四川字节精准教育联盟·精准备考2025-2026学年高二下学期期中教学质量评价数学试题

**基本信息** 2027届春季期中数学测评依托AI赋能，以数列、概率、函数导数为核心，通过趣味拉练（第15题）等情境化设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差数列性质、计数原理、古典概型|基础题占比高（如第1题难度0.94），聚焦数学眼光的直观理解| |多选|3/18|等比数列判定、排列组合应用|选项分层设错（如第10题AC正确），考查数学思维的严谨性| |填空|3/15|排列数计算、等比中项、导数极值点|注重数学语言的简洁表达（如第14题极值点辨析）| |解答|5/77|概率分布列、数列求和、函数切线与最值|综合题梯度明显（如第18题数列与不等式结合），强化数学建模与创新意识|

姓名：____________ 准考证号：___________________________ 试卷启封前按机密事项保管 SCGK 字节精准教育联盟·精准备考 2027届2026年春季学期期中教学质量评价 数 学 ZJ-GZ-GA-2027S-G27-MI AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 郑重提醒 考生须在考试开始前检查试题卷和答题卡，若存在缺页、漏印、字迹模糊等情况，应于开考前向监考员报告；开考后报告的，延误的考试时间不予补足。对试题内容有疑问，不得向监考员询问。 考试结束前，严禁拍照、传播、上传试题卷及答题卡至任何网络平台，违者依规严肃处理。 请严格遵守考试纪律，违纪舞弊行为将按相关规定严肃处理。 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．要让如右上图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 3．公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知等比数列，，，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列的前和是 C．数列是等差数列 D．数列的前10项和是 10．下列说法正确的有（ ） A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种 11．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．各二项式系数之和为64 C．展开式中项的系数为 D．展开式中系数最大的项为70x 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．__________. 13．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____. 14．设函数的导函数，则的极值点是__________． 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（13分） 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 16．（15分） 已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 17．（15分） 已知函数在处取得极值． (1)求的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值． 18．（17分） 已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 19．（17分） 已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 高二·数学 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高2027届数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2028S-G28-MI AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C C B B B A D AC AC BC 1．A 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值. 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因为，，所以，， 所以，所以，所以. 故选：A. 2．C 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作， 所以不同方法种数为. 故选：C 3．C 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算. 【详解】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 4．B 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】应用古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为. 故选：B 5．B 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 6．B 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值法，令，即可求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得； 令，得， 所以. 故选：B. 7．A 【难度】0.7 【知识点】函数图像的识别 【分析】将与代入求解即可. 【详解】当时，，，故选A. 8．D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，，求导后求得的最小值即可得解. 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 9．AC 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列通项公式和等比前和公式，等差数列的定义法证明方法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误. 【详解】由题可得， 则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确； 已知，，故是等差数列，故C正确； 则，故D错误. 故选：AC. 10．AC 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据排列组合的知识逐项判断可得答案. 【详解】对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长， 不同的选法有种,故A正确； 对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学， 不同的选法有种，故B错误； 对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢， 两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确； 对于D，先排列丙、丁、戊有种排法，再让甲、乙去插空位， 有种排法，则甲乙不相邻的排法有种,故D错误. 故选：AC. 11．BC 【难度】0.85 【知识点】二项展开式的应用、二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】由二项展开式的性质可得AB，写出通项，令可得C，举反例令可判断D. 【详解】对于A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有7项，故A错误； 对于B，各二项式系数之和为，故B正确； 对于C，通项为， 令，代入可得展开式中项的系数为，故C正确； 对于D，由通项可得，当时，，故D错误； 故选：BC 12． 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故答案为： 13． 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据韦达定理判断的正负，从而求出的正负，并求出，根据等比中项即可求解. 【详解】由题意得，，，故，， 因为为等比数列，所以，解得， 又因为，，所以与同号，即， 故. 故答案为： . 14． 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】是函数的极值点，则有，若，则不一定是函数的极值点. 【详解】令， 解得： 由于在 附近导函数符号不变， 所以不是极值点； 由于在 附近导函数符号由负变正， 所以是极值点，即的极值点是. 故答案为： 15． 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率； （2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列. 【解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． （2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 16． 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用等差数列的通项公式即可得解. 【解】（1）因为， 当时，，所以， 当时，， 所以，整理得， 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式为; （2）因为， 由题意得：，即， 所以. 17． 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点和极值可构造方程组求得，验证可得结论； （2）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程； （3）根据单调性可确定最值点，进而求得最值. 【解】（1），在处取得极值， ，解得：； 当，时，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 是的极小值点，满足题意； 综上所述：，. （2）由（1）得：，，，， 在点处的切线方程为：，即. （3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增； ， 又，，， 在上的最大值为，最小值为. 18． 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）应用因式分解得出，进而得出等差数列通项公式，再应用计算得出等比数列的通项公式； （2）应用等比数列求和公式及等差数列求和公式分组求和即可求解； （3）应用裂项相消计算得出取得最小值，最后解一元二次不等式即可. 【解】（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知，所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 19． 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【解】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. （3）令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 答案第8页，共9页 高二·数学·答案 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $