8.5 空间直线、平面的平行 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间平行关系，分层设计基础辨析、综合应用、拓展探究三阶练习，强化从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|线线、线面平行基本概念与定理辨析|单选形式考查判定条件（如第1-2题），培养空间观念| |综合层|线面、面面平行判定及性质应用|多选与中档填空（如第3-5题、第6题），发展推理能力| |拓展层|平行关系综合证明与探究|解答题（如第8-11题）含存在性问题，提升创新意识与模型观念|

§8.5 空间直线、平面的平行 1. 已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 2. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、面面平行证明面面平行 【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错； 对于B选项，若，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 3. 在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、补全面面平行的条件、证明线面平行 【分析】结合图形，设点M是对角线AC上一点，满足，则有，要使平面，则需使，根据各选项条件，判断是否可以推得即可. 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 4. （多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 5. （多选）已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于点，，过点的直线与，分别交于点，，且，，，则的长为（   ） A． B． C．24 D．12 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】由点在平面与平面的同侧时和点在平面与平面之间时进行求解． 【详解】连接，． （1）当点在的延长线上，即点在平面与平面的同侧时，如图（1） ，平面，平面， ，． ，，， ，解得． （2）当点在线段上，即点在平面与平面之间时，如图（2）． 类似（1）的方法，可得． ，，， ，解得， ． 综上，的长为或24． 故选：AC 6. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、等角定理的应用 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 7. 如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 8. 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、面面平行证明线面平行、证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）（i）根据线面平行的性质定理证明即可； （ii）利用面面平行的判定定理可证明平面平面，再由其性质可得结论. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 9. 如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求：    (1)正四棱锥的外接球表面积； (2)若M为SA的中点，求证：平面； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，. 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、证明线面平行、补全线面平行的条件、证明面面平行 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出外接圆半径，即可求出正四棱锥的外接球表面积. （2）利用线面平行的判定推理得证. （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【详解】（1）在正四棱锥，，，则， 由对称性知，正四棱锥外接球球心在平面内， 因此正的外接圆是该外接球的截面大圆，外接球半径， 所以正四棱锥的外接球表面积. （2）在正四棱锥中，连接，连接，则O为AC的中点，    由M为SA的中点，得，又平面平面， 所以平面. （3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得，    过Q作的平行线交于E，连接，， 由于O是的中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由，得， 又，又平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面，即侧棱SC上存在一点E，使得平面，. 10. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.54 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、面面平行证明线线平行、证明面面平行 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 11. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.67 【知识点】平行公理、证明线面平行、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.5 空间直线、平面的平行 1. 已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 2. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3. 在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 4. （多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 5. （多选）已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于点，，过点的直线与，分别交于点，，且，，，则的长为（   ） A． B． C．24 D．12 6. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 7. 如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 8. 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 9. 如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求：    (1)正四棱锥的外接球表面积； (2)若M为SA的中点，求证：平面； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 10. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 11. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $