高考预测练十四-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

高考预测练(十四)　导数的概念及运算 1．(2024·全国甲卷(理))设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　A　) A.　　 B．　　 C．　　 D． 解析：f′(x)＝ ，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 2．(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　B　) A.y＝2x＋1 B．y＝3x＋1 C.y＝2x D．y＝3x 解析：由f(x)＝ex＋2x，得f′(x)＝ex＋2，则f′(0)＝3，又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.故选B. 3．(2025·吉林长统考质量检测)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　D　) A.2 B．0 C．－2 D．－4 解析：因为f(x)＝2xf′(1)＋x2，所以f′(x)＝2f′(1)＋2x 所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2 所以f′(x)＝－4＋2x，所以f′(0)＝－4 故选：D. 4．若直线l过原点，且与函数y＝的图象相切，则该直线的斜率为(　B　) A.1 B． C． D． 解析：因为y＝，所以y′＝， 设切点为，所以y′＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以－＝(－x0)，解得x0＝， 所以切线方程的斜率为k＝＝＝.故选：B 5．函数f(x)＝x2＋2ln x－bx＋a(b＞0，a∈R)在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是(　C　) A.2 B． C．2 D．1 解析：f′(x)＝2x＋－b(x>0)，所以在点(b，f(b))处的切线斜率是f′(b)＝2b＋－b＝b＋，因为b＞0，所以f′(b)＝b＋≥2，当且仅当b＝即b＝时等号成立，故选：C. 6．(2025·广东揭阳高三统考质量检测)设a∈R，函数f(x)＝x3－2ax2＋(a＋3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　A　) A.y＝3x B．y＝－2x C.y＝－3x D．y＝2x 解析：由题设f′(x)＝3x2－2ax＋(a＋3)是偶函数，∴3(－x)2－2a(－x)＋(a＋3)＝3x2－2ax＋(a＋3)，解得a＝0，∴k＝f′(0)＝3， ∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝3x.故选：A. 7．已知曲线y＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为，则a＋b＝(　A　) A.－ B．－ C．－2 D．－ 解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知，切线的斜率k＝tan ＝－1，则 ，解得：a＝－，b＝，所以a＋b＝－.故选：A. 8．若曲线f(x)＝ax－ln x与直线x－2y＋2－2ln 2＝0相切，则实数a＝(　B　) A.－1 B．1 C．2 D．e 解析：直线x－2y＋2－2ln 2＝0，即y＝x＋1－ln 2， 对于f(x)＝ax－ln x，则f′(x)＝a－， 设切点坐标为(x0，ax0－ln x0)，切线斜率k＝f′(x0)＝a－， 则切线方程为y－(ax0－ln x0)＝(x－x0)，即y＝x＋1－ln x0， 由题意可得 ，解得 .故选：B. 9．(多选)列导数的运算中正确的是(　ABD　) A.(3x)′＝3x ln 3 B.(x2ln x)′＝2x ln x＋x C.′＝ D.(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：(3x)′＝3x ln 3，A正确；(x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2x ln ＋x，B正确；(sin x cos x)′＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，D正确；因为′＝，所以C项错误，其余都正确．故选： ABD. 10．已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则过点(1，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可以为(　BC　) A.2x＋y－1＝0 B．y＝－1 C.9x＋4y－5＝0 D．3x＋2y－1＝0 解析：由f(x)＝x3－3x＋1，得f′(x)＝3x2－3, 设切点坐标为(t，t3－3t＋1)，则f′(t)＝3t2－3, 则过切点的切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t＋1，把点(1，－1)代入，可得－1＝(3t2－3)(1－t)＋t3－3t＋1，整理得：(t－1)2(2t＋1)＝0，即t＝1或t＝－.当t＝－时，切线方程为9x＋4y－5＝0；当t＝1时，切线方程为y＝－1.故选：BC. 11．(2025·四川成都二诊)设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx，若f(x)的图象过点P(1，3)，且曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线也过点P，则a＝__－2__． 解析：因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx， 所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 又f(x)的图象过点P(1，3)， 所以3＝2＋a＋b，所以a＋b＝1， 又曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝bx，直线y＝bx过点P(1，3)， 所以b＝3，则a＝－2. 12．(2025·福建福州模拟)若曲线y1＝x3与曲线y2＝a ln x相切，则a＝__e__． 解析：由已知得y1′＝x2，y2′＝， 设切点为(b，)，b＞0，则该点也在曲线y2＝a ln x上，则＝a ln b， 因为两曲线相切，所以两曲线在切点处的切线相同， 因为y1′|x＝b＝b2，y2′|x＝b＝，所以b2＝， 则a＝b3，a＞0， 代入＝a ln b，得＝a ln b，所以ln b＝，解得b＝e，则a＝e. 13．(2025·辽宁名校联盟调研)设a≠0，若曲线f(x)＝a ln (x－1)在点(2，f(2))处的切线也是曲线g(x)＝eax-2的切线，则a＝____． 解析：∵f(x)＝a ln (x－1)，∴f′(x)＝， ∴f′(2)＝a，又f(2)＝0， ∴曲线f(x)＝a ln (x－1)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝a(x－2)， 根据题意可知直线y＝a(x－2)也是曲线g(x)＝eax-2的切线， 设直线y＝a(x－2)与曲线g(x)＝eax-2切于点(x0，eax0－2)， ∵g′(x)＝aeax-2，∴g′(x0)＝aeax0－2， ∴ 解得a＝. 14．(预测)(2025·河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝(y′是y的导数，y″是y′的导数)，曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径．已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线做曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2的光滑轨道运动，则其在点(0，0)处的向心加速度的大小为(　B　) A.v B．2v C.v D．v 解析：设f(x)＝x3－x2，则f′(x)＝3x2－2x，f″(x)＝6x－2，所以f′(0)＝0，f″(0)＝－2，则曲线在点(0，0)处的曲率K＝＝2，曲率半径p＝，故曲线y＝x3－x2在点(0，0)处的向心加速度的大小为＝2v.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $