小升初应用题：鸽巢问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦鸽巢原理的系统性应用，通过分层题型构建“概念-方法-变式”逻辑链，强化推理意识与最不利原则的迁移应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|平均分+1（商+余数分析）|从简单分配问题切入，建立“物体-抽屉”对应关系，推导基本原理| |变式拓展|6-15题|抽屉构造+最不利原则|通过颜色、组合等场景变式，训练抽屉分类与极端情况分析能力| |综合提升|16-25题|多元素组合+极端分析|结合复杂情境（如分数、余数、多抽屉），深化逻辑推理与模型应用|

小升初应用题：鸽巢问题 1．六（1）班有41名学生，他们做了210只千纸鹤，要把这些千纸鹤分给全班的学生，会不会有人得到6只或6只以上的千纸鹤？ 2．有红、黄、蓝三种颜色的小球各110个，混放在一个布袋里，一次至少摸出多少个球，才能保证有5个是同一种颜色的？ 3．分别写着3、5、8的数字卡片各12张。如果从中任选两张组成一个两位数，至少组合成几次一定会出现两个相同的两位数？ 4．一些孩子在海洋球里玩耍，他们把海洋球分成许多堆。其中有一个孩子发现，从海洋球堆中任意选出六堆，其中至少有两堆海洋球数之差是5的倍数。你说他的结论对吗？为什么？ 5．某地元月份的天气有晴、阴、多云、雨、雪这五种情况，至少有多少天是同一种天气？ 6．六年一班有55个学生，每个学生参加篮球、足球、排球中的两项活动，那么至少多少人参加的活动项目相同？ 7．在100张卡片上不重复地编上1-100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？ 8．池塘里有6只青蛙跳到4片荷叶上，总有一片荷叶上至少有2只青蛙。为什么？ 9．笔盒里有4支圆珠笔和3支钢笔（一样粗细），如果闭上眼睛拿笔，一次至少拿几支笔才能保证有1支是钢笔？ 10．一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各10个，它们的大小和质量都一样，至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？ 11．参加数学竞赛的210名学生中，能否保证有18名或18名以上的学生出生的月份相同？为什么？ 12．六（2）班有45人，男生、女生的人数比是3∶2，随机选取，至少选多少人才能保证选出的人中男生和女生都有？ 13．六（3）班同学分成5个组进行跳绳比赛，不管怎么分，总有一个组至少有10人。六（3）班至少有学生多少人？ 14．书架上有5本故事书、8本文艺书、12本科技书。 （1）从书架上取书，要想取出的书一定有3本是同一种类的，至少要取出多少本？ （2）要想取出的书一定有3个种类，至少要取出多少本？ 15．把10个红球、9个黄球、8个绿球、3个蓝球混合后放到一个布袋里，一次至少摸出多少个球才能保证有2个红球？ 16．一副扑克有4种花色，每种花色13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张才能保证有4张牌是同一花色？为什么？ 17．张叔叔参加射击比赛，打了9枪，成绩是85环。他至少有一枪不低于10环，为什么？ 18．一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 19．袋子里有4只红手套，2只黑手套，2只紫手套。一次摸出几只手套才能保证至少有一只红手套？ 20．一个盒子里放了质地、形状、大小都相同的红、黄、绿三种颜色的粉笔各8支，当你蒙上眼睛去盒子中取粉笔时，为了确保自己取出的粉笔中至少有5支颜色相同，应至少取出多少支粉笔？ 21．口袋里装有42个红球、15个黄球、20个绿球、14个白球和9个黑球。至少要摸出多少个球，才能保证其中有15个球的颜色是相同的？ 22．箱子里有苹果、梨和桃若干个，现有35个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿2个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果种类是相同的？ 23．五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问：至少有几名学生的成绩相同？ 24．有规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？ 25．一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？ 26．幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友可以任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同，请说明道理． 27．有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字“1”，2张上面写着数字“2”，3张上面写着数字“3”，……，99张上面写着数字“99”，100张上面写着数字“100”。现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？ 28．一个布袋里有红､黑､白三种颜色的彩笔各8支。每次从布袋里取出一支彩笔，最少要取多少次才能保证配成不同的2对彩笔？ 29．夏令营有500个学生参加，请问在这些学生中，至少有多少人在同一天过生日？至少有多少人在同一个月过生日？ 30．将红、绿、黄三种颜色的筷子各5根混放在一起，如果闭上眼睛，最少拿多少根筷子就一定能保证拿出的筷子里至少有两根是同色的？请说明你的理由。 31．书架上有6本故事书，8本文艺书，10本连环画。 （1）从书架上取书，要想取出的书一定有4本是同一种类的，至少要取出多少本？ （2）要想取出的书一定有3个种类，至少要取出多少本？ 32．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 33．叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 34．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色。不管怎么涂至少有两个面涂的颜色相同。为什么？ 35．六（1）班有学生52人，全班至少有5人在同一个月过生日。这种说法对吗？为什么？ 36．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 37．六（1）班有52名同学，他们都订阅《故事会》、《小学生作文》和《中国少年报》中的一种或几种，那么，其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？ 38．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 39．有四种颜色的积木若干，每人可任取1﹣2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？ 40．有49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁．参加体操表演的学生是否一定有两个学生肯定是同年同月出生的？ 41．国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒。结果每个格子里至少放一粒米，无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒？ 42．任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）。 43．如果有25个小朋友乘6只小船游玩，总有一只小船里至少坐了5个小朋友，为什么？ 44．把同样大小的五种颜色的球各4个放到一个盒子里，至少摸出多少个球，才可以保证摸到两个颜色相同的球? 45．52名同学答2道题，规定答对一题得3分，不答得0分，答错一题扣2分，至少有几名同学的成绩相同？ 46．某校六年级有320人，这些同学中，至少有多少名同学在同一月过生日？为什么？ 47．盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白球各12个。要想摸出的球中一定有4个同色的，至少要摸出几个球？ 48．一把钥匙只开一把锁，现在有5把钥匙和5把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，那么最多要试几次才能把锁全部打开？ 49．100名孩子围成一圈做游戏，其中有41个男孩，59个女孩，那么一定有两个男孩，他们之间恰好有19个孩子，这是为什么？ 50．有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋里随意摸出3枚棋子。试证明这5个小朋友中至少有两人摸出的棋子的颜色是一样的。 51．有红、黄、蓝、黑四种小球各若干个，每个人可以从中任意摸出两个．那么，需要多少人同时摸球，才能保证至少有2人摸的小球颜色相同？ 52．饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子分到7个苹果，饲养员至少要拿来少个苹果？ 53．50名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？ 54．证明：任意给定一个正整数n，一定可以将它乘适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．会 【分析】尽可能平均分配就可以得到“至少”最多的一组数量。 【详解】210÷41=5（只）……5（只） 5+1=6（只） 答：会有人得到6只或6只以上的千纸鹤。 【点睛】此类题目都是先用除法计算再用加法计算，直接用商加上1即可得到最多的一组的数量。 2．13个球 【详解】建立鸽巢：把红黄蓝三种颜色分别看做3个鸽巢． 考虑最差情况：摸出12个小球，每个鸽巢都有4个小球，此时再任意摸出1个小球，无论放到哪个鸽巢都会出现5个颜色相同的小球，所以12+1=13（个）． 答：一次至少摸出13个球，才能保证有5个是同一种颜色的． 3．10次 【分析】3、5、8进行组合会有9组不同的两位数，假设前9次出现的都是不同的两位数，那么第10次组成的数字一定和前9次的数字中的一个相等。 【详解】因为可以组成的数字为：35、38、53、58、85、83、33、55、88共9组两位数，假设前9次抽到的数字都不相同，那么至少组合10次一定会出现两个相同的两位数。 【点睛】解决这类有多种可能的题目，需要先根据题意把所有可能按顺序列出，再解答问题。 4．答：原题说法正确。我们把6堆海洋球数看作任意6个自然数，它们被5除，其余数不外乎是0、1、2、3、4五种可能，如果把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里，根据“抽屉原理”，6个自然数被5除后，必有两个余数相同，显然两数之差是5的倍数。 【分析】此题主要利用“抽屉原理”解决简单的实际问题，任何一个正整数除以5所得的余数只有5种情况：余0（整数）、余1、余2、余3、余4。所以对于任意的六个正整数A、B、C、D、E、F除以5最多可以有5个不同的余数。 【详解】答：原题说法正确。我们把6堆海洋球数看作任意6个自然数，它们被5除，其余数不外乎是0、1、2、3、4五种可能，如果把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里，根据“抽屉原理”，6个自然数被5除后，必有两个余数相同，显然两数之差是5的倍数。 【点睛】此题是主要考查利用“抽屉原理”解决简单的实际问题，属于比较困难的题目，应该适当增加些此类题目的训练，提供自身运算速度和运算正确率。 5．7天 【分析】元月份有31天，晴、阴、多云、雨、雪这五种情况看作5个抽屉，31÷5＝6（天）……1（天），即平均每种天气情况有6天，还余1天，所以至少有6＋1＝7（天）是同一种天气。 【详解】31÷5＝6（天）……1（天） 6＋1＝7（天） 答：至少有7天是同一种天气。 【点睛】此题考查简单的抽屉问题，分清31天看作物体总个数，五种天气情况看作5个抽屉，解答方法为：至少数＝商＋1（有余数的情况下）。 6．19人 【分析】由题意可知，每个学生可以选择参加篮球和足球，篮球和排球，足球和排球，一共3种不同的选择方案，把55个学生看作被分放物体数，3种不同的选择方案看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】分析可知，被分放物体的数量为55，抽屉的数量为3。 55÷3＝18（人）……1（人） 18＋1＝19（人） 答：至少19人参加的活动项目相同。 【点睛】准确找出被分放物体数量和抽屉数量是解答题目的关键。 7．68 【分析】因为12＝3×4，若要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数即可；在100个数中，3的倍数有100÷3＝33个，其余100－33＝67个数不含有因数3，在最不利的情况下，如果先抽到的数正好是这67个，此时，只要再从含因数3的33个数中任意取一个数，就可以满足条件，据此解答。 【详解】由分析得：12＝3×4 所以要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数； 100÷3＝33（个） 100－33＝67（个） 67＋1＝68（张） 答：至少要随意抽出68张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是要知道保证抽出的数的乘积能被12整除，这个数必须是3和4的公倍数。 8．如果每片荷叶上跳上1只青蛙，那么余下是2只无论跳到哪片荷叶上总有一片荷叶上至少有2只青蛙。 【分析】这是一道比较简单的抽屉问题，把这道题转化成抽屉问题解答即可。 【详解】6只青蛙跳到4片荷叶上，按平均分的方法，4片荷叶各有一只青蛙共4只，还余下2只青蛙要跳到荷叶上，无论这余下的2只青蛙，是同时跳到一片荷叶上，还是分开跳到两片荷叶上，总会满足总有一片荷叶上至少有2只青蛙，用算式表达就是：6÷4＝1……2。 【点睛】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。 解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。 9．4＋1＝5（支） 【详解】略 10．13个，31个 【详解】把10种不同颜色看作10个抽屉，把40种不同颜色的球看作40个元素，从最不利情况考虑：（1）每个抽屉放3个需要3×4=12个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出12+1=13（个）． （2）先把其中的3种球取尽，共需要3×10=30个，再取出1个（剩下的球），就能保证有4种不同颜色的球，所以至少要取出：30+1=31（个）． 答：至少要摸出13个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球；至少要摸出31个，才能保证有4种不同颜色的球． 11．能。因为210÷12＝17……6，余下的6人一定会和前面其他人的出生月份相同，所以至少有18名学生出生的月份相同。 【分析】一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，根据抽屉原理来解答即可。 【详解】一年有12个月，看作12个抽屉，把210名学生分到12个抽屉，每个抽屉里有17人，余下6人无论在哪个月出生，都保证至少有18人出生的月份相同，用算式表示为： 210÷12＝17……6 17＋1＝18（人） 答：能，因为210÷12＝17……6，余下的6人一定会和前面其他人的出生月份相同，所以至少有18名学生出生的月份相同。 【点睛】本题考查抽屉问题，解答本题的关键是理解一年有12个月，考虑最差的情况，这210名学生出生月份分到12个月，每个月都有17人，余下6人，无论在哪个月出生，都保证至少有18人在同一个月出生。 12．28人 【分析】根据比例的知识可知男生女生各有27人、18人，所以如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算即全是男生，把27位男生都选完了，再选一定是女生，所以至少选（27＋1）人即28人。 【详解】男生人数：45× ＝27（人） 女生人数：45× ＝18（人） 27＋1＝28（人） 答：至少选28人才能保证选出的人中男生和女生都有。 【点睛】此类题此题主要考查了鸽巢原理的运用，要从最坏的情况考虑。 13．46人 【分析】根据抽屉原理，至少数＝平均数＋1（在有余数的情况下）。因为每组至少有10人，10－1＝9（人），总人数分成了5组，每组9人，总人数就是9×5＋1＝46（人） 【详解】（10－1）×5＋1 ＝9×5＋1 ＝45＋1 ＝46（人） 答：六（3）班至少有学生46人。 【点睛】此题考查的是对抽屉原理的问题的理解。 14．（1）7本  （2）21本 【详解】（1）3×（3-1）+1=7（本）     （2）12+8+1=21（本） 15．22个 【分析】考虑最不利原则，可以先把除红球外的9个黄球、8个绿球、3个蓝球先全部取出来，取出来了20个球，里面一个红球有没有，再取出2个球即可保证有2个红球。 【详解】（个） 答：至少摸出22个球才能保证有2个红球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，在求解问题的时候，先要找出不符合要求的最大数量。 16．15张；理由见详解 【分析】共4种花色，就是4个抽屉，解决此类问题要从最坏的情况考虑。 【详解】4×3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝15（张） 答：至少要抽15张才能保证有4张牌是同一花色；因为如果4张花色各抽出3张，再抽出大王和小王，共抽出14张，那么再抽出一张无论是什么花色都能保证有4张牌是同一花色。 17．如果他每次都打9环，那么一共可以打81环，实际他打了85环，还多了4环，所以至少有一枪不低于10环。 【详解】85÷9=9（环）……4（环）      9+1=10（环） 18．115人 【详解】因为最高可得4×10＝40（分） 最低是倒扣：10-1×10＝0（分） 共有40+1＝41（种）不同分数。 答对与答错之间的分数差是3+1=4分；答对一题和空一题之间差3分，所以最高分40分，对9题的情况下，最高分40-3=37分，最低分40-3-1=36分，中间的38分和39分不会出现；依次列举可得35分也不会出现。 41-3=38 38×3＋1=115（人） 为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有115人。 答：参加考试的学生至少有115人。 19．5只 【分析】根据题干，最坏的情况是取出4只手套：2只黑手套，2只紫手套，此时剩下的全是红色手套，再任意取出1只，就能保证至少有一只红手套。 【详解】2＋2＋1＝5（只）； 答：一次摸出5只手套，才能保证至少有一只红手套。 【点睛】此题主要考查了抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最不利情况。 20．13支 【详解】（5－1）×3＋1 ＝12＋1 ＝13（支） 答：应至少取出13支粉笔。 21．66个 【分析】红球、黄球、绿球数目都超过了15个，白球和黑球数目没超过15个，考虑最不利的情况，先把9个黑球、14个白球全部摸出，再把红球、黄球、绿球各摸出14个，红球、黄球、绿球还有剩余，只要在它们中再摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的。 【详解】考虑最不利的情况，先把9个黑球全部摸出，14个白球全部摸出 ，此时仍然没有15个球的颜色是相同的，继续摸出14个黄球，14个绿球，14个红球，此时已摸出65个球，只要在剩余的红球、黄球、绿球中任意摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的，则至少摸出：9＋14＋14＋14＋14＋1＝66（个） 答：至少要摸出66个球，才能保证其中有15个球的颜色是相同的。 【点睛】本题考查抽屉问题，解答本题的关键是理解考虑最不利的情况，当把白球、黑球全部摸出后，再把红球、黄球、绿球各摸出14个，此时只要在剩余的红球、黄球、绿球中任意摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的。 22．6个 【详解】每个小朋友拿水果的方式有6种。 35÷6＝5(个) ……5(个)　 5＋1＝6(个) 答：至少有6个小朋友拿的水果种类是相同的。 23．3名 【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，解题的关键是弄清抽屉数量，根据条件“ 成绩都是整数，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间”，可以计算出75～95之间的整数有几个，也就是有几个抽屉，然后用总人数－3＝剩下的学生总数，将剩下的学生总数放入抽屉中，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n＝b……c，那么有一个抽屉至少放（b＋1）个物体，据此解答。 【详解】75～95之间的整数有95－75＋1＝21（个） 47－3＝44（名） 44÷21＝2……2 2＋1＝3（名） 答：至少有3名学生的成绩相同。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 24．11只 【分析】预想运气最差情况，假想先取6只颜色都不一样，再取1只肯定能配1双； 再取1只跟刚刚那个颜色一样，等于配齐6种颜色，跟着再取1只又配了1双； 继续取1只跟刚刚配好那双颜色一样，又配齐了6种颜色，还得再取1只，就3双了； 所以从箱内至少取出11只袜子才能保证有3双袜子。 【详解】6+1+1+1+2=11（只） 答：从箱内至少要取出11只袜子才能保证有3双袜子。 【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。 25．15个 【分析】考虑最“坏”的情况，先取出4个红球，5个黄球，5个黑球，这样再取一个，不论取出的是黄球还是黑球，将有6个球颜色相同。 【详解】（个） 答：至少要取15个小球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加上去，得到符合要求的最小数量。 26．每个小朋友可以任意选择两件，选择情况有：2个白兔、2个熊猫、2个长颈鹿、白兔和熊猫、白兔和长颈鹿、熊猫和长颈鹿，一共有6种拿法；最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，分别是上面的6种情况；此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的； 6+1=7（个）； 所以，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同． 【详解】已知共有三种玩具，每个小朋友任意选择两件相同的玩具有3种情况；选择两件不同的玩具一共有3种不同的情况，所以一共有6种不同的拿法，最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的，所以在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同；据此解答． 27．865张 【分析】根据极端思想从最不利的情况解答此题。 【详解】最不利情形是写着1到9的全抽了，写着10到100的各抽了9张，则只要再任抽一张，就能保证抽出的卡片至少有10张的数字完全相同，至少要抽： （1＋2＋…＋9）＋（100﹣10＋1）×9＋1 ＝45＋819＋1 =45+820 ＝865（张） 答：至少要从中抽出865张，才能确保在抽出的卡片中至少10张卡片上的数字完全相同。 【点睛】解决此类问题利用极端思想是一种有效的方法。计算时，要认真，不要出错。 28．11次 【解析】略 29．至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【分析】（1）一年最多有366天，假如每天都有1人过生日，那么余下的人数无论在哪一天过生日都能保证至少有2人在同一天过生日； （2）一年有12个月，假如每个月都有41人过生日，那么余下的人数无论在哪一月过生日，都能保证至少有42人同一个月过生日。 【详解】500÷366＝1……134 1＋1＝2（人） 500÷12＝41……8 41＋1＝42（人） 答：至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 30．4根；理由见详解 【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头3根分别是3种颜色中的各1根，那么第4根肯定能与头3根中的一根配成颜色相同的一双，据此解答即可。 【详解】3＋1＝4（根）； 答：最少拿4根筷子就一定能保证拿出的筷子里至少有两根是同色的。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 31．（1）10本 （2）19本 【分析】（1）从最不利情况考虑，每种都取出3本，再取一本，无论是哪种书，一定有4本是同一种类的，据此分析； （2）从最不利情况考虑，连续取出10本连环画，又连续取出8本文艺书，再取一本一定是故事书，一定有3个种类，据此分析。 【详解】（1）3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（本）　 答：至少要取出10本。 （2）10＋8＋1＝19（本） 答：至少要取出19本。 【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。 32．见详解 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。 （2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】25÷4＝6（本）……1（本） 6＋1＝7（本） 答：总有一名同学至少发到7本书。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 33．因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。 【分析】不低于就是大于等于，因为41÷5＝8……1，就是说至少有一镖大于等于9环。如果都小于九环，成绩就会小于等于40环，据此即可解答。 【详解】41÷5＝8……1 8＋1＝9（环） 答：因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理。 34．因为6＞3，根据抽屉原理可知，不管怎么涂至少有两个面涂的颜色相同 【分析】因为有6个面，如果每个面颜色都不相同则需要6种颜色，所以只要是6种以内的颜色都会出现至少2个面颜色相同，给一个正方体木块地6个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色，将3种颜色当做抽屉，将6个面当做苹果，因为6＞3，根据抽屉原理可知，不管怎么涂至少有两个面涂的颜色相同。 【详解】给一个正方体木块地6个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色，将3种颜色当做抽屉，将6个面当做苹果，因为6＞3，根据抽屉原理可知，不管怎么涂至少有两个面涂的颜色相同。 【点睛】把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 35．对；原因见详解 【分析】一年有12个月，把月份看作抽屉数，把学生人数看作被分放物体数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】52÷12＝4（人）……4（人） 4＋1＝5（人） 答：全班至少有5人在同一个月过生日，所以这种说法对。 【点睛】找准抽屉的数量和被分放物体的数量是解答此类问题的关键。 36．11个 【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（个） 15－9＝6（个） 9＋1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。 【点睛】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 37．8名 【分析】每人都订阅一种或几种共有1＋2＋3＝7种订法，则共有7个抽屉，52名同学是52个元素，根据抽屉原理解答即可。 【详解】按平均分的方法：52÷7＝7……3 每个抽屉都有7人，还剩下3人，这3人无论在哪个抽屉，都满足至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。 答：至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。 【点睛】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。 38．9次 【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【详解】（次） 答：最少需要取9次。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 39．29人 【分析】每人取1件时有4种不同的取法，每人取2件时，有10种不同的取法，4＋10＝14，所以一共有14种不同的取法，把这14种不同的取法看做14个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况：每个抽屉都有2人，再多1个人，无论分配到哪一个抽屉，都能保证有3人取得完全一样。 【详解】根据题干分析可得，共有14种不同的取法，把这14种不同的取法看做14个抽屉， 14×2＋1＝29（人） 答：当有29人时，才能保证到少有3人取得完全一样。 40．是的 【详解】12×（11－8＋1）＝48 49÷48＝1……1    答：参加体操表演的学生一定有两个是同年同月出生的． 41．1055个 【分析】如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有1＋1＋2＋2＋3＋3＋…＋32＋32＝1056个米粒。如果少于1056个米粒，那必然有三个格子里的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒。 【详解】8×8＝64（个） 64÷2＝32（个） 1＋1＋2＋2＋3＋3＋…＋32＋32 ＝（1＋32）×32÷2×2 ＝33×32÷2×2 ＝33×32 ＝1056（个） 1056﹣1＝1055（个） 答：至多有1055个米粒。 【点睛】此题考查了学生分析、解决问题的能力，注意计算要细心。 42．证明过程见详解。 【分析】要证明：任意给定2008个自然数，其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）；可先将这2008个数依次排列然后进行求和，从而来判断是否有和是2008的倍数；若没有，则必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差（仍然是，，……中若干个数的和）是2008的倍数；据此解答。 【详解】把这2008个数先排成一行：，，……， 第1数为； 前2个数之和为＋； 前3个数之和为：＋＋； …… 前2008个数之和为＋＋＋…＋， 如果这2008个和中有一个是2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008 的余数只能为1， 2，……2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差（仍然是，，……中若干个数的和）是2008的倍数，所以结论成立。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，难度较大，要认真分析题意，再根据抽屉原理进行解答。 43．256=4……1 4+1=5（个） 【解析】略 44．至少摸出6个。 【详解】略 45．9名 【解析】略 46．至少有27名同学在同一月过生日，因为无论怎么样剩余的同学都会在12个月其中一个月里生日。 【分析】因一年有12个月，320÷12＝26（名）……8（名），最差情况是26名在一个月过生日，还余8名，根据抽屉原理，至少26＋1＝27人在同一个月过生日。 【详解】320÷12＝26（名）……8（名） 剩下的8名同学，无论怎么样都会在12个月其中一个月里生日 26＋1＝27（名） 答：至少有27名同学在同一月过生日。 【点睛】在此抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余的情况下）。 47．13个 【分析】每个球都摸到，且数量均匀则同色的数量就少，若摸出12个有可能每种颜色都有3个，再摸一个就必然有一个颜色有4个。 【详解】3×4=12（个） 12+1=13（个） 答：至少要摸出13个球。 【点睛】做此类题目要具备一定的假设和列举能力，要想4个同色，则要考虑所有颜色都有3个的前提下再摸一下就能保住有4个同色。 48．10次 【分析】第一把钥匙最坏的情况要试4次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的4把锁和4把钥匙，最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（次） 答：那么最多要试10次才能把锁全部打开。 【点睛】完成本题要注意每试开一把锁都要根据最坏原理进行计数。 49．分成20组，根据抽屉原理，至少有一组含有[41÷20]＋1＝3个男孩子，对于这一组的5个人（不考虑其他人），这三个男孩子必存在两个是相邻的，（注意是环形，第一个和第五个也算相邻，否则至少需要6个孩子）对于相邻的这两个男孩子，看原来的编号，他们中间一定有19个孩子。 【分析】从某一个孩子开始给所有孩子从1至100进行编号，然后按：{1，21，41，61，81}，{2，22，42，62，82}，{3，23，43，63，83}，……{20，40，60，80，100}，分成20组，根据抽屉原理，至少有一组含有[41÷20]＋1＝3个男孩子，对于这一组的5个人（不考虑其他人），这三个男孩子必存在两个是相邻的，（注意是环形，第一个和第五个也算相邻，否则至少需要6个孩子）对于相邻的这两个男孩子，看原来的编号，他们中间一定有19个孩子。 【详解】把这100名孩子编号为从1到100， 然后按{1，21，41，61，81}{2，22，42，62，82}{3，23，43，63，83}…{20，40，60，80，100}分成20组， 41÷20＝2……1 2＋1＝3（个） 对于这一组的5个人（不考虑其他人），这三个男孩子必存在两个是相邻的， 对于相邻的这两个男孩子，看原来的编号，他们中间一定有19个孩子。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。 50．3枚棋子的排列有：黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白共4种情况，前4个人情况都不一样，第5个人也会和前4个人其中之一一样。 【详解】略 51．11人 【分析】“每个人可以从中任意摸出两个”．每人摸到两个球的颜色可能是2红，2黄，2蓝，2黑，1红1黄，1红1蓝，1红1黑，1黄1蓝，1黄1黑，1蓝1黑，共10种情况下，只要再有一人摸一次，不论摸到的是什么颜色的2个球，至少有2人摸的小球颜色相同．据此解答． 【详解】解：每人摸到两个球颜色可能是： 2红，2黄，2蓝，2黑，1红1黄，1红1蓝，1红1黑，1黄1蓝，1黄1黑，1蓝1黑，共10种情况． 所以至少有2人摸的小球颜色相同的人数是：10+1=11（人）． 答：需要11人同时摸球，至少有2人摸的小球颜色相同． 52．61个 【分析】把10只猴子看做10个抽屉，苹果的个数看做元素，利用抽屉原理最差情况：每个抽屉里先放6个共需要6×10=60个，再任意放一个，就能保证至少要有一只猴子分到7个苹果。 【详解】1＋6×10 ＝1+60 ＝61（个） 答：饲养员至少要拿来61个苹果。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 53．9名 【分析】根据题意，写出得分的几种情况：①都答对的，得6分；②都答错的，得0分；③答对一道，另一道答错，得3分；④答对一道，另一道不答，得4分；⑤两道都不答，得2分；⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况，然后把它看作6个抽屉，把50名同学看作50个元素，再根据抽屉原理解答即可。 【详解】50÷6＝8（名）……2（名）； 8＋1＝9（名）； 【点睛】本题考查了筛选与枚举以及抽屉原理的综合应用，关键是求出有几种得分；至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。 54．证明过程见详解 【分析】要使任意给定的一个正整数n，一定可以将它乘适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数，则这个数可写成n＝7k（k＝7或0）的形式；据此解答即可。 【详解】考虑如下n＋1个数：7，77，777，……，，，这n＋1个数除以n的余数只能为0，1，2，……，n－1中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n的余数相同，不妨设为和（p＞q），那么－＝是n的倍数，所以n乘适当的整数，可以得到形式为的数，即有0和7组成的数。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理的应用，关键是要认真分析题意，建立正确的抽屉进行解答。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $