单元过关(十四)圆锥曲线的方程-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

梦想是人生的幼力，奋斗是人生的意义 2025一2026学年度单元过关检测（十四） c D.3 班级 爸题 数学·圆锥曲线的方程 7,已知双曲线C:一京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F,过点F,作x轴的 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 垂线与C在第-象限交于点M,0为坐标原点，若M=NF,且ON·M=0, 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 则C的离心率为 () 是符合题目要求的。 A.25+2 B.5+1 C.5-1 D6+1 2 题号 1 2 答案 &在离心率为：的隔圆C号+若-1o>6>0中，A,B分别为C的左.上顶点，R,为北 1.如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式√x+(y-2)严+√r+(y+2)了=8，那 右焦点，F2D⊥x轴且D在C上(D在第一象限)，直线BD交过点A且垂直于x轴的 么点M的轨迹对应的曲线为 () 垂线于E,若F,D A椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 E=e,则e= () 2.若方程x 方)十，2一1表示双曲线，则实数的取值范围为 (） A 2 A.(-1,2) B.(-2,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.(-∞，-2)U(1,十∞) D.(-∞，-1)U(2,+o∞) 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3地物线=2(>0)的焦点为P,其准线与双曲线写号-1交于A,B两点，者 题号 9 10 11 答案 △ABF为等边三角形，则p的值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 9.已知P是椭圆C:号+y=1(a>1D第一象限上的一点，F,F是C的两个焦点， 4.已知抛物线C:y=6x的焦点为F,过F且倾斜角为45°的直线1与C交于M,N两 2x 点，则IMF|·NF|= () ∠FPF,-3,点Q在∠FPF,的平分线上，∠FPF,的平分线与x轴交于点M,O A.12 B.24 C.36 D.18 为原点，OQ∥PF1,且OQ=1,则 () 5.已知双曲线C:6-号1的左右焦点分别为F,F,P为C右支上一点，0为坐标原 AC的方程为号+1 点，Q为线段PF1的中点，T为线段QF1上一点，且QT|=OQ|,则F,T1=() 且C的高心率为号 A.3 B./10 C.4 D.5 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上，PQ垂直于（于点Q,直 C.△PFF2的面积为3 线QF与C相交于M,N两点.若M为线段QF上靠近点F的三等分点，则-(） D.点P到z轴的距离为得 单元过关检测（十四）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十四）数学第2页（共8页） 10.星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线C:x+yi=a5(a>0)上 14已知取自线C后-若-1a>0b>0的焦距为2c,直线，+兴-1与C的交点为 C. 的点到x轴距离的最大值为1，则 () A,若点A到C的左焦点的距离不小于点A到C的右焦点的距离的5倍，则C的离心 率的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 x2.y2 x2 y2 15.a3分)已知椭圆C:云+京-1a>b>0)与双曲线C:示”-1(m>0,n>0)有 A.a=1 公共焦点F1,F2,C1与C2在第一象限的交点为P,且|PF:=√7十1，PF:=7 B.C上的点到原点距离的最大值为1 1,PF⊥PF. C.C上的点到原点距离的最小值为号 (1)求C1与C2的方程； (2)记C的上顶点为A,C:的左顶点为B,直线AB与C1的另一个交点为D, D.当点)在C上时，<言 求AD|. 1山.已知双曲线x-兰=1，过原点的直线AC,BD分别交双曲线于A,C和B,D四点 1 (A,B,C,D四点逆时针排列)，且两直线斜率之积为-3，则tan∠AOB的可能取值为 A.-3 4 3 C 3 D、5g 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知动点B在抛物线y2=8x上，A(一1，一3)，则该动点B到点A的距离与到y轴的 距离之和的最小值为一 13.若椭圆+ 圆。十：=1(a>b>0)的离心率e满足e一521，则称该椭圆为“黄金椭 10<m<10)是“黄金椭圆”，则m=“黄金椭圆”℃，2 y2 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F,(-c,0),F,e,0)(c>0),P为C上异于顶 点的任意一点，点M是△PFF:的内心，连接PM并延长交F1F:于点N,则 PM MN= 单元过关检测（十四）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十四）数学第4页（共8页） 16.15分)尼知满阿子+号-1，一组斜率为的平行直线构收一组直线束 17.(15分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,点D(2,0),过F的直线交C于M,N两点， 直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的斜率分别为k1,k:. (1)求这组直线束的纵截距的范围为多少时才能与椭圆有两个交点？ (2)当这组直线束与椭圆有两个交点时，证明：这组直线束所包含的直线被椭圆截得 （④证明会为定值 的线段的中点在同一条定直线上，并求出该定直线的方程 (2)直线AB是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：若不过定点，请说明理由. 单元过关检测（十四）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十四）数学第6页（共8页） 18.(17分)若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这个椭圆为“质朴椭 117分已知椭圆C,+ : =1(a>b>0),C的上顶点为B,左、右顶点分别为A, 圆” )证明：椭圆如十x 225十54-1为“质朴椭圆 A,左熊点为P,离心率为分过F,作垂直于x轴的直线与C交于D,E两点，且 DE=3. 2是吞存在实数m,使得椭圆5+片=10<m<36)为“质朴椭圆”？若存在，求m的 (1)求C的方程 值：若不存在，请说明理由。 (2)若M,N是C上任意两点， (3)设斜率为2的直线1经过椭圆C:。+X=1(0<b<3)的右焦点，且与C交于A,B ①若点M,》,点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G,设△MA,G和 两点，AB1-0试同C是否为质朴精圆？说明你的理由。 △NAG的面积分别为S1,Sg,若2S1-2S:=3,求线段MN的长度 ②若直线MN不与坐标轴垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P,Q 两点，已知P,Q,M,N四点共圆，证明：线段MN的长度不大于√14. B 单元过关检测（十四）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十四）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 所以(3-a,2)=2(-3,b-2),可得a=9,b=3, 即m+n=6, 又M(0,2),则OM=2,PM=3, 2 由直线EF的方程为y= (x-n), m-n 所以梯形AOMP的面积为2X2X(3+9)=12, 将n=6-m代人上式可得2m(y-1)一 (12分) (2x+6y-12)=0, (14分) 由题意得，梯形FOME的面积为6， y-1=0, x=3, 由 解得 设E(m,2),Fa,0),可得号×2×m十m)=6, 2x+6y-12=0, y=1, 所以直线EF恒过定点(3,1). (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十四） 数学·圆锥曲线的方程 一、选择题 y2-6y-9=0,故y1y2=-9,故|MF|·|NF| 1.A【解析】由M(x,y)满足√x2+(y-2)z+ =√1+1严|y1|·√1+1|y2=2×9=18. √x2十(y十2)=8，可知动点M(x,y)到定点(0， 解法二：MF·|NF|=1-cos&·1+cosa 2),(0,-2)的距离之和为8，且8>4，所以点M 力2 的轨迹为椭圆。 =9 =18. 1-cos2a 2.B【解析】依题有(m-1)(m十2)<0， 解得-2<m<1. 5.C【解析】如图： 3.C【解析】抛物线的焦点坐标为(0，） 准线方程为y=一2' 唯线方程与双曲线方程联立可得2=1) 因为P为C右支上一点， 解得x=士 3+ 4,故AB=2,3+ 所以|PF1|-|PF2|=2a=8. 41 因为O为坐标原点，Q为线段P℉1的中点， 因为△ABF为等边三角形，所以)|AB|=2, 所以0Q-PF,F,Q-1PF 即有2 ·2 ./3+ =p,解得p=6. FT=FQ-QT=FQ-OQ= 4 2(PF-|PF2l)=4. 6,D【解析】如图，过，点M作MH⊥l于点H,设l 与x轴的交点为K, 4.D【解析】解法一：由题意知直线l:y=x一 3 2 y2=6x, 设M(x1y1),N(x2,y2),联立 3得 y=x-2' ·11· B 真题密卷 单元过关检测 因为M为线段QF上靠近点F的三等分点， NFOF MH MQI 2 △ONF1D△MF,F1,所以F,F2-TMF1' 所以FK=FQ3' 即2+c2 2 5ac a2十c2,整理可得e4-3e2+1=0, ac 因为FK1=力，所以MH=3p, 解得e2-3t5或e2-3,5 2 (舍去)， 由抛物线定义知，MF=|MH1= 2 3p, 所以FQ|=2p,在Rt△FKQ中， 故e=6+1 2 因为ca∠KFQ=西-多日 8.D【解析】由题意得A(-a,0),B(0,b), 所以∠KFQ=60°，因为PQ∥FK, F,c,0,pe,2） 所以∠PQF=∠KFQ=60°， 由抛物线定义知，|PQ|=PF|, 直线BD:y= b2-ab x+b, ac 所以△PQF为等边三角形， 所以|PQ|=|PF|=|FQ=2p,∠PFQ=60°， 令x=-a,得y=b-b2+bc c 可得点P的孩生标为，设PN与工轴的交点 b2 ,|F2D a bc 因为TAE =e2= ab-b2+bc a2-ab+ac a2, 为G, c 因为直线MN的斜率为tan∠GFQ=tan(180° 所以 ∠KFQ)=n120=-5,且过F(号o小， 。-b+c=a 所以ab=ac-bc十c2, 所以直线MN的方程为y=-(-), 所以(a+c)b=(a+c)c, 所以b=c, 联立 =一5(e-2》1r-20+80 ly2=2px, 所以e== c2 a=√a=√2+6=2： =0, 二、选择题 解得红-碧或工=名 6, 9.ACD【解析】如图，设|PF1=m,|PF2=n, 3 3 延长OQ交PF2于点A. 则点N的横坐标为)p,又点P的横坐标为2p, 可得PN垂直于x轴，且垂足为G, 所以在Rt△PQN中，由∠PQN=60°， PN 可得PQ=tan∠PQN=5. 7.D【解析】依题意，∠MR,E,=90,MF,= 由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点， a wi-g+a-e+ 则A为PF2的中点， ,周为矿-， 又∠QPA=∠F,PQ=∠AQP-, 所以NF=号M,=2a, 5a，由题意， 所以△AQP是等边三角形， B ·12· ·数学· 参考答案及解析 (m+n=2a, 错误； 则 11 对于D,当点(xo,y0)在C上时， 1+2n=2m, 因为x号+y后-lx|号+|y≥2Wza月 m-n=2, m=a+1, 化简得 即 m+n=2a,n=a-1, =21zoyoi, 在△F1PF2中，由余弦定理得m2+n2十mn= 得1≤g,当且仅当=1-空时等 4c2, 号成立， 所以(a+1)2+(a-1)2+(a+1)(a-1)=4c2, 即3a2+1=4c2. 即C上的点到x,y轴距离乘积的最大值为8， 又可得a2-c2=1,所以c2=4,a2=5, 故D正确. 所以C的方程为+y=1,故A正确； 11.AC【解析】如图，当点A位于第一象限时， 点B位于第二象限，设直线OA的斜率为k, 片以e-后e-29成B袋买 1 则直线OB的斜率为一3克' 1 △PF,F,的面积为2 mnsin3 2x_3(a2-1）=5, 因为双曲线的渐近线方程为y=士√x, 4 故C正确； 所以k∈(0W3),一3 ∈(-5,0) 设点P到x轴的距离为么，则2×2ch=5, 所以E佰S 解华A-收D区 1 因为tan∠AOB= 3E一 10.ABD【解析】对于A,因为星形线C上的点到x 、入1=一3 轴距离的最大值为1， 令x=0,得y=|a|=1, 因为西数y=质十品在停，）上单明递减， 因为a>0,可得a=1,故A正确； 对于B,由图可得C上的，点到原点距离的最大值 在（停5上单河递增， 为1，故B正确； 对于C,设点P(xo)在C上，则x号十y号-1， 所以函教y=一 3 因为x8+=(x)+()°=(x后+y)· 上单调递减， 增，在3 (xj-ay+y) 当 3时y=一3；当= 9 时，y=一5 3 =(x+)[(x+)2-3()门 当k=√3时，y= 5w3 =1-1-g+》 3 4 所以an∠AOB的取值范国为-53，-3。 当且仅当到=-号时学号成主， 当，点A位于第四象限，点B位于第一象限时，同 即C上的点到原点距高的最小值为)，：C 理可得∠A0B份原位花同为5,5】 ·13· B 真题密卷 单元过关检测 综上所述，tan∠AOB的取值范围为 PF PF2+PF PM INE,故 NF2+NFNM2c C (-55,-ua,） 2 5+1 W5-1 2 14.√2【解析】记C的左焦点和右焦点分别为 F1,F2, 因为直线L过，点F2,所以|AF1|-|AF2= 2a①. 三、填空题 由题得，直线1的斛率= a, 12.3√2-2【解析】由题知，焦点为F(2,0), 所以tan∠AE2F=,cos∠AF2F1=&, a 准线方程为x=一2， 由抛物线定义知动，点B到点A的距离与到y轴 即cos∠AF2F1= 4+IAF:I-AF 2AF2·2c c 的距离之和可化为|BF|一2十|BA|, 联立①②，解得 |AF21=c2-a2 2a,AF,=3a'te2 2a, 故3a+c 2a 2a 解得仁≤2，故C的离心率的最大值为2. 当A,B,F三点共线，且B在线段AF上时， 四、解答题 |BF|-2+|BA|有最小值， 15.解：(1)因为PF1=√7+1，|PF2|=√7-1， 最小值为|AF|-2=√(-1-2)+(-3-0)-2 PF1⊥PF2,所以|F1F2|=√/PF12+PF2 =3√2-2. =4, 13.5.5二55十【解析】肉D大 故F1(-2,0),F2(2,0). (2分) 2 =1(0<m< m 由椭圆的定义可得，2a=PF1|+|PFz|= 10)是“黄金捕圆”，故5-1-10-m 27,a=√7，b2=a2-c2=3. (4分) 2 √10 由双曲线的定义可得，2m=PF:|一|PF2= 故m=5W5-5. 2,m=1,n2=c2-m2=3. (6分) x2,y2 所以C:7+3=1, C2x2- 31. (7分) (2)由题意得A(0,3),B(-1,0), 连接F2M,F1M,因为M为内心， 则直线AB的方程为y=√3x十√3， (8分) 故FzM,F1M为角平分线， y=√3x+√5， PF2 PM 由角平分线的性质，有 设D(xy),联立xy NF2 NM (7+31, B ·14· ·数学· 参考答案及解析 得4x2+7x=0,所以x1=一 4,所以y1= A),B(经，直线MNx=y+1, 3√3 与C:y2=4x联立可得 4 (11分) y2-4my-4=0,△>0，y1y2=-4①，(2分) 所以AD1=(-)°+( 3W3 y1-y2 4 由斜率公式可得1= yyy+y 44 (13分) 2=y,y4 4 3 16.(1)解：依题意，设这组平行直线的方程为y= yyyy' (4分) 44 +m, (1分) 代入稀圆方程号+ =1,消去y, 可设直线D:-己+2，代人超物线方程 得9x2+6m.x+2m2-18=0, (4分) 可得y2一4x1-2) y1y-8=0, (6分) 由△>0，可得36m2-36(2m2-18)>0, △>0，y1y3=-8②， 解得-3√2<m<3√2， (6分) 联立①②得y3=2y2,同理可得y4=2y1, 故这组直线束的纵截距的取值在（一3√2,3√2）时， 4 4 所以k2= k1 y3十y42(y1+y2)2? 才能与椭圆有两个交点. (7分) (2)证明：由(1)知直线和椭圆方程联立， 即=2 (8分) 可得9x2+6m.x十2m2-18=0, (2)解：结合(1)题知y3y4=4y1y2=-16. 此时-3√2<m<3√2， 设直线AB:x=ny+b, 则被截得的线段中点的横坐标为一3m, x=ny+b, 由 得y2-4ny-4b=0,△>0， y2=4x, (10分) y3y4=-46=-16,即b=4, (14分) 3 代人直线方程y= x十m,可得截得线段的中 所以直线AB过定点(4,0). (15分) 11 点为（-3m,2m (12分) 1 x=- 3, 3 由 消去m,可得y= 1 22, y=2m, (14分) 18.(1)证明：已知椭圆 x2 所以这组直线束所包含的直线被椭圆截得的线 225+54=1, 段的中点在定直线y=多：上。 (15分) 即a15 b=3V6, 17.1)证明：由题知F1,0,设M(停）， 则-6-网4--分 所以焦距2c=3,离心率e=C=1, ·15· B 真题密卷 单元过关检测 所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质 解得b2=8, 数，即该椭圆为“质朴椭圆” (4分) 则C的焦距2c=2√9-b2=2为质数， (e席圆后+ -=1(0<m<36)的焦距为 离心率e= b21 a 1-=3 m 2√36-m,离心率e= 1 =√36-m N 36 6 其倒数上=3为质数， 若存在实数m, 所以C为“质朴椭圆”. (17分) 俊得精时后+片 =1(0<m<36)为“质朴椭圆”， 9.(1)解：由离心率为哥，得么3 4 6 则2/36-m/36-m 均为质数， (6分) 由1DE1=3,得(，)在C上，可得2 a 一3 又0<2√36-m12, 解得a=2,b=√3， 所以2√36-m=2,3,5,7,11, 所以C的方程为+少 4十3=1. (3分) 35711 即√36-m=1,22'2’2' (2)①解：由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0), 则 6 121212 =6,45气，这些数都不是质数， 连接MAMO,因为S:-S:-2, √/36-m 1 33 所以不存在实数m,使得椭圆 + =1(0<m< S△M,0=2X2X2=2 所以S△NGA,=S△MOG,得S△NMA,=S△MOA2, 36)为“质朴椭圆”， (10分) 所以ON∥MA2, (3)解：设C的右焦点为(c,0)(c=√9-b), 3 则直线l的方程为y=2(x一c), 又因为kM,=一2' 设直线1与椭圆的交点为A(x1y1), 所以直线ON的方程为y=一 2x, (5分) B(x2,y2), 3 y=2(x-c), y= 2x, 联立x2y 由 x2 y2 9+6=1, 4+3=1, 得(b2+36)x2-72cx+36c2-9b2=0,△>0， 得N(,-)或N(-1,)舍去)， (12分) 所以|MN|=3. (7分) 72c72√9-b 则x1十x2一62+36 62+36? ②证明：设直线MN:y=kx十m,M(x1,y1), 36c2-962324-45b2 N(x2,y2),P(z3,y3),H(xo,yo), x1C2= b2+36 b2+36, (13分) 则Q(-xa,-y3). y=kx+m, 则|AB=√1+2 72√/9-b2 324一45b -4· b2+36 b2+36 联立x2y,可得 3062 4+3 =1, 60 b2+3611' (3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0, (8分) B ·16· ·数学· 参考答案及解析 △=64m2k2-16(m2-3)(4k2+3)>0, 所以x号= 16k2 (12分) 得m2-3-4k2<0, 4k2+3’ 8mk 4m2-12 所以x1十x2= 462+321x2= 4k2+3’ 所以HP·hQ=(+)i- 4k2+3-m2 6m y1+y2=k(1+x2)+2m=4h+3' =(9+16k2)· (4k2+3)2, 所以中点H的坐标为（ Amk 3m 4k2+3’4k2+3 所以121+)=9+16，得为=士.14分) 所以kam=一在，放直线OHy= 3 所以m2<3+4k2=6,得m∈(-√6，√6)， 4k2. 1MN1:=481+k的).6t32-42-7m≤14 (10分) (4k2+3)2 3 由P,Q,M,N四点共圆， 即|MN|≤√14. (17分) 得|HMl·|HN|=|HP|·|HQ|, 由HM·HN=号IMN: =11+k2)[(x1+x2)2-4z1x2] 4k2+3-m2 =12(1+k2)。 (4k2+3)2: 、3 联立 可得x2=1662 +苦 42+3, 2025一2026学年度单元过关检测（十五） 数学·统计与概率 一、选择题 甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2，所以甲 1.B【解析】由题意得，1,1，…，1的平均数为1，则 队全年比赛丢失球的个数的方差为1.2=1.44，乙队 =0[1-1)+1-1++-10门=0 全年比赛丢失球的个数的方差为0.6，因为1.44 >0.6,所以乙队防守技术的发挥比甲稳定，故②， 2.C【解析】由概率公式可得P(B)=1一P(B)=1一 ④正确；因为乙队平均每场比赛丢失2.2个球，大 21 3=3,因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 于1，故乙队几乎场场失球，故③正确. 所以号+号-P(AB)=得可得PAB)=写所 4D【解折】由题高，6×25%=1.5,7×25%=？ 1.75,所以原数据和新数据的第25百分位数均为 以P(AB)=P(A)·P(B),因此事件A与事件 第2个数，所以当a为1,2,3,4,5时，新的样本数 B相互独立. 据的第25百分位数不变，所以新旧样本数据的第 3.D【解析】甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队 平均每场比赛丢失2.2个球，1.5<2.2，所以甲队 25百分位教相等的概率P=。. 防守技术比乙队好，故①正确； 5.D【解析】当x≤8时，将数据进行排列，得到x, ·17· B