8.6.3空间平面与平面垂直第一课时课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第一课时 平面内的角：由两条有公共端点的射线组成的几何对象。 两平面的角： 1.半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2.二面角的定义 空间中，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 其中，这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的表示方法 二面角的定义 二面角 P-AB-Q 二面角的表示方法 思考：我们常说“把笔记本电脑开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. 思考：∠AOB的大小与点O在 l 上的位置有关吗？为什么？ 等角定理 二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量. 求二面角的大小，其实就是求其平面角的度数. 当两个半平面重合时规定：二面角为 当两个半平面合成平面时规定：二面角为： 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的取值范围 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β 垂直，记作α⊥β 图形表示： 两个平面垂直的定义 正方体ABCD-A1B1C1D1中，面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为_______. [变式](1)正方体中，二面角A-C1C-B的大小为_______. (2)正方体中，二面角A-B1B-C的大小为_______. 定义理解： 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面。这种方法说明了什么道理? 观察与思考： 你能在长方体中发现类似的结论吗？ 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面DCC1D1经过平面ABCD的一条垂线DD1，此时，平面DCC1D1⊥平面ABCD. 观察与思考： 定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示 两个平面垂直的判定 图形语言 例7.如图，在正方体 ABCD­A'B'C'D' 中，求证：平面 A'BD⊥平面 ACC'A'. A B D C A′ B′ C′ D′ 证明：∵ ABCD­A'B'C'D' 是正方体， ∴ AA'⊥平面ABCD ， ∴ AA'⊥BD. 又 BD⊥AC，AA'∩AC＝A， ∴ BD⊥平面 ACC'A'，BD⊂平面 A'BD ∴ 平面 A'BD⊥平面 ACC'A'. 例8.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同 于A，B的任意一点.求证：平面PAC 平面PBC. 证明：∵ PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴ PA⊥BC. ∵ C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠BCA＝90°，即 BC⊥AC. 又∵ PA∩AC＝A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， ∴ BC⊥平面 PAC. 又∵ BC⊂平面 PBC ∴ 平面 PAC⊥平面 PBC. 1.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( ） A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂β C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β 2.如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直?为什么? 练习： 3.如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点.求证:平面BDC'⊥平面ACC'A’. 课堂小结 （1）这节课你掌握了什么数学知识和思想方法？ （2）回顾这节课，我们研究平面与平面垂直的过程是怎样的？ （3）线线垂直、线面垂直、面面垂直之间是如何转化的？ 知识：二面角及其平面角、平面与平面垂直的定义和判定定理. 思想方法：转化、降维的思想. 二面角→二面角的平面角→面面垂直的定义→面面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直 面面垂直 $