利用导数研究恒成立问题、能成立问题、含参单调性问题、零点问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数应用四大核心问题，以题载法构建从单调性到零点问题的逻辑链条，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题|3例+3变式|含参不等式、切线与最值综合|以导数求单调性为基础，通过最值分析转化参数范围| |能成立问题|3例+3变式|存在性不等式、方程有解问题|承接恒成立逻辑，强化"存在性"与"任意性"的辩证思维| |含参单调性|3例+3变式|参数分类讨论、极值点分析|深化导数与函数性质的关联，构建分类讨论标准| |零点问题|3例+3变式|零点个数判断、极值点偏移|整合单调性与最值，建立函数图像与零点关系的直观认知|

函数与导数：利用导数研究恒成立问题、能成立问题、含参单调性问题、零点问题专项训练 函数与导数：利用导数研究恒成立问题、能成立问题、含参单调性问题、零点问题 专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立问题 利用导数研究能成立问题 利用导数研究含参单调性问题 利用导数研究零点问题 考点一 利用导数研究恒成立问题 例1．（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 令，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由对任意恒成立， 得对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则有， 显然为增函数，可得， 则，所以． 由（1）可知， 所以，故的取值范围为． 例2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或， 所以当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 例3．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函数的解析式，即可得出实数的值； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）解不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. （2）因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. （3）由（2）可得，解得， 又因为，故实数的取值范围是. 变式1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 变式2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）条件可转化为为的变号零点，列关系式求； （2）条件可转化为恒成立，利用导数求函数的最小值可得结果. 【详解】（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 变式3．（24-25高三上·上海嘉定·月考）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解. （2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 考点二 利用导数研究能成立问题 例1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，极值点的个数为；当时，极值点的个数为 (2) (3) 【分析】（1）对和分类讨论，即可得到答案； （2）先通过题设条件得到，然后证明满足条件即可； （3）分和进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可. 【详解】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 例2．（25-26高三上·贵州安顺·月考）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 【答案】(1)单调递增区间为，； (2). 【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间； （2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，；时，； 故单调增区间为，； （2）由（1）知，函数在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， ∵，，，， ∴，， 故函数在区间上的最大值为4，最小值为1， ∴， ∴. 例3．（25-26高二下·湖北荆州·期中）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值； （2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围. 【详解】（1）函数，求导得：， 在上单调递增，等价于对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． （2）由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令，得，即； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导求出切线的斜率，代入函数值，根据点斜式方程求出切线方程； （2）将不等式有解问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，对其求导，分析函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ，， ，即, 所以在点处的切线方程为. （2）若在上有解， 即在上有解，即有解， 令，， 令，， ，, 在上单调递增，， ，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取得极小值，即最小值， . 所以.实数的取值范围为. 变式2．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 变式3．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 考点三 利用导数研究含参单调性问题 例1．（25-26高三上·宁夏·期中）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数证明单调性即可； （2）求导，分、，结合导数的符号讨论单调性即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围． 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为，所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数； （2）函数的定义域为， 所以， 当时，，即恒成立，所以在上单调递增； 当时，由得或（舍去）， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； （3）由，得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 例2．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 【答案】(1)当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可； （2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3)1 【详解】（1）当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 （2） 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 变式1．（2026·宁夏·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 变式2．（2026·青海西宁·二模）已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可； （2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【详解】（1），，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以，即，所以，当且仅当，等号成立. 令，则，所以，则. 所以. 综上，，. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 考点四 利用导数研究零点问题 例1．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为,极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间及极值； （2）求导，先利用导数分析函数的单调性，进而结合零点存在性定理求证即可； （3）转化问题为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解的范围即可，进而得到，再结合（1）可得函数在上单调递增，进而判断大小即可. 【详解】（1）当时，，， 则时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 时，函数取得极小值，无极大值. （2）当时，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以根据零点存在性定理可知，函数存在两个零点. （3）由， 即对任意恒成立， 设，， 则， 设，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以实数的取值范围为. 由，，， 则， 由（1）知，函数在上单调递增， 且时，，则，即， 所以函数在上单调递增，又， 所以. 例2．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意可得，， 令可得， 令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数， ， 令，其中， 则， 令，则， 由可得，由可得， 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即恒成立， 所以函数在上单调递减，且， 故当时，，所以，则函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以直线与函数的图象有且只有一个公共点， 故函数在上只有一个零点. 例3．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知，求的零点个数； (3)若，且，求证：. 【答案】(1) (2)有且仅有一个零点 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性，结合区间函数符号及单调性解不等式求解集； （2）利用导数研究的性质，结合零点存在性定理判断零点个数； （3）应用分析法，将问题化为证明，令进一步化为证明，即可证结论. 【详解】（1）已知，对其求导可得，令，解得. 当x变化时，，的变化情况如下表： x - 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当，，又，， 则不等式的解集为. （2）由题意，的定义域为，且. 当时，；当时，. 故在区间上单调递减，在上单调递增. ，. 当时，，，故； 当时，. 在上单调递增， 当时，有且仅有一个零点. （3）由，得，则， 要证，可证，即证. 令，即证，即证. 下证，先证， 设，，， 当，，在上单调递增，则，即. 令， 则只需证明，又， 则 ， 在上单调递减， 则， 即. 变式1．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)1，理由见解析 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （2）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （2）令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 变式2．（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）易知一个零点是，结合与（2）所求的单调性，讨论，与即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，切线斜率，因此切线方程为. （2）， 当时，，故恒成立，因此 在R上单调递减，无单调递增区间； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）可知当时单调递减，仅1个零点，不符合题意，故； 当时，由（2）知最小值为， 令，，令，解得， 所以当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，故， 故，要保证存在两个根，则且，即. 注意到对任意，，即恒为的一个零点， 因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且， 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得， 综上的取值范围是. 变式3．（2026·山西太原·二模）已知函数. (1)若在处的切线经过点，求的值； (2)讨论函数零点的个数； (3)若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1 【分析】（1）根据导数求切线的斜率和切线的方程来进行参数的求解； （2）通过构建辅助函数，研究辅助函数的单调性，从而判断原函数的单调性，然后根据单调性和极值点来判断函数零点的分布和数量； （3）在已知零点个数和分布的情况下，结合第二问得到的结论，通过发现零点间的关系来进行解答. 【详解】（1），求导可得， 当时，，， 所以在处的切线方程为，即， 因为该切线过点，代入可得，解得. （2）易知，， 令， 判别式，解得，分类讨论， 当时，，，在上单调递减，所以有唯一零点， 当时，，，在上单调递增，所以有唯一零点， 当时，令，则或， 当，，，在和上单调递增， 当，，，在上单调递减， 因为，所以在内的零点是； 因为在上单调递减，所以， 当时，，在内有一个零点， 当时，，在内有一个零点， 综上所述，当或时，有一个零点，当时，有三个不同零点. （3）由（2）可知，当时，有三个不同零点， 即在内的零点是，在和内各有一个零点， 设两个零点分别为，， 代入可得，， ，且， 因为在内有一个零点，所以， 所以的三个不同零点的乘积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究恒成立问题、能成立问题、含参单调性问题、零点问题专项训练 函数与导数：利用导数研究恒成立问题、能成立问题、含参单调性问题、零点问题 专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立问题 利用导数研究能成立问题 利用导数研究含参单调性问题 利用导数研究零点问题 考点一 利用导数研究恒成立问题 例1．（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 例2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 例3．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 变式1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 变式2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（24-25高三上·上海嘉定·月考）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 考点二 利用导数研究能成立问题 例1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 例2．（25-26高三上·贵州安顺·月考）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 例3．（25-26高二下·湖北荆州·期中）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 变式3．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 考点三 利用导数研究含参单调性问题 例1．（25-26高三上·宁夏·期中）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 例2．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 变式1．（2026·宁夏·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 变式2．（2026·青海西宁·二模）已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 考点四 利用导数研究零点问题 例1．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 例2．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 例3．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知，求的零点个数； (3)若，且，求证：. 变式1．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 变式2．（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 变式3．（2026·山西太原·二模）已知函数. (1)若在处的切线经过点，求的值； (2)讨论函数零点的个数； (3)若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $