宁夏育才中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以杨辉三角文化素材和生活情境问题为载体，考查概率统计、导数应用等知识，融合数学思维与文化传承，梯度覆盖基础与探究能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|两点分布、排列问题|基础巩固，如第1题考查两点分布期望| |多选|3/18|二项式系数、随机变量分布|综合辨析，如第11题比较二项式系数大小| |填空|3/15|条件概率、选课方案|实际应用，如第14题计算不同选课方案数| |解答|5/77|导数极值、杨辉三角证明|分层探究，第19题结合文化传承考查逻辑推理|

宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【答案】C 【分析】根据两点分布的概念计算即可. 【详解】. 故选：C 2．设A，B为两个事件，且，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因， 则. 3．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　） A．12 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可． 【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法， 甲和乙不相邻，再将甲、乙插空， 共有种排法，故排法种数为． 故选：D 4.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于B：由题意可得，则，故B正确； 5.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【解析】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 6．在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 7.某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 【答案】A 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 8.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为 ，令，可得，得到，然后作出其函数图象，将不等式的解集中恰有两个整数，转化为不等式的，利用数形结合法求解. 【详解】因为， 所以 即 ， 设， 令，可得， 所以 ，则 ， 令 可得 在 上递增，令 可得 在 上递减， 所以在 处取得极大值 ，作出函数如图所示： 又因为， 而不等式的解集中恰有两个整数，等价于不等式的解集中恰有两个整数， 由图象知：当时，不等式不等式的解集中恰有两个整数 ， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值及其图象，不等式的解法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. 10．已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 11.已知 ，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．中，与最大 【答案】ACD 【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，令可得， 所以， 设展开式的通项为， 取，可得，所以，故B错误； 对于C，令可得①， 令可得②， 由①②可得，故C正确； 对于D，由选项B可知，， 若最大，则 所以，， 解得，则，故或， 又，所以中，与最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 13．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为 【答案】. 【详解】（1）记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”，则由已知可得 . 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤． 15．【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求得直线方程； （2）由导数确定单调性即可求得极值. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以是的极小值，无极大值. 16.某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. (1)如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； (2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列． （2）利用条件概率转化求解即可． 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2， 依题意得：，，， 的分布列为： 0 1 2 （2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件， 根据分步计数原理，． 所以． 17.已知函数的极大值点是2. (1)求的值； (2)若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导，求出导数为0的极值点，然后根据已知条件得到的值，最后代入导函数中判断单调性，检验是否满足题意. （2）先判断函数在上的单调性，然后根据零点个数列出不等式方程组，进而求得的范围. 【详解】（1）对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. （2）由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. 18.已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题. 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为,所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数. （2）函数的定义域为，所以， 分类讨论: (1). 当 时， ，即恒成立，所以在上单调递增； (2). 当 时,得或 （舍去） 当时，当 所以在）上单调递增； 综上所述：(1). 当 时在是增函数； (2). 当 时在）上是增函数。 （3）由得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 2．设A，B为两个事件，且，，则（    ） A． B．1 C． D． 3．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　） A．12 B．36 C．48 D．72 4.在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C． D． 5.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 6．在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 7.某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 8.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 10．已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 11.已知 ，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．中，与最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递增区间为______． 13．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______． 14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤． 15．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 16某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. (1)如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； (2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 17．已知函数的极大值点是2. (1)求的值； (2)若在上有3个零点，求的取值范围. 18.已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $