8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正切”，通过网格图形情境导入（已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求tan(α±β)），衔接正余弦和差公式，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然进入新知探究。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过公式变形（如tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)）和逆用训练发展数学思维，分题型典例（化简求值、求角、判定三角形形状）与分层作业（A基础、B综合、C拓展）帮助学生系统构建知识体系。教师可借助通性通法指导提升教学效率，学生能在问题解决中增强逻辑推理与应用能力。

第二课时　两角和与差的正切 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠COD＝ α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　两角和与差的正切 名称 公式 简记 符号 使用条件 两角和 的正切 tan（α＋β） ＝ ⁠ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋ ，k∈Z， 且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 tan（α－β） ＝ ⁠ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋ ，k∈Z， 且tan α·tan β≠－1 　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋β） （1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；③tan αtan β＝1－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？ 提示：公式Tα±β的右侧为分 式形式，其中分子为tan α与 tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关 系为： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立. （　√　） （2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立. （　×　） （3）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （　×　） √ × × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知tan α＝3，tan β＝ ，则tan（α＋β）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　∵tan α＝3，tan β＝ ，∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 设角θ的终边过点（2，3），则tan ＝ 　　​ 　　. 解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝ ，故tan ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用公式化简求值 【例1】　求下列各式的值： （1）tan 15°； 解： tan 15°＝tan（45°－30°）＝ ＝ ＝ ＝2－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） ； 解： ＝ ＝ ＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1. （3）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°. 解： 因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝ ＝ ， 所以tan 23°＋tan 37°＝ （1－tan 23°tan 37°）， 所以原式＝ （1－tan 23°tan 37°）＋ tan 23°tan 37°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））.三者知二可表示或求 出第三个. 2. 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求值：（1）tan 2°＋tan 43°＋tan 2°tan 43°； 解： 原式＝tan（2°＋43°）（1－tan 2°tan 43°）＋tan 2°tan 43°＝tan 45°（1－tan 2°tan 43°）＋tan 2°·tan 43°＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）（1＋tan 1°）（1＋tan 2°）…（1＋tan 44°）（1＋tan 45°）. 解： （1＋tan 1°）（1＋tan 44°）＝1＋（tan 1°＋tan 44°）＋tan 1°tan 44° ＝1＋tan 45°（1－tan 1°tan 44°）＋tan 1°tan 44°＝1＋1＝2， 同理（1＋tan 2°）（1＋tan 43°）＝2， … 依次类推，得原式＝222×（1＋tan 45°）＝223. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜根据条件求值或角 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α， β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别 为 ， . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （1）求tan（α＋β）的值； 解：由条件得 cos α＝ ， cos β＝ ， 因为α，β为锐角，所以 sin α＝ ， sin β＝ ， 所以tan α＝7，tan β＝ . （1）tan（α＋β）＝ ＝ ＝－3. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求α＋2β的值. 解： tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β] ＝ ＝ ＝－1， 因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜ ， 所以α＋2β＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 通过先求角的某个三角函数值来求角. 2. 选取函数时，应遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是 ， 选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 给值求角的一般步骤： （1）求角的某一三角函数值； （2）确定角的范围； （3）根据角的范围写出所求的角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若△ABC中，tan A和tan B是关于x的方程x2－ sin 2θ·x＋ cos 2θ＝0的两 根，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由题意，tan A＋tan B＝ sin 2θ，tan A·tan B＝ cos 2θ，所以tan （A＋B）＝ ＝ ＝1，由tan（A＋B）＝tan（π－C）＝ －tan C，故tan C＝－1，又0＜C＜π，所以C＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知tan（α＋β）＝ ，tan（ －β）＝ ，则tan（ α＋ ）＝ 　　​ 　　. 解析：由题意得tan（α＋β）＝ ，tan（ －β）＝ ，则tan（ α＋ ）＝tan ［（α＋β）＋（ －β）］＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜判定三角形形状 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且 tan A ＋ tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C） ＝ ＝ ＝－ . 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝ ＝ ＝ ， 又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°. 所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－ tan B·tan C＝－ ， 且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：由tan A＝tan [π－（B＋C）] ＝－tan（B＋C）＝ ＝ ＝ . 又0°＜A＜180°，所以A＝60°. 由tan C＝tan [π－（A＋B）] ＝ ＝ ＝ . 又0°＜C＜180°，所以C＝60°，所以B＝60°. 所以△ABC是等边三角形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 （1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代 换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ； ＝ tan ； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β” 两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知α∈ ， sin α＝ ，则tan ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　因为α∈ ， sin α＝ ，所以 cos α＝ ＝ ，所以tan α＝ ，所以tan ＝ ＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知α＋β＝－ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是（　　） A. －1 B. 1 C. 2 D. 4 解析： 　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α ＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单 位圆（以O为圆心）交于点P（ － ， ）.则tan（ α＋ ）＝ 　－ 　　. 解析：由三角函数的定义可得tan α＝ ×（ － ）＝－ ，由两角和的正切 公式可得tan（ α＋ ）＝ ＝ ＝－ . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知α，β均为锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β＝ 　 　. 解析：因为tan α＝ ，tan β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝ 1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ . 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，求tan 的值. 解：因为α＋ ＝（α＋β）－ ， 所以tan ＝tan ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的 终边过点P（－3，－4），则tan ＝（　　） A. － B. －7 C. D. 解析： 由三角函数的定义可得tan α＝ ＝ ，所以tan ＝ ＝ ＝－7.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知tan（ α＋ ）＝3，则 sin α cos α＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　由tan（ α＋ ）＝3得 ＝3，解得tan α＝ ，则 sin α cos α ＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　） A. m B. （1－m） C. （m－1） D. （m＋1） 解析： 　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得， tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝ （1－m）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知tan α－tan β＝2－2tan αtan β，tan（α－β）＝ ，则tan α－tan β＝ （　　） A. 1 B. C. D. 2 解析： 　因为tan（α－β）＝ ，所以 ＝ ，故tan α－tan β＝ （1＋tan αtan β）. 因为tan α－tan β＝2－2tan αtan β，所以2－2tan αtan β＝ （1＋tan αtan β），解得tan αtan β＝ ，则tan α－tan β＝2－2tan αtan β＝2 －2× ＝ ，故C正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列结果为 的是（　　） A. tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°·tan 35° B. （1＋tan 20°）（1＋tan 40°） C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋35°）·（1－ tan 25°·tan 35°）＝ － tan 25°tan 35°，所以原式＝ － tan 25°tan 35°＋ tan 25°tan 35°＝ .对选项B，（1＋tan 20°）（1＋ tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋ （1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋ －（ －1）tan 20°tan 40°≠ .对选项C，原式＝ ＝tan 60°＝ .对选项D， 原式＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 解析： ＝tan ＝tan［（α＋β）－ ］＝ ＝ ＝ ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝ ，则tan（α＋β）＝ ⁠. 解析：tan β＝ ＝ ＝tan ，∵ －α，β∈ 且y＝tan x在（－ ， ）上是单调函数，∴β＝ －α，∴α＋β＝ ，∴tan （α＋β）＝tan ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 若tan ＝－ ，则tan ＝ 　　​ 　　，tan α＝ ⁠. 解析：tan ＝ ＝ ＝－ ，解得tan α＝－4， tan ＝ ＝ ＝ . ​ －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为 ⁠. 解析：由题图可知tan α＝ ，tan β＝ ，且α，β均为锐角，所以tan（α＋ β）＝ ＝ ＝1.因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知tan ＝2，tan β＝ . （1）求tan α的值； 解： 因为tan ＝2，所以 ＝2，所以 ＝2，解得 tan α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 的值. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝tan（β－α）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知0＜α＜π，－ ＜β＜ ，且tan α＝2 ， cos （α＋β）＝－ ，则 tan β＝（　　） A. B. － C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为0＜α＜π，tan α＝2 ＞0，所以0＜α＜ .因为－ ＜β＜ ，所以－ ＜α＋β＜π.因为 cos （α＋β）＝－ ＜0，所以 ＜α＋β＜π， 所以 sin （α＋β）＝ ，所以tan（α＋β）＝－ ，则tan β＝tan[（α＋β） －α]＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝－2，则tan ＝ ，tan （α＋2β）＝ ⁠. 解析：tan ＝tan ＝ ＝ ＝－8.tan ＝ ＝－2，tan β＝－ ，tan（α＋2β） ＝ ＝ . －8 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈ ， sin α＝ ；③ α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，这三个条件中任选一个，补充在下面 的问题中并解答. 问题：已知 　　　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ . 选择条件②，∵α∈ ， sin α＝ ， ∴ cos α＝ ＝ ，∴tan α＝ ＝ ， 则tan （α＋β）＝ ＝ ＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解得tan β＝ . 选择条件③，∵α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ， 由 sin 2α＋ cos 2α＝1，则可得 sin α＝ ， cos α＝ ，∴tan α＝ ＝3， 则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 已知α，β都是锐角，且tan（α＋β）＝－1，则tan α·tan β的最小值 为 ⁠. 解析：∵α，β都是锐角，所以tan α＞0，tan β＞0，由tan（α＋β）＝－1＝ ，可得tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，由均值不等式有tan α＋tan β≥2 ，所以tan α·tan β－2 －1≥0，可得 ≥1＋ 或 ≤1－ （舍），所以tan α·tan β≥3＋ 2 ，当且仅当tan α＝tan β＝1＋ 时，等号成立，故tan α·tan β的最小值 为3＋2 . 3＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 已知α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ . （1）求 cos （α＋β）的值； 解： ∵α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ ， ∴ cos α＝ ， cos β＝ . ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）是否存在x，y∈ ，使得下列两个式子： ① ＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－ 同时成立？若存在，求出x，y的 值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： ∵α＋β∈（0，π）， cos （α＋β）＝ ， ∴α＋β＝ ，∴ ＋y＝α＋β＝ . ∴tan ＝ ＝ . ∵tan ·tan y＝2－ ，∴tan ＋tan y＝3－ . ∴tan ，tan y是方程t2－（3－ ）t＋2－ ＝0的两个根.∵x， y∈ ，∴0＜tan ＜1， ∴tan ＝2－ ，tan y＝1.∴ ＝ ，y＝ ， 即存在x＝ ，y＝ 满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $