8.5 空间直线、平面的平行 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“空间直线、平面的平行”核心知识点，系统梳理线线平行（基本事实4、等角定理）、线面平行（判定与性质定理）、面面平行（判定及推论、性质定理及其他性质）的内容，构建三种平行关系转化的知识支架。 该资料以7大题型分类呈现，含方法提炼与实例解析，如利用中位线证线面平行，培养几何直观与空间观念（数学眼光）。通过命题判断与证明题，提升逻辑推理能力（数学思维），符号、图形与文字语言结合强化表达（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

§8.5 空间直线、平面的平行 目录 题型1：等角定理的应用 4 题型2：线面、面面关系有关命题的判断 5 题型3：证明线面平行 6 题型4：线面平行性质定理的应用 8 题型5：证明面面平行 8 题型6：面面平行性质定理的应用 10 题型7：线面、面面平行的探索性问题 12 1. 直线与直线平行 (1) 基本事实4（平行线的传递性） 文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行． 符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c． (2) 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2. 直线与平面平行 (1) 直线与平面平行的判定定理 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 图形语言： 符号语言：，，且． (2) 直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言： 符号语言：//，，//. 3. 平面与平面平行 (1) 平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：，，，//，//． (2) 平面与平面平行的判定定理的推论 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：，，，，，，且，，． (3) 两个平面平行的性质定理 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 符号语言：，，． 图形语言： (4) 两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②夹在两个平行平面间的平行线线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两平行平面间的两条直线被第三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 4. 三种平行关系的转化 一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现. 题型1：等角定理的应用 【例1.1.】 已知空间中的两个角和，若，则_____. 【例1.2.】 如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【例1.3.】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 【例1.4.】 在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型2：线面、面面关系有关命题的判断 【例2.1.】 （多选）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 【例2.2.】 下列命题中正确的是（   ） A．若直线和平面满足，，不在平面内，则 B．若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 【例2.3.】 已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2.4.】 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 【例2.5.】 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例2.6.】 已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【例2.7.】 （多选）设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为真命题的是（   ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 题型3：证明线面平行 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (1) 定义法. 证明直线与平面没有公共点.这时直接证明往往比较困难，一般是结合反证法来证明.这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只有排除这两种位置关系才能得到“直线与平面平行”的结论. (2) 利用直线与平面平行的判定定理. 使用定理时，注意所找到的两条直线，一条应在平面内，一条应在平面外. 常见策略：①利用中位线.②构造平行四边形. (3) 利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行. 【例3.1.】 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【例3.2.】 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【例3.3.】 如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【例3.4.】 如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 题型4：线面平行性质定理的应用 【例4.1.】 （多选）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【例4.2.】 （多选）在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（    ） A．平面内存在无数条直线与平面平行 B．平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C．平面PAB和平面的交线与底面平行 D．平面内任意一条直线都不与BC平行 【例4.3.】 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型5：证明面面平行 方法提炼 证明面面平行的常用方法： (1) 定义法. 证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2) 利用平面与平面平行的判定定理. 要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行. (3) 根据平面的传递性：//,////. 【例5.1.】 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【例5.2.】 如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【例5.3.】 如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 题型6：面面平行性质定理的应用 方法提炼 (1) 利用面面平行的性质定理证明两直线平行的一般步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行； 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由定理得出结论. (2) 利用面面平行的性质证明线面平行的常用方法： ①利用面面平行的性质. ②利用线面平行的判定定理. 【例6.1.】 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 （多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【例6.3.】 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【例6.4.】 如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 【例6.5.】 如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 题型7：线面、面面平行的探索性问题 【例7.1.】 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【例7.2.】 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【例7.3.】 如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.5 空间直线、平面的平行 目录 题型1：等角定理的应用 4 题型2：线面、面面关系有关命题的判断 7 题型3：证明线面平行 12 题型4：线面平行性质定理的应用 17 题型5：证明面面平行 21 题型6：面面平行性质定理的应用 27 题型7：线面、面面平行的探索性问题 34 1. 直线与直线平行 (1) 基本事实4（平行线的传递性） 文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行． 符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c． (2) 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2. 直线与平面平行 (1) 直线与平面平行的判定定理 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 图形语言： 符号语言：，，且． (2) 直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言： 符号语言：//，，//. 3. 平面与平面平行 (1) 平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：，，，//，//． (2) 平面与平面平行的判定定理的推论 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：，，，，，，且，，． (3) 两个平面平行的性质定理 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 符号语言：，，． 图形语言： (4) 两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②夹在两个平行平面间的平行线线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两平行平面间的两条直线被第三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 4. 三种平行关系的转化 一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现. 题型1：等角定理的应用 【例1.1.】 已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 【例1.2.】 如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用、平行公理 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解. 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【例1.3.】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】等角定理及其辨析、等角定理的应用 【分析】根据一个角的两边分别与另一个角的两边平行且方向相同，则两角相等，证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C. 又ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，所以A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同， 所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 【例1.4.】 在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】空间平行的转化、等角定理的应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据等体积法得，计算可得，，代入化简即可. 【详解】设平行六面体的体积为， 因为平行六面体的上下底面平行，所以平面与上下底面的交线互相平行， 设为平面与上底面的交线，为与的交点，则， 连接, 由等体积法可得， 设平行六面体的上下底面的距离为， ， 因为在平行六面体中， 因为， 由等角定理可知各内角相等， 所以， 所以，， 又因为各内角相等或互补， 所以， 所以， 因为, , ， 所以, 所以， 即. 故选：D. 题型2：线面、面面关系有关命题的判断 【例2.1.】 （多选）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行 【分析】对A，利用面面平行的性质定理可判断；对BCD，由线面平行，面面平行的定义和线线的位置关系可判断. 【详解】对于A，因为，由面面平行的性质定理可得，故A正确； 对于B，由，则与可能相交，平行，故B错误； 对于C，由，，则还可能在面或面内，故C错误； 对于D，由，当与平行时，与可能相交，故D错误. 故选：BCD. 【例2.2.】 下列命题中正确的是（   ） A．若直线和平面满足，，不在平面内，则 B．若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面平行 【详解】选项A：过直线作平面，设， 又∵，∴，又∵，∴ 又∵且，∴.因此A正确. 选项B：如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故B错误； 选项C：平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误； 选项D：如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故D错误. 【例2.3.】 已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】面面平行证明线面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件，结合线面、面面平行的性质判定判断即可. 【详解】由，，得；反之，由，，得或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例2.4.】 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面平行、线面平行的性质 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 【例2.5.】 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 【例2.6.】 已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面平行的判定定理，对直线的位置进行讨论可得结果. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得， 且由和得；所以直线平面和直线平面至少有一个成立． 故选：D. 【例2.7.】 （多选）设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为真命题的是（   ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，若，则且或或，故A错误； 对于选项B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对选项C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于选项D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D正确； 故选：BCD. 题型3：证明线面平行 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (1) 定义法. 证明直线与平面没有公共点.这时直接证明往往比较困难，一般是结合反证法来证明.这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只有排除这两种位置关系才能得到“直线与平面平行”的结论. (2) 利用直线与平面平行的判定定理. 使用定理时，注意所找到的两条直线，一条应在平面内，一条应在平面外. 常见策略：①利用中位线.②构造平行四边形. (3) 利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行. 【例3.1.】 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 【例3.2.】 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线面平行、证明面面平行、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    【例3.3.】 如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【难度】0.66 【知识点】球的结构特征辨析、证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理及球面的定义确定球心位置即可得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 【例3.4.】 如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 题型4：线面平行性质定理的应用 【例4.1.】 （多选）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、判断线面平行 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 【例4.2.】 （多选）在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（    ） A．平面内存在无数条直线与平面平行 B．平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C．平面PAB和平面的交线与底面平行 D．平面内任意一条直线都不与BC平行 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【分析】用线面平行的判定定理，可判断A；用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断BD；用线面平行的判定以及性质定理可判定C. 【详解】设平面平面，在平面内存在无数条直线与l平行，且不含于平面， 则在平面内存在无数条直线与平面平行，故A正确； 若平面ABCD，平面，平面∩平面，则， 同理，，则，这与四边形为梯形矛盾，故B错误； 设平面平面，∵，平面，平面， ∴平面， 又∵，∴，平面，平面， ∴平面，故C正确； 若平面内存在一条直线a与BC平行，则平面，平面， 平面平面，则矛盾， ∴平面内任意一条直线都不与平行，故D正确. 故选：ACD 【例4.3.】 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型5：证明面面平行 方法提炼 证明面面平行的常用方法： (1) 定义法. 证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2) 利用平面与平面平行的判定定理. 要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行. (3) 根据平面的传递性：//,////. 【例5.1.】 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【难度】0.64 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面平行. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【例5.2.】 如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.57 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 【例5.3.】 如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、证明面面平行、证明线面平行 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 题型6：面面平行性质定理的应用 方法提炼 (1) 利用面面平行的性质定理证明两直线平行的一般步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行； 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由定理得出结论. (2) 利用面面平行的性质证明线面平行的常用方法： ①利用面面平行的性质. ②利用线面平行的判定定理. 【例6.1.】 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由线面平行求线段长度、线面平行的性质 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 【例6.2.】 （多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、面面平行证明线线平行 【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断. 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 【例6.3.】 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 【例6.4.】 如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行 【分析】根据对称性截面四边形的周长的最小值，即取最小，再利用侧面展开图，当B，E，三点共线时，最小即可求解. 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长，沿将右面和后面相邻两面展开， 当B，E，三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10. 故答案为：10. 【例6.5.】 如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.52 【知识点】面面平行证明线面平行、判断线面平行、空间中的点（线）共面问题、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 题型7：线面、面面平行的探索性问题 【例7.1.】 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【难度】0.68 【知识点】证明线面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【例7.2.】 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行、线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 【例7.3.】 如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． 【答案】(1)4 (2)． 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、面面平行证明线面平行、证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）由∥平面，利用线面平行的性质得到∥,    证得，再在等腰梯形中利用题设中条件求即可；. （2）过点作∥交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点，得到平面∥平面.记为直线上任意一点，由面面平行的性质得到∥平面，线段的最小值为点到的距离.再通过证明，得到是以2为边长的等边三角形，求边上的高即得的最小值. 【详解】（1）因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥． 又因为四边形为等腰梯形，∥， 所以四边形为平行四边形，因此． 在上找一点，使得． 因为，所以为等边三角形， 因此， 又因为在等腰梯形中，，所以. 所以∥． 又因为∥，所以四边形为平行四边形， 因此，所以． （2）过点C作∥交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， 同理∥平面， 又因为平面， 所以平面∥平面. 直线上任意一点记为，则平面，所以∥平面． 所以线段的最小值为点到的距离，即中以为顶点的高． 因为∥∥，所以四边形，四边形为平行四边形， 所以,为平行四边形， 所以， 所以是以2为边长的等边三角形，则高为， 因此线段的最小值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $