2026届高考数学百分练（十四）（7+2+2+3）

**基本信息** 2026高考数学百分卷（十四）以7+2+2+3结构覆盖高频考点，解答题聚焦数列、立体几何、概率统计等核心模块，通过AI测试数据分析、空间几何证明等情境，考查数学思维与数据意识，适配三轮冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题/47分|抛物线焦点、集合运算、复数模、排列组合、圆台与球表面积等|第7题圆台内切球结合空间想象，第9题双曲线与圆综合考查推理能力| |填空题|2题/10分|向量垂直、导数切线斜率|第11题切线平行问题关联函数导数应用，体现数学眼光| |解答题|3题/43分|数列等差构造与不等式证明、立体几何面面垂直与二面角、概率统计分布列与决策|第14题以AI软件测试为情境，通过概率估计、分布列及决策分析，强化数据意识与应用能力，贴合高考命题趋势|

2026高考数学·百分卷（十四） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将抛物线化为标准式得，所以，所以其焦点坐标为，B正确. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由可得，即，即得， 则. 3. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】由得， 所以. 4.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 【答案】C 【解析】礼仪、司机两项只能从其余三人中选派，.翻译、导游两项从剩余三人中选派，. 5.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以的两个根是，2，由根与系数的关系可得，，所以可转化为，解得或，所以原不等式的解集为.故选B. 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，所以，所以，故，故选B. 7．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆， 根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长； 由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：， 代入已知量得，解得；代入球的表面积公式，得. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 【答案】BC 【解析】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 中位数为，故D错误. 9. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ） A. 点M在双曲线C上 B. 当P在圆T上时，的面积为8 C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【解析】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10.已知平面向量，，若，则_________. 【答案】 【解析】，，故，所以. 11.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________. 【答案】 【解析】因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 【解析】设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6，则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1） 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. （2）如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角余弦值为. 14.为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试，每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计B软件能正确解答数学问题的概率. （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数试题2道，几何试题1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示这3道试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望. （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从之前的情况来看，该题是函数试题的概率为，是几何试题的概率为.假设用频率估计概率，试说明小明应该用哪款软件来解答这道试题. 【解析】（1）记B软件能正确解答数学问题为事件B， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得. （2）法一：使用A软件解答函数试题正确的概率为， 使用B软件解答几何试题正确的概率为. 所以X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， . 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 其期望为.………………………………………10分 法二：函数试题用A软件解答，几何试题用B软件解答. 用，分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，，所以有如下分布列： 0 1 2 P 0 1 P 则的所有可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 则其分布列为 X 0 1 2 3 P 由二项分布的期望公式可得，， 因为，相互独立， 所以. （3）小明应该使用B软件来解答这道试题. 记“A软件能正确解答这道试题”为事件E，“B软件能正确解答这道试题”为事件F，“该试题为几何试题”为事件G， 则，，，，，， 由全概率公式可得， . 因为，所以B软件能够正确解答这道试题的概率更大， 故小明应该使用B软件来解答这道试题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（十四） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 4 D. 5 4.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 5.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 7．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 9. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ） A. 点M在双曲线C上 B. 当P在圆T上时，的面积为8 C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10.已知平面向量，，若，则_________. 11.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 14.为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试，每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计B软件能正确解答数学问题的概率. （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数试题2道，几何试题1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示这3道试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望. （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从之前的情况来看，该题是函数试题的概率为，是几何试题的概率为.假设用频率估计概率，试说明小明应该用哪款软件来解答这道试题. 学科网（北京）股份有限公司 $