圆的圆心和半径；③ 求圆心到公共弦的距离，用求公共弦长； 2. 关键：两圆相交才有公共弦；公共弦的中点在两圆圆心的连线上，且连心线垂直于公共弦。 题型05 两圆的公切线问题 1．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 5．若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 核心：公切线核心关系圆心距、两圆半径、公切线长构成直角三角形，分外离/外切/相交/内切/内含判断公切线条数，几何法求切线方程。 1. 先定条数：外离→4条，外切→3条，相交→2条，内切→1条，内含→0条； 2. 求切线方程：① 设公切线方程（单独讨论斜率不存在的情况）；② 分别用两圆心到公切线的距离=各自半径，列关于的方程组；③ 解方程组得，即得公切线方程； 关键：两圆外切/内切时，公切线过切点，且切点在两圆圆心连线上。 题型06 与圆相关的距离、面积最值 1．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 2．已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 3．若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 4．已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 5．已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 核心：距离最值抓“圆心连线/圆心到定直线的垂线”，面积最值转化为弦长/距离最值，最值点均在特殊几何连线上。 一、距离最值（动点在圆上） 1. 到定直线的距离：圆心到直线距离为→最大值，最小值（最值点在过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点）； 2. 到定点的距离：圆心为，→最大值，最小值（最值点在连线延长/反向延长线与圆的交点）。 二、面积最值 1. 圆内弦与圆心围成的三角形：，结合，时面积最大； 2. 弦与定点围成的三角形：（为定点到弦的距离），转化为求弦长或的最值； 3. 圆内接多边形：正多边形面积最大（三角形为正三角形，四边形为正方形）。 关键：所有面积最值最终都归为弦长或距离的最值，先定核心变量再求解。 1．直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若实数满足，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 7．已知直线：，圆：，点为圆上任意一点则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆C恒有两个公共点 C．直线被圆截得最短弦长为 D．当时，点到直线距离最大值为 8．已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 9．圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 10．已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 11．已知实数满足，则的取值范围是______． 12．已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 13．动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 14．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 15．已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $