二次函数提升：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度存在性问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

二次函数提升：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度存在性问题专项训练 二次函数提升：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度存在性问题 专项训练 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 角度存在性问题 考点一 特殊三角形存在性问题 例1．（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 例2．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 例3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 变式2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 考点二 特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 变式1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 变式3．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 考点三 角度存在性问题 例1．（2026·上海浦东新区·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 例2．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，其中点，抛物线的对称轴为直线，连接，． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交抛物线于点，连接交线段于点，连接，，点，分别是直线和直线上的动点，且，连接，当四边形面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中四边形面积取得最大值条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，为点的对应点，连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 例3．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式1．（2026·重庆·模拟预测）抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，抛物线的对称轴与交于点，线段在直线上移动，记为，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点，当线段的长度最大时，求周长的最小值： (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式3．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，在直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，点M为直线上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，直线上有—动点N，射线与抛物线交于点Q，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数提升：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度存在性问题专项训练 二次函数提升：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度存在性问题 专项训练 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 角度存在性问题 考点一 特殊三角形存在性问题 例1．（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 例2．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；；③，，， 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 对称轴为直线 （2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​​ 综上所述，的值为，，，． 例3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 变式1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或或或 【分析】（1）令，解方程，求出的值即可； （2）求出点的坐标，运用三角形面积公式可求解； （3）如图2，运用待定系数法求出直线的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题． （4）由于为等腰三角形，分别以，和三种情况进行讨论，通过边相等建立等量关系，就可以求出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 变式2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 变式3．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 考点二 特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 例2．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在该抛物线上，理由见解析 【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，再把点代入，即可求解； （2）连接，设点的坐标为，由平移的性质得：点的坐标为，再由矩形的性质可得，可求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：点不在该抛物线上，理由如下： 如图，连接， 设点的坐标为， 由平移的性质得：点的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 此时点的坐标为， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 变式1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的关系式； （2）连接，设P点坐标，根据，可得，然后利用二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值； （3）分情况进行解答并利用菱形的性质即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接， 对于抛物线， 当时，可有，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接，可得， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M， ∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为， (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】（1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； （3）解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 变式3．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 考点三 角度存在性问题 例1．（2026·上海浦东新区·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得直线与轴的交点为，令，得直线与轴的交点为，结合题意知点，，再进一步求解即可． （2）直线与轴，轴分别交于点，，可得，求解．点坐标为，结合四边形为平行四边形，进一步求解即可． （3）结合题意知：，，，当点在第四象限且时，则，可得，进一步可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：令，得直线与轴的交点为， 令，得直线与轴的交点为， 由题意知点，在抛物线上， 分别把，和，代入得： ， 解得：． （2）解：直线与轴，轴分别交于点，， ∵点在抛物线，① ∴， ∵，∴． 令代入①式，得：． ∴，， ∴点坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得． ∴． （3）解：∵一次函数， 当，，当，则， 同理：由一次函数可得： 当，，当，则， 结合题意知：，，， ∴， ∴， 当点在第四象限且时，则， 在中，∵，， ∴， 如图， 当时，， 当时，， 在中，∵（）， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，其中点，抛物线的对称轴为直线，连接，． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交抛物线于点，连接交线段于点，连接，，点，分别是直线和直线上的动点，且，连接，当四边形面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中四边形面积取得最大值条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，为点的对应点，连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解直角三角形，平行四边形的性质； （1）先根据对称轴求出，再将、代入即可求出解析式； （2）先求出直线：，直线：，直线：，由，将转化为，从而得到，过作轴，交于，设，则，表示出即可求出当时，四边形面积最大，从而求出，过作，以为斜边作等腰，以为邻边作平行四边形，由，得出当三点共线时，即三点在轴上，从而求出的最小值； （3）先求出平移后的解析式为，再求出直线：或，分别与求解，即可求出点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 将、代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，令，得， ∴， 又∵， 设直线解析式为，将，代入得：， 解得， ∴直线解析式为， ∵，， ∴设直线解析式为，将代入得：，解得：， ∴直线解析式为， 连接， ∵， ∴， ∵， 将直线：与联立得：， 解得：或， ∴点， 又∵， 同理可得：直线解析式为， 过作轴，交于， 设，则， ∴ ， ∴当时，四边形面积最大， ∴， 过作，以为斜边作等腰，以为邻边作平行四边形， ∵， ∴等腰中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 设， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当三点共线时，即三点在轴上，取最小值， ∴的最小值为． （3）解：∵， ∴将抛物线沿方向平移，即是将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∵， ∴平移后的解析式为， ∵，将抛物线先向右平移2个单位，在向上平移2个单位， ∴， ∴， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当点在轴上方时，， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 令，解得：（舍去）或， 将直线：，沿着轴翻折得到直线，同样满足， 令，解得（舍去）或， 综上：点的横坐标为或． 例3．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）直线的解析式为：．直线的解析式为：．设，且，则， 则， 过点Q作于点Y，则，设，根据中点坐标公式，得，，过点D作轴于点H，则，过点F作于点G，过点P作于点N，交于点R，故的最小值为；连接交于点T，求解即可． （3）向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为，根据题意，得，此时；过点作，交于点，延长交抛物线于点k，此时的k符合题意，设，求得，设直线的解析式为，根据题意，得，此时；求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点， ， ， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据抛物线解析式为， 得，抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，且， 则， 则， ∵，， 设直线的解析式为：， ， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，． 故， 过点Q作于点Y， 则， ， ， 设，根据中点坐标公式，得， ， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，取得最大值， ∴，，， 过点D作轴于点H， 则， 取点， 则， 作直线， 根据题意，得， 故，， ， ， ， 过点F作于点G， 则， 故， 过点P作于点N，交于点R， 故的最小值为； 连接交于点T， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 故的最小值为． （3）解：根据题意，得， 由，得， 故， 故， 由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 故向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为， 故点， 故点在抛物线的对称轴上，设直线：与对称轴的交点为， 此时，且，． 连接，则， 故， 设直线与y轴的交点为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ， 延长交抛物线于点K， ， ， ， 此时的k符合题意， 此时直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 设抛物线的对称轴与x轴交于点，与y轴交于点， 根据题意，得，， ， ， 过点作，交于点， ， ， ， ， 延长交抛物线于点K，此时的K符合题意， 设， 则， 整理，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 综上所述，符合要求的点或． 变式1．（2026·重庆·模拟预测）抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，抛物线的对称轴与交于点，线段在直线上移动，记为，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点，当线段的长度最大时，求周长的最小值： (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或，过程见解析 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先分析取最大值时，点的坐标，点的坐标为，求出直线的表达式为，则点，因此，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，此时点与点重合；再计算周长的最小值，作点关于直线的对称点，连接、、、，设抛物线的对称轴交轴于点，先计算点，容易判断和都是等腰直角三角形，从而得到，，因此四边形是平行四边形，则．根据轴对称的性质求出点，且，因此，结合线段公理可知，当、、三点共线时，取得最小值，此时的周长最小，用勾股定理计算出即可； （3）先根据点和点的坐标，确定平移方式为向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度，从而得到新抛物线，进一步求出点．分两类讨论，当点在上方时，设抛物线交轴的负半轴于点，利用抛物线求出点，进而可证明，则．易得是等腰直角三角形，则，进而得到，因此点即为所求的点；当点在下方时，作点关于的对称点，连接，由对称的性质可得，因此与抛物线的交点，即为所求的点．先求出直线的表达式，再与抛物线联立，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：先分析的长度最大的情况， ， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，即点与点重合； 再计算周长的最小值： 如图，作点关于直线的对称点，连接、、、，设抛物线的对称轴交轴于点， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，，， 由平移的性质可得，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵的周长为， ∴当、、三点共线时，的周长取得最小值； （3）解：∵点，， ∴， ∴沿射线方向平移个单位长度等价于向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度， ∴新抛物线， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； ②当点在下方时，如图，作点关于的对称点，连接， 由对称的性质可得，，，， 由①可知，， ∴， ∴与抛物线的交点，即为所求的点， ∵，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 变式2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴，交于，过点作轴于，交于，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点坐标为，在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于，可得、、在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点下方和点在点上方两种情况，分别求出、的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴，交于，过点作轴于，交于， ∴， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于， ∴， ∴当、、在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立两个抛物线的解析式得，， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点， 如图，①当点在点下方时，过点作轴，交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在点上方时，过点作于，设交轴于， 同理可得，，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 变式3．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，在直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，点M为直线上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，直线上有—动点N，射线与抛物线交于点Q，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为；的周长的最小值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）延长交于点F，求出直线表达式为，直线表达式为，设，，，表示出，，解直角三角形得到，然后代入利用二次函数的性质求出当取得最大值时点P的坐标，求出，，作点D关于的对称点，连接交于K，判断出当点，M，P三点共线时，的周长最小，即的值，连接，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出抛物线，如图，过点P作于点R，求出，得到，设，解直角三角形得到或，然后分两种情况讨论，分别求出直线的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，延长交于点F ∵抛物线的表达式为 ∴当时， ∴ ∵， ∴直线表达式为，直线表达式为， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值， ∴此时点P的坐标为，点D的坐标为，点F的坐标为， ∴， 如图，作点D关于的对称点，连接交于K， ∴ ∴的周长 ∴如图，当点，M，P三点共线时，的周长最小，即的值，连接， 设 根据题意得，垂直平分 ∴点K是的中点， ∴ 代入得， 整理得， ∵ ∴ ∴ 将代入得， 解得（舍去）或 ∴ ∴ ∴的周长的最小值为； （3）解：∵抛物线 ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴抛物线，如图，过点P作于点R ∵ ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴ 设 ∵点P的坐标为， ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或 当时， ∴可得直线的表达式为 联立抛物线得， 解得或（舍去） ∴； 当时， ∴可得直线的表达式为 联立抛物线得， 解得或（舍去） ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $