反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数综合专项训练 反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数综合 专项训练 考点目录 反比例函数的性质 反比例函数系数k的几何意义 反比例函数与一次函数综合 考点一 反比例函数的性质 例1．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性可判断选项A；根据函数值为定值可判断选项B；根据特殊值法可判断选项C、D． 【详解】解：A．∵是一次函数，且， ∴当时，，故此选项符合题意； B．∵，对任意，都有， ∴，故此选项不符合题意； C．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意； D．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意． 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】B 【分析】根据k的符号判断反比例函数的图像位置和增减性，再结合反比例函数图像上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为， ， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限，故B符合题意； ∵反比例函数中，， ∴图像不可能与坐标轴相交，故A不符合题意； ， ∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， ∴图像不经过点，故D不符合题意． 例3．（2026·河南郑州·一模）已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析题中三个特征，可知符合条件的函数可以是反比例函数，再根据性质确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数表达式． 【详解】解：由函数图象关于原点中心对称，结合增减性特征，可知符合条件的函数为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 根据当时，随的增大而增大，由反比例函数的性质可得， 当时，反比例函数图象经过第二，四象限，满足函数图象经过第二象限的条件，且反比例函数图象关于原点中心对称，符合所有特征，取， 所以符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 例4．（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可． 【详解】解：∵函数图象位于第二象限， ∴； 当时，， 解得， ∴可取，（答案不唯一）． 变式1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 变式2．（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 变式3．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得． 变式4．（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么反比例函数的图像在第__________象限． 【答案】一、三 【分析】根据题意可得出，结合不等式的性质，可判断出，得出函数图像位置． 【详解】解：由图易知，中点在点左侧， 即， ∵，结合， ∴， 故反比例函数的图像在一、三象限． 考点二 反比例函数系数k的几何意义 例1．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点C作轴于点M，先由已知可证明四边形是菱形，则，点D是的中点，设，，则可得点D的坐标，代入反比例函数解析式，可得和的关系，进而得到的值，即的值，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于点M， ∵轴，即，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，点D是的中点， 设， ∵，点D是的中点， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴． 例2．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 的垂直平分线交 轴于点 ，令 ，由点 是 的中点，得 ；由轴对称的性质，得 ，从而 ；由 ，得 ，设 ，则 ；由四边形 是矩形，得 ；由 ，得 ，代入 即可求出 ． 【详解】解：如图，设的垂直平分线交轴于点， 设，则， 点是的中点， ， 将沿的垂直平分线翻折得到， 由轴对称的性质，得， ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， ,且， ， ， ， 反比例函数的图像经过点， ， ． 例3．（25-26九年级下·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点的坐标为，点在函数的图象上，与轴平行．若的面积为5，则的值为__________． 【答案】16 【分析】设点A的坐标为，则，根据求出m的值，进而即可求解． 【详解】解：点的坐标为，与轴平行， 设点A的坐标为， ， ， ， ， 点A的坐标为， ． 例4．（2026·青海西宁·一模）如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 【答案】 6 【分析】连接、，根据，以及反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵轴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵点A，B分别在和的图象上， ∴，， ∴， 解得． 变式1．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 变式2．（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 变式3．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式． 根据平行四边形的性质可知且，由在轴上可知平行于轴，从而得出点C的纵坐标，利用平行四边形的面积公式求出边的长，进而得到的长，从而求出点C的坐标，最后利用待定系数法求出k的值即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形， 、， 在轴负半轴上， 轴， 点B的坐标为， 点C的纵坐标为8， 设平行四边形边上的高为h，则， ，即， 解得， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， ， 解得， 反比例函数的表达式为． 变式4．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】设，得到点坐标，根据的面积为6，列出方程进行求解即可； 【详解】解：设，则， ∴， ∵，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A， ∴， 由图象可知，， ∴的面积， ∴． 考点三 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·甘肃白银·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点A的坐标得到，的长，解直角三角形求出的长，则可求出点M的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点N的坐标，连接，根据，得到，则当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 把点M的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式； （2）解：在中，当时，， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 例2．（2026·青海·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式： (2)过点作轴，垂足为，若点在反比例函数图象上，且的面积等于3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数解析式，求k值即可； （2）先确定，，得到，设，由的面积等于3，得到，求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， 当时，，解得， 故， 轴，垂足为， 故， 故， 设，由的面积等于3， 故， 故， ， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 例3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点； (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)如图，过点作直线，交反比例函数图象另一支于点，直线与轴的交点为点．当时，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）过点A，C分别作轴、轴，证明，求得，，得到点C的坐标，求得直线的解析式，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得， 故点A的坐标为，把点A的坐标代入，得， 故反比例函数的表达式为； （2）解：设点C的坐标为， 过点A，C分别作轴、轴． ∴ ∴， ∴， 又A的坐标为， ∴，． ∴， 把代入，则 故此时点C的坐标为， 由（1）得，， 设直线， 则， 解得 ∴直线的解析式为：， 过点A作轴交直线于点E，则点E坐标为， ∴， ∵． ∴． 变式1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出两点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用图象法直接作答即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴，， 把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：由图象可知，当时，或. 变式2．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分在轴和在轴两种情况讨论，根据，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点作交轴于点，交轴于点，分别求得，，根据，，建立方程求得的坐标，再求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， （2）解：①当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ②当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； （3）解：如图，设，过点作交轴于点，交轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与轴交于点． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 变式3．（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图，直线与双曲线相交于， 两点，与y轴相交于点 (1)求m，n的值； (2)若，则x的取值范围是 ； (3)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）首先利用待定系数法确定该双曲线的解析式，进而求得点坐标，再将点，坐标代入直线并求解，即可获得答案； （2）由（1）可知，，，观察图像，由直线在双曲线上方部分时的自变量取值范围，即可获得答案； （3）结合（1）可知，该直线解析式为，进而确定点，坐标，然后由的面积求解即可． 【详解】（1）解：将点代入双曲线， 可得，解得， ∴该双曲线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴， 将点，代入直线， 可得，解得； （2）解：由（1）可知，，， 结合图像，可知若， 则x的取值范围是或； （3）解：结合（1）可知，该直线解析式为， 令，可得， ∴， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴， ∴， ∴的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数综合专项训练 反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数综合 专项训练 考点目录 反比例函数的性质 反比例函数系数k的几何意义 反比例函数与一次函数综合 考点一 反比例函数的性质 例1．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 例3．（2026·河南郑州·一模）已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 例4．（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 变式1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 变式2．（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 变式3．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______． 变式4．（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么反比例函数的图像在第__________象限． 考点二 反比例函数系数k的几何意义 例1．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 例2．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级下·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点的坐标为，点在函数的图象上，与轴平行．若的面积为5，则的值为__________． 例4．（2026·青海西宁·一模）如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 变式1．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 变式2．（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 变式4．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 考点三 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·甘肃白银·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·青海·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式： (2)过点作轴，垂足为，若点在反比例函数图象上，且的面积等于3，求点的坐标． 例3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点； (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)如图，过点作直线，交反比例函数图象另一支于点，直线与轴的交点为点．当时，求的面积． 变式1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 变式2．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 变式3．（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图，直线与双曲线相交于， 两点，与y轴相交于点 (1)求m，n的值； (2)若，则x的取值范围是 ； (3)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $