7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

授课教师：何清秀 学校：道县第二中学 第七章 随机变量及其分布 7.4. 2 超几何分布（第一课时） 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 复习回顾 问题1 已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考1：如果采用有放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X的分布列是什么？ 思考2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 新知探究 每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是： 每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 采用有放回抽样 采用不放回抽样 解：由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2，3，4 则X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P P(X＝k)＝ （k＝0，1，2，3,4） 问题1 已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. P(X＝k)＝ （k＝0，1，2，3,4） 4 概念生成 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为: 超几何分布: 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. P(X＝k)＝ （k＝m，m+1，m+2，……，r.） 记为X~H(N,n, M). N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数（如次品数) 提醒：正确理解其条件以及参数的意义 概念理解 超几何分布: P(X＝k)＝ （k＝m，m+1，m+2，……，r.） 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 追问1 怎么去理解m＝max{0, n-(N-M)}的取值？你能举例说明吗？ 概念理解 超几何分布: P(X＝k)＝ （k＝m，m+1，m+2，……，r.） 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. ①总体中含有两类不同的个体； ②不放回地抽取； ③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 追问2 怎样判断一个变量是否服从超几何分布？ B 概念辨析 2、下列问题中，哪些可以应用超几何分布模型求解？标出模型中的N、M、 n 概念辨析 （1）从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率. （2）一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率 （3）一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; 超几何分布的三个特征： 1、总体中含有两类不同的个体。 2、不放回抽取 3、随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一个个体的数量 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布， 且N＝50, M＝1, n＝5. 例1 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 因此甲被选中的概率为 典例解析 反思：以前我们是用什么方法解决这个问题的？ 解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. ∴至少有1件不合格的概率为 (直接法) (间接法) 典例解析 (1)设随机变量X，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n 的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列. 求超几何分布的分布列的步骤 方法归纳 1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 巩固练习 课本80页 设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为 解： 2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到, 求甲班恰有2名同学被选到的概率. 巩固练习 课本80页 设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为 解： 思考：二项分布、超几何分布有什么区别和联系？ 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 (1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近 (2)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布；从方差角度看，由于,两个分布的方差也近似相等。 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 15 知识清单： 课堂小结 思想方法： 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 知识清单：1、超几何分布及其分布列 P(X=k) = , k=m, m+1, m+2, …, r. 记为X~H(N,n,M). 课堂小结 2、超几何分布的特征 思想方法：特殊到一般 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 $