河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下学期04月测试（二）数学试题

**基本信息** 高三二模数学试卷，以核心素养为导向，覆盖集合、函数、几何等模块，通过社会热点情境与创新问题设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、线性回归、函数单调性、概率|结合电动自行车管理情境（第5题），考查数学建模| |多选题|3/18|复数、抛物线、函数奇偶性与导数|多选项区分思维层次，如第11题函数性质综合| |填空题|3/15|向量模、三角函数对称轴、三棱柱外接球|注重空间想象，如第14题外接球外切问题| |解答题|5/77|解三角形、导数切线、立体几何、双曲线、n维空间概率|设置n维空间创新题（第19题），考查抽象与推理，贴合高考命题趋势|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D A D C C A AC BCD AC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．4 15．(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16．(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数的极值点为； （2）由（1）可知：，而， 所以切线的方程为， 由，或， 当时，，此时，与有公共点， 当时，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以由，即，此时与有公共点， 综上所述：与有唯一公共点. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可证平面，进而得到平面，可得； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用向量法求出平面与平面的法向量，代入公式运算得解. 【详解】（1）因为平面平面，， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，平面，从而． （2）在平面内，过点P作交于D， 因为平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面， 因为，， 所以， 可得， ∴，， 因为，所以，，两两垂直， 以点D为坐标原点，，，的方向分别为x、y、z轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则， 易知平面的一个法向量为， 由， 解得，所以． 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）结合题意可得，解出，写出双曲线方程即可. （2）（ⅰ）根据题意，得到，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线. 【详解】（1）因为双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2， 所以，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）（ⅰ）因为点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得， 所以，所以， 可得直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线有两个交点，并设, 所以，由韦达定理得，解得， 则，所以成立， 此时只需，解得，则的取值范围为， 易知 所以，即， （ⅱ）证明：由（ⅰ）知， 因为, 所以，故不可能是的三等分线．      【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19．(1) (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【详解】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差．     I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（    ） A．11 B．13 C．63 D．78 3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（    ） 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量的夹角为，则__________. 13．已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 14．直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 16．（15分）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 17．（15分）如图，在四面体中，，平面平面， (1)证明： (2)若二面角的余弦值为，求． 18．（17分）在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2． (1)求双曲线的标准方程； (2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中． （ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？ （ⅱ）证明：不可能是的三等分线． 19．（17分）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） $