精品解析：宁夏育才中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量X服从两点分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.57 C. 0.67 D. 0.77 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布的概念计算即可. 【详解】. 故选：C 2. 设A，B为两个事件，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因， 则. 3. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可． 【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法， 甲和乙不相邻，再将甲、乙插空， 共有种排法，故排法种数为． 故选：D 4. 在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可得，则． 5. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 6. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 7. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（ ） A. 420 B. 600 C. 840 D. 960 【答案】A 【解析】 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 8. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简为 ，令，可得，得到，然后作出其函数图象，将不等式的解集中恰有两个整数，转化为不等式的，利用数形结合法求解. 【详解】因为， 所以 即 ， 设， 令，可得， 所以 ，则 ， 令 可得 在 上递增，令 可得 在 上递减， 所以在 处取得极大值 ，作出函数如图所示： 又因为， 而不等式的解集中恰有两个整数，等价于不等式的解集中恰有两个整数， 由图象知：当时，不等式不等式的解集中恰有两个整数 ， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值及其图象，不等式的解法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】转化为在内有解，然后参变分离即可求解. 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意. 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 11. 已知 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 中，与最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，令可得， 所以， 设展开式的通项为， 取，可得，所以，故B错误； 对于C，令可得①， 令可得②， 由①②可得，故C正确； 对于D，由选项B可知，， 若最大，则 所以，， 解得，则，故或， 又，所以中，与最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 【答案】## 【解析】 【详解】记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”， 则由已知可得，， 由条件概率公式得， 解得. 14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求得直线方程； （2）由导数确定单调性即可求得极值. 【小问1详解】 由，得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以是的极小值，无极大值. 16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列． （2）利用条件概率转化求解即可． 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为0，1，2， 依题意得：，，， 的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件， 根据分步计数原理，． 所以． 17. 已知函数的极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出导数为0的极值点，然后根据已知条件得到的值，最后代入导函数中判断单调性，检验是否满足题意. （2）先判断函数在上的单调性，然后根据零点个数列出不等式方程组，进而求得的范围. 【小问1详解】 对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. 18. 已知函数为实常数）. （1）若，求证：在上是增函数； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题可知函数的定义域， 因为，所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数； （2） 当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数证明单调性即可； （2）求导，分、，结合导数的符号讨论单调性即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为， 所以， 当时，，即恒成立，所以在上单调递增； 当时，由得或（舍去）， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； 【小问3详解】 由，得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 19. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二： （1）求图中第行的各数之和； （2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； （3）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】（1） （2）存在，且这三个数为，， （3）证明如下： 因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 【解析】 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . 【小问2详解】 假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量X服从两点分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.57 C. 0.67 D. 0.77 2. 设A，B为两个事件，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 4. 在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 5. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 6. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 7. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（ ） A. 420 B. 600 C. 840 D. 960 8. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 中，与最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为______． 13. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 17. 已知函数的极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 18. 已知函数为实常数）. （1）若，求证：在上是增函数； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二： （1）求图中第行的各数之和； （2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； （3）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $