相似的判定与性质综合、相似与动点问题综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

相似的判定与性质综合、相似与动点问题综合专项训练 相似的判定与性质综合、相似与动点问题综合专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似与动点问题综合 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，于点，为边上的中线． (1)若，求的度数； (2)若，，求点到的距离． 例2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 例3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在和中，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 变式1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，点在上，，． (1)求证：； (2)若面积为的面积为1，求的面积． 变式3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在等腰中，，延长到点D，延长到E点，满足． (1)求证：∽； (2)若，，，求的长． 考点二 相似与动点问题综合 例1．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 例2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 例3．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． (1)用含 的代数式表示 、 的长度； (2)当 为何值时， 的面积等于 ？ (3)当 为何值时， 与 相似？ 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知，如图，中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积是面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由； (4)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似的判定与性质综合、相似与动点问题综合专项训练 相似的判定与性质综合、相似与动点问题综合专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似与动点问题综合 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，于点，为边上的中线． (1)若，求的度数； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据求解即可； （2）易得，设，则，证明，进而得到，从而求出的长，再根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】（1）解：， ， 为边上的中线， ， ， ， ， 、， ； （2）解：由（1）知， ， 设，则， 、， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即点到的距离为． 例2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵且、， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在和中，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， 又， ∴∽； （2）解：由（1）知，∽， 又∵， ∴， ∴， 解得． 变式1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质. （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解， ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，点在上，，． (1)求证：； (2)若面积为的面积为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键． （1）根据，，可得，即可求证； （2）分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H，根据三角形的面积可得，再结合，可得，从而得到，进而得到与的相似比为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H， ∵面积为的面积为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质： （1）证明，，即可求得答案； （2）根据，即可求得答案． 【详解】（1）证明：，于点， ，． ． ． ． （2）解：， ． ，， ． 变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在等腰中，，延长到点D，延长到E点，满足． (1)求证：∽； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据推出，进而得到，即可证明； （2）由∽，且，得到，代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∽； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵∽，且， ∴， ∴， 整理得， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长为12． 考点二 相似与动点问题综合 例1．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的长为或 (3)的取值范围为或 (4)的值为秒或秒或秒， 【分析】（）先由勾股定理算出，再结合求出，最后用勾股定理算出的长度为； （）分两个时间段讨论的长度当时，点在上，由得相似三角形，按比例求出；当时，点在上，同理由相似关系求出，最终得到长度的分段表达式 （）重叠部分为四边形意味着点必须落在的内部；当点在上且点在上时，临界情况是点落在边上，利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围； 当点在上且点在线段上时，同样利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围；最后将两个范围合并； （）本题需分类讨论垂直于哪条边以及点的位置；， 此时点必须落在高上；分点在上和点在上两种情况，利用构造相似比列方程求解； 时：此时点只能在上，利用角度互余关系证明，通过对应边成比例列方程求解； 最后汇总所有符合条件的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； （4）解：当与的边或垂直时，的值为秒或秒或秒， 理由： 当点在上且点在上时，，如图 由（）知： ， ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上且时，如图 由（）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 例3．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1)（秒） (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先运用勾股定理求得的长，进而求得点Q运动的路程，即的长，再根据时间，路程与速度的关系列式求时间t即可； （2）分和两种情况，分别利用时间、路程与速度的关系列式即可； （3）分和两种情况，分别利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用相似三角形的性质列比例求解即可； （4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程求解即可；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴当点与点重合时，点Q运动的路程为， ∴当点与点重合时，的值为（秒）． （2）解：当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：长为或． （3）解：由题意得：， ， 当时，若，则， ，解得：； 若， ， ∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时， 由（2）知：， ， 若，则， ，解得：； 若，则， ，解得：（不合题意，舍去）； 综上，将分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或． （4）解：①如图∶当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， ， ∵为边的中点，， ， ， ， ∵， ，即，解得：； ②如图，当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 同理可得：， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ，，， ，解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或． 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． （3）解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 变式2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． (1)用含 的代数式表示 、 的长度； (2)当 为何值时， 的面积等于 ？ (3)当 为何值时， 与 相似？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由题意知，由可得； （2）由，可得关于的一元二次方程，求解即可； （3）①，②，根据对应边成比例，可建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）由题意知：，， ； （2）， ，即， ， 解得， ， ， 时， 的面积等于 ； （3）当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 或时，与相似． 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知，如图，中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积是面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由； (4)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由 【答案】(1)1 (2) (3)存在， (4)存在，或 【分析】（1）先证，得到，再根据点的运动速度求得所用时间的值； （2）求出和的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）假设存在某一时刻t，四边形的面积是平行四边形的面积的一半，根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值； （4）存在某一时刻，使与的交点把线段分成的两部分．分情况讨论：或，根据, 可得，列出方程或，据此求出t的值． 【详解】（1）解：在中，，即， ， ， ， ， 点沿方向匀速运动，速度为， 当时，点运动了， 当时，； （2）四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 由题意得， ∴， ， 解得, ， ， ， ， ， 又四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴ 即, , 与之间的函数关系式为； （3）解：存在，．理由如下： 过点A作， 在中，，， ， 当四边形的面积是面积的一半时，则， ，解得，（舍去）， 当时，四边形的面积是面积的一半； （4）解：存在某一时刻，使与的交点把线段分成的两部分．理由如下： 设交于点，分情况讨论： 当时，如图， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 解得， 当时， ， ， 解得， 综上，存在或时，使与的交点把线段分成的两部分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $