精品解析：四川成都七中初中学校2025-2026学年下学期七年级期中质量检测数学

成都七中初中学校2025-2026学年度2028届七下期中质量检测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分；时间120分钟． 2．请在答题卡上作答，答在试卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的班级、姓名，请用黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，请按照题号在各题目对应的答题区域作答，超出答题区域书习答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，5忽（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 4. 如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在下列条件中，不能确定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 D. 两直角边分别相等的两直角三角形全等 8. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 10. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片________张． 11. 若代数式是一个完全平方式，则实数________． 12. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________． 13. 如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则______ 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算下列各题 （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 16. 如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足． （1）若输入x的值为，求输出的结果为多少； （2）事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）； （3）若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率． 17. 如图，已知，点D为边上一点，点E为外一点，连接交于点F，连接，，有，，且． （1）求证：； （2）若，求的大小． 18. 如图1，，为、之间一点，且满足，，其中． （1）若；求的值； （2）若平分，平分． ①若与互余，求的值； ②为上一动点，连并延长至，使，再过点作的平分线交直线于，问当点M在射线AB上移动时，求的度数．（用含的代数式表示） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则________． 20. 如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 21. 如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是以为腰的等腰三角形，则x与y的关系是________． 22. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为秒，当与的一边平行时，的值为________． 23. 定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式的最小值为________； （2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； （3）已知，，试比较P，Q的大小． 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________； （2）若x满足，求的值； （3）如图（2），已知正方形的边长为x，G，E分别是、上的点，且，，若长方形的面积为48，以线段和线段为边分别作正方形与正方形，求图中阴影部分面积． 26. 如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2025-2026学年度2028届七下期中质量检测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分；时间120分钟． 2．请在答题卡上作答，答在试卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的班级、姓名，请用黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，请按照题号在各题目对应的答题区域作答，超出答题区域书习答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 2. 《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，5忽（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】先得出1忽分，则5忽分，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意得：1分忽，即1忽分， 则5忽分分． 3. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 【答案】A 【解析】 【详解】解：水中捞月是不可能事件，不可能发生； 一箭双雕是随机事件，有可能发生也有可能不发生； 旭日东升是必然事件，一定发生； 绳锯木断是必然事件，一定发生； 所以在这四个成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是水中捞月． 4. 如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，点是边上的动点， ∴由垂线段最短可知，，即，当且仅当点与点重合时，等号成立， ∴在这四个选项中，长不可能是4． 5. 在下列条件中，不能确定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，则能确定是直角三角形； B、∵，， ∴，则是钝角三角形，不是直角三角形； C、∵，， ∴，则能确定是直角三角形； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则能确定是直角三角形． 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 7. 下列结论正确的是（ ） A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 D. 两直角边分别相等的两直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项错误； B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，则此项错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，则此项错误； D、两直角边分别相等的两直角三角形全等（依据是），则此项正确． 8. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 10. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片________张． 【答案】7 【解析】 【分析】求出拼成的长方形的面积，结合每张卡片的面积即可． 【详解】解： ， ∵每张类卡片的面积为，每张类卡片的面积为，每张类卡片的面积为， ∴需要类卡片7张． 11. 若代数式是一个完全平方式，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，展开比较等式左右两边的系数即可． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则______ 【答案】58 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，由折叠的性质知，，则，进一步得到，即可得到的度数． 本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，本题的解题关键是找出纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长AB得到射线AG， ， ， 由折叠的性质知，， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算下列各题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，平方和绝对值的非负性，用到完全平方公式、平方差公式和整式乘除运算法则，解题思路为先展开括号内各项，合并同类项后计算整式除法，再根据非负性求出的值，代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ∵，且， ∴， 得 将， 代入得原式 16. 如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足． （1）若输入x的值为，求输出的结果为多少； （2）事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）； （3）若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率． 【答案】（1）3 （2）必然 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）分别求出当、、时，输出的结果的取值范围，由此即可得； （3）分别求出所有的输出结果，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：若输入的值为，则输出的结果为． 【小问2详解】 解：当时，输出的结果为， 当时，，则输出的结果为， 当时，，则输出的结果为， ∴当时，输出的结果不小于1， ∴事件“输入任一符合条件的，则输出的结果不小于1”是一个必然事件． 【小问3详解】 解：当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 则当所输入的值是满足条件的整数时，输出结果共有8种等可能的情况，其中，输出结果为2的情况有3种， 所以输出结果为2的概率为， 答：输出结果为2的概率为． 17. 如图，已知，点D为边上一点，点E为外一点，连接交于点F，连接，，有，，且． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，再证出，由此即可得证； （2）先求出的度数，再得出，则，进而可得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 18. 如图1，，为、之间一点，且满足，，其中． （1）若；求的值； （2）若平分，平分． ①若与互余，求的值； ②为上一动点，连并延长至，使，再过点作的平分线交直线于，问当点M在射线AB上移动时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）2 （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查了平行的性质，角平分线的定义，能够作出合适的辅助线，并灵活利用平行性质设参求角是解题的关键． （1）过点作，利用平行的性质即可求解； （2）①过点作，利用平行的性质和角平分线的定义即可求解；②过点和点分别作，，利用平行的性质和角平分线的定义即可求解． 【小问1详解】 解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①过点作， 由（1）可知，， 同理可得，， 平分，平分， ，， ， 与互余， ， 解得； ② 设，， 平分，平分， ，， 由（1）可知，， 由①可知，， 过点和点分别作，， 设， 则， 平分， 设， 则，， 根据得，，, ， ， 整理得，， ， ，， ， 即． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再将所求式子变形为，计算同底数幂的乘法、负整数指数幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中线等分三角形的面积以及几何概率公式求解即可． 【详解】解：连接， 设， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴． 21. 如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是以为腰的等腰三角形，则x与y的关系是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】证明，得到，根据周角的定义和等边三角形的性质表示出和的度数，分和两种情况，结合等边对等角和三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：和是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： ①当时，， 在中，， ， 解得； ②当时，， 在中，， ， ， ， ， 解得； 综上所述，与的关系是或． 故答案为或． 22. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为秒，当与的一边平行时，的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意确定旋转的时间范围，将直线平移到直线上，使得两点重合，根据题意得出，分情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：∵ 转动一周回到初始位置时停止 ∴ 运动时间  的范围为 ，即   如图，将直线平移到直线上，使得两点重合， ∵、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转， ，， ∴ ∴平分， 如图，当时，，即 解得： 如图，当时，，则，即 解得： 如图，当时，，则，即 解得： 综上所述，或或 23. 定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 【答案】 12或97 【解析】 【分析】第一问根据“近似完全平方数”定义，从小到大对两位数逐一验证，即可得到最小的“近似完全平方数”；第二问，结合定义得到与的关系式，根据是两位数确定的最大可能取值，验证得到符合条件的最大。 【详解】解：第一问，求最小的“近似完全平方数”： 为正整数，从小到大验证两位数： 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，取，满足，符合定义，故最小的“近似完全平方数”为； 第二问，由题意，原式应为，根据定义：，，代入得： 整理得： 因为是两位数，所以，解得： 要使最大，则需最大，取，代入得： 又因为，得 联立，解得正整数解为或，符合正整数要求，故符合条件； 故答案为：12，97 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式的最小值为________； （2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； （3）已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，即时，的最小值为 【小问2详解】 解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________； （2）若x满足，求的值； （3）如图（2），已知正方形的边长为x，G，E分别是、上的点，且，，若长方形的面积为48，以线段和线段为边分别作正方形与正方形，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）方法一：图中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积；方法二：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分的面积，根据两种方法计算的面积相等即可得； （2）设，，则，先求出，再结合（1）的结论计算即可； （3）先求出，，，再设，，则，求出的值，然后根据图中阴影部分面积等于正方形的面积减去正方形的面积列式，利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：方法一：图中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，即为， 方法二：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分的面积，即为， 所以通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为． 【小问2详解】 解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 设，，则， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴图中阴影部分面积为 ． 26. 如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）①；②，的面积为 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转可得，，再由在中，，可得，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，作于点，过点作于点，由与的面积之比是，可得，由（1）可知，则，由点D为边的中点，可证明点E为边的中点，则，，可得，即可得结论； ②连接，先证明，可得，，可得，再证明，可得，从而得，即可求得的面积，再证明，可得，从而可得的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①如图，连接，过点作于点，作于点，过点作于点， ∵与的面积之比是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴点E为边的中点， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点D为边的中点，点E为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由①可知，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $