8.2.2 两角和与差的正弦、正切 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.2两角和与差的正弦、正切 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 虽然sin75∘=sin(30∘+45∘),sin15∘=sin(45∘−30∘)，但是 sin75∘≠sin30∘+sin45∘,sin15∘≠sin45∘−sin30∘. 请读者自行尝试. 当然，我们可以这样求sin75∘的值： sin75∘=sin(90∘−15∘)=cos15∘=cos(45∘−30∘)= (提示：sin30∘+sin45∘>1,sin15∘=cos(30∘+45∘)≠sin45∘−sin30∘) 探究新知 受此启发，根据两角和与差的余弦公式（即Ca+β与Cα−β)可以证明如下的两角和与差的正弦公式. 证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知 sin(α+β)=cos[−(α+β)]=cos[(−α)−β] =cos(−α)cosβ+sin(−α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ, 而且 sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 探究新知 例如， sin75∘=sin(30∘+45∘)=sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘ =×+×= sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘ =××= 利用Sa+β与Sα−β同样可以求出sin105°以及证明诱导公式sin(+α)=cosα， sin(π-α)=sinα等，留作练习. 探究新知 例1 已知向量=（3，4），如图8-2-2所示，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转45o到 解 设∠a,则因为|OP|==5，所以cosα=, sinα=,因此x=5cos(α+45∘)=5(cosαcos45∘-sinαsin45∘) =5(×, 从而P(- y=5sin(α+45∘)=5(sinαcos45∘+cosαsin45∘) =5(×)= 探究新知 例2 求证：sinx+cosx=sin(x+) 证明 因为cos=，sin=，所以 sinx+cosx=cossinx+sincosx =sinxcos+cosxsin =sin(x+) 例2也可将右边直接用Sα+β展开来证明，请读者自行尝试. 探究新知 由例2的结果可知，f(x)=sin(x+)，因此f(x)的最大值为1，而且f(x)的最大值点x0 满足x0++2kπ,k∈Z，因此最大值点为+2kπ, k∈Z. 例3 在求函数f(x)=sinx+cosx的最小值时，下面的说法正确吗？ “因为sinx的最小值为-1,cosx的最小值也为-1，所以f(x)的最小值为-2．” 如果不对，指出原因，并求f(x)的周期、最小值与最小值点. 探究新知 解 因为sinx=-1时有x=−+2kπ ，k∈Z; 而cosx=-1时有x=π+2kπ,k∈Z. 因此sinx=-1与cosx=-1不能同时成立，这就是说，f(x) 的最小值不是-2，有关说法不对． 又因为cos=sin=，所以 f(x)=sinx+cosx=(sinx+cosx) =(sinxcos+cosxsin) =sin(x+) 由此可知函数f(x)的周期为2π，最小值为−，而且最小值点x0满足x0+=−+2kπ,k∈Z，因此最小值点为−+2kπ,k∈Z. 探究新知 由例3可以看出，当a,b都是不为零的常数时，为了求出函数 f(x)=asinx+bcosx的周期、最值等，关键是要将函数化为f(x)=Asin(x+φ)的形式.也就是说，要找到合适的A和φ，使得 asinx+bcosx=Asin(x+φ) ① 恒成立. 探究新知 asinx+bcosx=Asin(x+φ) ① 如果①式恒成立，则将①式的右边用Sa+β展开可得 asinx+bcosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ， 因此a=Acosφ,b=Asinφ，从而可知 a2+b2=(Acosφ)2+(Asinφ)2=A2（A存在） 因此，如果取A=，则有 cosφ==,sinφ== ② 探究新知 由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标 系中坐标为（a,b）的点为P，而φ是以射线OP为终边的角，如图8-2 -3所示，则φ一定满足②式. cosφ=,sinφ= ② 这就是说，满足①式的A和φ一定存在.因此 asinx+bcosx=sin(x+φ) 其中φ满足②式. 探究新知 解 因为=2，所以 f(x)=2(sin5x−cos5x) =2[sin5xcos(−)+cos5xsin(−)] =2sin(5x−) 例4 已知函数f(x)=sin5x−cos5x，求f(x)的周期、最小值及最小值点. 由此可知函数f(x)的周期为,最小值为-2,而且最小值点x0满5x0−=−+2kπ,k∈Z，因此最小值点为−,k∈Z. 探究新知 因为tan75∘=,所以可以借助30∘,45∘的正弦值与余弦值求出tan75∘的值，那么，能不能借助tan30∘与tan45∘求出tan75∘呢？答案是肯定的． 一般地，可以证明如下的两角和与差的正切公式. 探究新知 事实上，因为 tan(α+β)==, 所以在上式右边的分子分母同时除以cosαcosβ，即可得到Ta+β.而Ta−β的证明，既可以用类似的方法得到，也可从Tα+β与tan(α-β)=tan[α+(-β)]得到，请读者自行尝试. 其中α和β的取值应使各项都有意义.(tanα、tanβ;tan(α+β)、tan(α-β);公式的分母都要有意义） 探究新知 例5 求下列各式的值． (1)tan75∘; (2) ; (3). （3）因为tan45∘=1，所以 ==tan(45∘−15∘)=tan30∘= 解 (1) tan75∘=tan(45∘+30∘)===2+ (2) =tan(17∘+43∘)=tan60∘=. 小结 1.两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 2.两角和与差的正切公式: tan(α+β)=;tan(α-β)= 其中α和β的取值应使各项都有意义.(α≠、tanβ≠;α±β≠;） 3.公式常用变形: =tan(α+β)();=tan(α-β)() 小结 4.辅助角公式: asinx+bcosx=sin(x+φ) A=，则有 cosφ==,sinφ== tanφ= 作用：把同角正余弦加减合成一个三角函数，求值域、最值、单调区间 练习A ① 利用Sα+β与Sα−β证明以下诱导公式. (1) sin(+α)=cosα; (2) sin(π-α)=sinα. 证明（1）左式=sin(+α)=sincosα+α=cosα=右式，得证. （2）左式=sin(α)=sincosα-α=sinα=右式，得证. 练习A ② 求下列各式的值. (1)sin105∘; (2) sin(-); (3)tan15°; (4) tan. 解 （1）sin105∘=sin(45∘+60∘)=sin45∘cos60∘+cos45∘sin60∘ =+= （2）sin(-)=-sin()=-sin75∘=-sin(30∘+45∘)=-sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘） =-（×+×）= （3）tan15°=tan(45∘-30∘)==2- （4）tan=tan(-)=-tan=-tan75∘=-tan(30∘+45∘)=-2- 练习A ③ 已知sinα=,α∈(,π)，求sin(+α),sin(−α) 解 因为sinα=α∈(,π)，所以cosα=- sin(+α)=sinα+α=·()+· sin(−α)=sinα-α=·()-· 练习A ④已知tanx=2,tany=5，求tan(x+y),tan(x-y). 解 tan(x+y)== tan(x-y)= 练习A ⑤ 已知向量=(4,3)，将绕原点O旋转60∘,120∘,−60∘到1,2,的位置.求点P1,P2,P3的坐标. 由例1可知：用旋转公式：点(x,y)绕原点逆时针旋转θ后坐标为：（xcosθ-ysinθ，ycosθ+xsinθ）,旋转−60∘即为θ+（-60∘） 练习B ① 求下列各式的值. (1); (2) ; (3) sin35∘cos25∘+sin55∘cos65∘; (4) cos28∘cos73∘+cos62∘cos17∘. 解 （1）==tan(45∘−15∘)=tan30∘= （2） ==tan(45∘−75∘)=tan(-30∘)=-tan30∘=- （3）sin35∘cos25∘+sin55∘cos65∘=sin35∘cos25∘+cos35∘sin25∘=sin60∘= （4）cos28∘cos73∘+cos62∘cos17∘=cos28∘cos73∘+sin28∘sin73∘=cos45∘= 练习B ②已知P(a,b)为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点O逆时针方向旋转θ角到的位置.求点P′(x′,y′)的坐标. 解 由例1可知：用旋转公式：点(x,y)绕原点逆时针旋转θ后坐标为：（xcosθ-ysinθ，ycosθ+xsinθ）,旋转−60∘即为θ+（-60∘） ∴ x=acosθ-bsinθ =bcosθ+asinθ 所以点P′的坐标为（acosθ-bsinθ，bcosθ+asinθ） 练习B ③若α，β均为锐角，且tanα=,tanβ=，求α+β. 解 tan(α+β)= 因为α，β为锐角，所以0<α+β<180,故α+β=45 练习B ④ 求下列函数的周期、最值以及最值点. (1) f(x)=sinx+cosx; (2) f(x)=cos3x-sin3x. 解 （1）f(x)=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin(x+) ∴周期T=2；最大值=2，最小值=-2； 最大值点x+=+2k,即x=+2k；最小值点x+=-+2k （2）f(x)=cos3x-sin3x=（cos3x-sinx）=cos(3x+) ∴周期T=；最大值=，最小值=-； 最大值点3x+=2k,即x=-+,k∈Z；最小值点3x++，k∈Z 练习B ⑤已知x0是函数f(x)=3sinx+4cosx的最大值点，求sinx0的值. 解 f(x)=3sinx+4cosx=5()=5sin(x+φ) 其中cosφ=，sinφ= 当f(x)取最大时，x0+φ=+2k=+2k-φ 所以sinx0=sin(-φ)=cosφ= 巩固提升 1.公式直接应用 求 解 ∵2cos=2cos(60cos10+ ∴原式==1 巩固提升 2.公式变形应用 若α+β=-，则（1+tanα)(1+tanβ)= . 解 ∵tan(-)=tan(α+β)==1 ∴= +=2 即（1+tanα)(1+tanβ)=2 2 巩固提升 3.公式活用技巧 已知α ,β∈（，），sin(α+β)=-,sin（β-）=，则cos(α+)= . 解 由题意知α+β∈（，2），又sin(α+β)=- 因为β-∈（，），sin（β-）=，所以cos（β-）=-,所以 cos(α+)=cos[(α+β)-(β-)]=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-) =×(-)+(-)×=- - $