解三角形小题常考题型归纳【12个题型归纳+真题检测】讲义-2026年高考数学三轮冲刺

【解三角形小题常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦定理求角】 【解题策略】 核心公式 1正弦定理：（为外接圆半径） 2余弦定理： 3三角形内角和： 解题方法 1已知三边：直接用余弦定理求角优先求最大角（避免多解） 2已知两边及对角：用正弦定理求角再用大边对大角判断是否有两解 3已知两角及一边：用内角和求第三角再用正弦定理求边 4秒杀结论：若则为锐角；若则为钝角 【题型专练】 1．（2026·山东济宁·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合诱导公式化简，再结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得，又因为， 所以得， 化简得，即得， 所以，且 则. 2．（2025·江西萍乡·二模）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和定理求解即可. 【详解】因为，则为锐角，由正弦定理可得， 所以，故， 因此. 3．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 4．（2026·陕西·模拟预测）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 因为，所以. 5．（2026·辽宁盘锦·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，. 【题型2：正余弦定理综合边角互化】 【解题策略】 核心公式 1边化角： 2角化边： 3射影定理： 解题方法 1边化角：当条件全为边的齐次式优先用正弦定理化为角的正弦关系再用三角恒等变换化简 2角化边：当条件含余弦或可化为边的二次式优先用余弦定理化为边的关系再因式分解或配方 3射影定理秒杀：遇到类结构直接用射影定理转化 【题型专练】 6．（2026·四川遂宁·模拟预测）中，内角的对边分别为，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据正弦定理结合两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得，即， 所以，即， 又因为是的内角，所以，得，即， 由正弦定理得，所以，即，故D正确. 7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用降幂公式及正弦定理将边化为角后结合辅助角公式可求出，再利用余弦定理计算即可得. 【详解】由，得， ， ，.，， ，，，， 由余弦定理， 得，解得. 8．（2026·陕西咸阳·二模）内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 10．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 【题型3：周长的计算】 【解题策略】 核心公式 1周长： 2正弦定理转化： 3余弦定理： 解题方法 1已知两边及夹角：先用余弦定理求第三边再求周长 2已知一边及对角：用正弦定理将另两边表示为角的函数再求周长 3已知外接圆半径：用转化再用三角恒等变换化简周长表达式 【题型专练】 11．（25-26高三上·四川眉山·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】B 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出即可求出的周长. 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：， 所以，又因为 解得：所以的周长为. 故选：B. 12．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 13．（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 【答案】 【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解. 【详解】因为， 所以， 即.， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得：. 因为， 所以，整理得：， 则， 所以， 故答案为：. 14．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 15．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 【题型4：面积的计算】 【解题策略】 核心公式 1基础公式： 2海伦公式：（） 3外接圆半径公式： 4内切圆半径公式：（为内切圆半径） 5焦点三角形秒杀公式：椭圆中（为两焦点夹角） 解题方法 1已知两边及夹角：直接用 2已知三边：用海伦公式或余弦定理求角再用 3已知外接圆半径：用或 【题型专练】 16．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以为直角三角形， 因为，可得， 所以的面积为. 17．（2026·江西南昌·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的平方和关系求出，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 由余弦定理得，所以， 又，所以. 又，所以. 所以. 18．（2026·广东佛山·二模）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求出角，进而求出角，代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理得， ， 因为，所以， 则，， 的面积为. 19．（2026·浙江嘉兴·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求出角，再由面积公式求面积. 【详解】中，由，得， 由余弦定理，，得， 又，所以. 20．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 【题型5：角平分线的计算】 【解题策略】 核心公式 1角平分线定理： 2角平分线长公式： 3面积法： 解题方法 1角平分线定理秒杀：直接用求线段比例 2面积法：利用列方程求角平分线长 3公式法：直接套用计算 【题型专练】 21．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】由得，， 解得. 故答案为： 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 23．（2025·海南海口·模拟预测）在中，，，的角平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】如下图所示： 在中，，，则， 在中，， 所以，， 在中，由正弦定理可得，所以，A错； 在中，，则， 且， 由正弦定理可得，则，B对； ，D错； 因为， 所以，，C错. 故选：B. 24．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 25．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 【题型6：中线的计算】 【解题策略】 核心公式 1中线长公式（阿波罗尼斯定理）： 2向量法：平方后得 解题方法 1直接套用中线长公式计算 2向量平方秒杀：将中线向量平方结合余弦定理快速计算长度 3余弦定理法：在和中分别用余弦定理再消元求解 【题型专练】 26．（25-26高一下·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 27．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理、余弦定理、勾股定理求解即可. 【详解】 由正弦定理知，，所以，. 所以，又，所以. 在中，. 因为为的中点，所以. 在中，. 在中，. 28．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 29．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合角A、B的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得的最大值，根据条件，可得，两边同时求模，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 由余弦定理，得， 所以，即，当且仅当时等号成立. 因为为的中点，所以， 所以 ，所以的最大值为. 30．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 【答案】/ 【详解】设中点为，在和中，分别使用余弦定理可得 ①， ②， 又，所以， 联立①②可得③， 又在中，根据余弦定理有即④， 联立③④可得，所以． 【题型7：爪形结构中边长角度的计算】 【解题策略】 核心模型 1模型特征：一个顶点引出两条线（中线角平分线高线）将三角形分为两个小三角形 2核心结论：利用两个小三角形的余弦定理列方程消元求解 3面积关系：两个小三角形的面积和等于原三角形面积 解题方法 1双余弦定理法：在两个小三角形中分别用余弦定理利用公共边或公共角列方程 2面积法：利用列方程消去未知量 3特殊值秒杀：若为中点直接用中线长公式；若为角平分线用角平分线长公式 【题型专练】 31．（2026·安徽合肥·二模）在中，，为边上一点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可在中利用正弦定理求出，则可求出，从而可结合得到与间关系，再利用即可得解. 【详解】设，则，， 由，则，， 在中，由正弦定理可得， 由，则，故， 由，故，故，即， 则 ， 则，即. 32．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 33．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得 ， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 35．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】/ 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 【题型8：三角形的周长的最值与范围】 【解题策略】 核心结论 1固定一边及对角：由正弦定理周长再用和差化积化简 2固定两边及夹角：第三边周长利用余弦定理转化为单变量函数 3常见结论：固定一边及对角时等腰三角形周长最大 解题方法 1正弦定理转化：将边转化为角的正弦再用三角恒等变换化为单一三角函数求值域 2余弦定理+基本不等式：利用求第三边的范围再求周长范围 3几何法：利用外接圆的性质找到周长最大/最小的位置（如等腰三角形） 【题型专练】 36．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角关系以及正弦定理得出，再利用面积得出，最后利用基本不等式即可. 【详解】因，则， 即， 由正弦定理可得，，即为直角三角形， 则的面积为，即， 则，等号成立时， 故周长的最小值为. 故选：A 37．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角，再利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 而，整理得， 又，解得， 由余弦定理，得 ， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为9. 故选：D 38．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 39．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 40．（2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据已知等式结合余弦定理从而得角的大小，再根据正弦定理边化角，将三角形周长转换为正弦型函数，根据三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． 【题型9：面积的最值与范围】 【解题策略】 核心结论 1固定一边及对角：由正弦定理化简得等腰三角形时面积最大 2固定两边：当时面积最大为 3固定一边及对角：外接圆为定圆面积高最大时面积最大（等腰三角形时高最大） 解题方法 1正弦定理转化：将面积表示为角的函数用三角恒等变换求最值 2余弦定理+基本不等式：利用求的最大值再求面积最大值 3几何法：利用外接圆的性质找到高最大的位置计算面积最大值 【题型专练】 41．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 42．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 43．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（    ） A．的面积有最大值，且最大值为 B．的面积有最大值，且最大值为 C．的面积有最小值，且最小值为 D．的面积有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得，再通过余弦定理求得的范围，即可求解. 【详解】因为 所以 所以，又为三角形内角， 所以，所以 设角的对边分别为，边的高为， 由三角形面积公式可得：，又， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选:D 44．（2023·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得，即， 当且仅当时，等号成立，故. 因此，面积的最大值为. 故选：B. 45．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，从而． 【题型10：与复杂三角恒等变换有关的计算】 【解题策略】 核心公式 1和差角公式： 2倍角公式： 3辅助角公式： 4三角形恒等式： 解题方法 1边角互化：先将边化为角的正弦再用三角恒等变换化简 2降幂扩角：遇到二次项用倍角公式降幂再用辅助角公式合并 3三角形恒等式秒杀：遇到或类结构直接套用恒等式 【题型专练】 46．（2026·湖南长沙·一模）（多选）在非等腰中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（    ） A． B． C．记c上的高为h，则的取值范围为 D．的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 【答案】BC 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可判断A；利用诱导公式判断B；对于C：整理可得，令，结合对勾函数性质运算求解；对于D：根据题意可得，整理可知方程有解. 【详解】由得，， 化简得：， 因为，则， 又因为为非等腰三角形，则，可知， 可得，即，所以，，故选项A错误， 因为，则，即，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 则， 令，且，则， 因为， 且，则， 可得，则， 所以，故C选项正确； 对于选项D：因为的内切圆半径， 且外接圆半径， 假设的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列， 则，整理可得，此方程显然是有解的，故选项D错误. 综上，正确答案为BC. 47．（2026·四川内江·二模）（多选）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【分析】利用条件化简判断A；根据正弦定理及三角恒等变换判断B；根据正弦定理求判断C；根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故. 因为，所以. 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知， ， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 48．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得： ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 49．（2026·江西·一模）（多选）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 50．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）（多选）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 【答案】AC 【分析】根据正弦定理及积化和差公式、诱导公式可将已知式子化简，再利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得，进而可判断各选项. 【详解】由正弦定理得， 由积化和差公式得， 将，，代入得 ， 整理得， 由辅助角公式得， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 又为三角形的内角， 所以，即，故A正确； 所以，解得，所以，故B错误； 由知为等腰三角形且，故C正确； 由等腰三角形的性质知，所以的周长是，故D错误. 故选：AC. 【题型11：一般的最值与范围问题】 【解题策略】 核心方法 1函数建模：将目标量（边长角度面积周长）表示为单变量函数确定定义域 2求最值：利用三角函数值域二次函数单调性基本不等式求解 3定义域限制：三角形内角范围边长的三角不等式限制 解题方法 1正弦定理转化：将边转化为角的正弦利用三角函数的有界性求范围 2余弦定理+基本不等式：利用求边长或面积的最值 3三角不等式：利用确定边长的范围 【题型专练】 51．（2026·福建·二模）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理结合勾股定理可得出，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，根据以及图形求得，且有，分析可得，利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出的最大值，利用等号成立的条件可求出点的坐标，进而可求得四边形的面积. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以，故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则点在第一象限，设点， 则，解得，则， 因，而，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点， 故.    52．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故，而，则，； 因为角， 设，，代入正弦定理， 化简得，则， 由， 两边平方，整理有： ， ； 由，则有，， 所以 ， 则， 因为，，则，故， 所以，即，当且仅当，等号成立. 53．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ， 又，因此：， 展开化简得： ， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即， 因此. 54．（2026·安徽池州·二模）在平面四边形ABCD中，，，，当锐角取最大值时，________． 【答案】 【分析】设，，由锐角取最大值，转换成取得最大值，在，中，应用正弦定理得到，，构造函数，求得确定单调性，确定最值，进而可求解. 【详解】 设，则， 因为，为等腰三角形， 由正弦定理： ， 化简得， 设（为锐角）， 在中由正弦定理： ，代入，​， ， 化简得： ， 因为是锐角，在单调递增，故最大等价于最大， 令，，则， 求导得： ， ，得（）， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取得最大值，对应最大， 当时，得： ​​，​， ， 在中，由余弦定理， 代入得​： ， 解得（舍去）. 55．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 【答案】 【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】由正弦定理可知可化为， 由余弦定理（当且仅当时等号成立）得， 所以，即， 即（当且仅当时等号成立） ， 整理为，即，又， 所以，又， 所以，即， 同理，条件等式也可化简为和，可得， 所以是等边三角形， 设，，在中，， ，， ， 当时，四边形的面积取得最大值. 故答案为： 【题型12：解三角形中的实际问题】 【解题策略】 核心模型 1仰角俯角模型：视线与水平线的夹角构造直角三角形求解 2方位角模型：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角构造三角形求解 3坡度模型：坡面的垂直高度与水平宽度的比即（为坡角） 解题方法 1建模：将实际问题转化为三角形模型标注已知边和角 2求解：用正余弦定理求未知边和角 3还原：将计算结果还原为实际问题的答案注意单位和精度 【题型专练】 56．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 57．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1） 【答案】373 【分析】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【详解】如图，过C作，过B作， 则， 由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，， 则， 由，得， 在中，由正弦定理得，， 而， 因此，所以. 故答案为：373 58．（2026·四川凉山·二模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】 ， 故隧道的长度. 59．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 n mile. 60．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 高考真题检测 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 则， 因为，所以． 故选：B. 3．（2020·全国III卷·高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 5．（2021·全国甲卷·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案． 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为． 6．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 7．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】 ，， ， ， ，， ， ， 故选：A. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解； 法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以，则， 又，，所以，则， 又，，所以，则， 在中，， 则由余弦定理可得， 故，则， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 法二： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在中，， 则由余弦定理可得，故， 所以，则， 不妨记， 因为，所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 故选：C. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、多选题 11．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 【答案】. 【分析】根据题中所给的公式代值解出． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________. 【答案】 【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得. 【详解】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 在中，由余弦定理得. 故答案为：；. 15．（2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【答案】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得， 所以， 即 解得（舍去） 所以， 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 16．（2019·浙江·高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________. 【答案】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在、中应用正弦定理，由建立方程，进而得解. 【详解】在中，正弦定理有：，而, ，，所以. 【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 17．（2020·全国I卷·高考真题）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值. 【详解】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 18．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     19．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 20．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 【答案】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解三角形小题常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦定理求角】 【解题策略】 核心公式 1正弦定理：（为外接圆半径） 2余弦定理： 3三角形内角和： 解题方法 1已知三边：直接用余弦定理求角优先求最大角（避免多解） 2已知两边及对角：用正弦定理求角再用大边对大角判断是否有两解 3已知两角及一边：用内角和求第三角再用正弦定理求边 4秒杀结论：若则为锐角；若则为钝角 【题型专练】 1．（2026·山东济宁·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西萍乡·二模）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西·模拟预测）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁盘锦·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型2：正余弦定理综合边角互化】 【解题策略】 核心公式 1边化角： 2角化边： 3射影定理： 解题方法 1边化角：当条件全为边的齐次式优先用正弦定理化为角的正弦关系再用三角恒等变换化简 2角化边：当条件含余弦或可化为边的二次式优先用余弦定理化为边的关系再因式分解或配方 3射影定理秒杀：遇到类结构直接用射影定理转化 【题型专练】 6．（2026·四川遂宁·模拟预测）中，内角的对边分别为，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．5 8．（2026·陕西咸阳·二模）内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【题型3：周长的计算】 【解题策略】 核心公式 1周长： 2正弦定理转化： 3余弦定理： 解题方法 1已知两边及夹角：先用余弦定理求第三边再求周长 2已知一边及对角：用正弦定理将另两边表示为角的函数再求周长 3已知外接圆半径：用转化再用三角恒等变换化简周长表达式 【题型专练】 11．（25-26高三上·四川眉山·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 12．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 13．（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 14．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 15．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型4：面积的计算】 【解题策略】 核心公式 1基础公式： 2海伦公式：（） 3外接圆半径公式： 4内切圆半径公式：（为内切圆半径） 5焦点三角形秒杀公式：椭圆中（为两焦点夹角） 解题方法 1已知两边及夹角：直接用 2已知三边：用海伦公式或余弦定理求角再用 3已知外接圆半径：用或 【题型专练】 16．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 17．（2026·江西南昌·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．4 18．（2026·广东佛山·二模）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江嘉兴·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型5：角平分线的计算】 【解题策略】 核心公式 1角平分线定理： 2角平分线长公式： 3面积法： 解题方法 1角平分线定理秒杀：直接用求线段比例 2面积法：利用列方程求角平分线长 3公式法：直接套用计算 【题型专练】 21．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则__________. 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·海南海口·模拟预测）在中，，，的角平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 25．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 【题型6：中线的计算】 【解题策略】 核心公式 1中线长公式（阿波罗尼斯定理）： 2向量法：平方后得 解题方法 1直接套用中线长公式计算 2向量平方秒杀：将中线向量平方结合余弦定理快速计算长度 3余弦定理法：在和中分别用余弦定理再消元求解 【题型专练】 26．（25-26高一下·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 28．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 29．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 30．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 【题型7：爪形结构中边长角度的计算】 【解题策略】 核心模型 1模型特征：一个顶点引出两条线（中线角平分线高线）将三角形分为两个小三角形 2核心结论：利用两个小三角形的余弦定理列方程消元求解 3面积关系：两个小三角形的面积和等于原三角形面积 解题方法 1双余弦定理法：在两个小三角形中分别用余弦定理利用公共边或公共角列方程 2面积法：利用列方程消去未知量 3特殊值秒杀：若为中点直接用中线长公式；若为角平分线用角平分线长公式 【题型专练】 31．（2026·安徽合肥·二模）在中，，为边上一点，且，，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 33．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 35．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【题型8：三角形的周长的最值与范围】 【解题策略】 核心结论 1固定一边及对角：由正弦定理周长再用和差化积化简 2固定两边及夹角：第三边周长利用余弦定理转化为单变量函数 3常见结论：固定一边及对角时等腰三角形周长最大 解题方法 1正弦定理转化：将边转化为角的正弦再用三角恒等变换化为单一三角函数求值域 2余弦定理+基本不等式：利用求第三边的范围再求周长范围 3几何法：利用外接圆的性质找到周长最大/最小的位置（如等腰三角形） 【题型专练】 36．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 38．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为_____． 【题型9：面积的最值与范围】 【解题策略】 核心结论 1固定一边及对角：由正弦定理化简得等腰三角形时面积最大 2固定两边：当时面积最大为 3固定一边及对角：外接圆为定圆面积高最大时面积最大（等腰三角形时高最大） 解题方法 1正弦定理转化：将面积表示为角的函数用三角恒等变换求最值 2余弦定理+基本不等式：利用求的最大值再求面积最大值 3几何法：利用外接圆的性质找到高最大的位置计算面积最大值 【题型专练】 41．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 42．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（    ） A．的面积有最大值，且最大值为 B．的面积有最大值，且最大值为 C．的面积有最小值，且最小值为 D．的面积有最小值，且最小值为 44．（2023·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为______． 【题型10：与复杂三角恒等变换有关的计算】 【解题策略】 核心公式 1和差角公式： 2倍角公式： 3辅助角公式： 4三角形恒等式： 解题方法 1边角互化：先将边化为角的正弦再用三角恒等变换化简 2降幂扩角：遇到二次项用倍角公式降幂再用辅助角公式合并 3三角形恒等式秒杀：遇到或类结构直接套用恒等式 【题型专练】 46．（2026·湖南长沙·一模）（多选）在非等腰中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（    ） A． B． C．记c上的高为h，则的取值范围为 D．的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 47．（2026·四川内江·二模）（多选）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 48．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 49．（2026·江西·一模）（多选）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）（多选）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 【题型11：一般的最值与范围问题】 【解题策略】 核心方法 1函数建模：将目标量（边长角度面积周长）表示为单变量函数确定定义域 2求最值：利用三角函数值域二次函数单调性基本不等式求解 3定义域限制：三角形内角范围边长的三角不等式限制 解题方法 1正弦定理转化：将边转化为角的正弦利用三角函数的有界性求范围 2余弦定理+基本不等式：利用求边长或面积的最值 3三角不等式：利用确定边长的范围 【题型专练】 51．（2026·福建·二模）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 52．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 53．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 54．（2026·安徽池州·二模）在平面四边形ABCD中，，，，当锐角取最大值时，________． 55．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 【题型12：解三角形中的实际问题】 【解题策略】 核心模型 1仰角俯角模型：视线与水平线的夹角构造直角三角形求解 2方位角模型：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角构造三角形求解 3坡度模型：坡面的垂直高度与水平宽度的比即（为坡角） 解题方法 1建模：将实际问题转化为三角形模型标注已知边和角 2求解：用正余弦定理求未知边和角 3还原：将计算结果还原为实际问题的答案注意单位和精度 【题型专练】 56．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 57．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1） 58．（2026·四川凉山·二模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 59．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 60．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 高考真题检测 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国III卷·高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 5．（2021·全国甲卷·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 6．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 7．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 13．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________. 15．（2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 16．（2019·浙江·高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________. 17．（2020·全国I卷·高考真题）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 18．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 19．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 20．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 1 学科网（北京）股份有限公司 $