精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题

2026年春期高二年级期中模拟考试 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章——选择性必修二第二章第四节 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 2. 设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可 【详解】若，且，则， 所以， 反之，若，则， 所以，且或，且， 所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件. 故选：A 3. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 4. 下列命题中正确的是（   ） A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验、线性相关系数、线性回归方程求解判断即可. 【详解】对于A：若，且，则根据小概率值的独立性检验，拒绝原假设， 认为两个分类变量有关系，A错误. 对于B：线性相关系数的取值范围为，当所有样本点都在直线上，说明是完全负线性相关， 此时线性相关系数，B错误. 对于C：回归直线是预测值，当时，，为预测值，所以变量的值可能不等于15，C错误. 对于D，由，两边取自然对数，且，若线性回归方程为， 则，即，的值分别是和，故D正确. 5. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 6. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，设第个月贷款利息为，偿还本金为，得到数列是以为公比的递增等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，B正确；C选项，利息和为；D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大， 还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额， 高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益， 故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：D. 7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用函数的中心对称性公式即可求解； 对于B，利用倒序相加法求和及A选项的结论即可求解； 对于C，利用B选项的结论及与的关系，结合等差数列的前项和公式即可求解； 对于D，利用B选项的结论及裂项相消法求和即可求解. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，所以，令， 所以，故A正确； 对于B，因为 所以 因为，所以即，故B正确； 对于C，由题可知，当时，，当时，，取时，，满足此式， 故的通项公式为.所以， 而，所以.故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 因为，所以，即，故D正确. 故选：C. 8. 已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点． D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性回归方程及线性相关定义判断AB；结合已知条件求出均值及去除异常点后新的均值，即可判断C；根据卡方的计算判断D. 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，故A正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，故B正确； 对于C，回归直线方程为，当时，， 所以，，即，， 去除一个异常点后，，，可得新的均值为，， 即新的回归直线必过点，故C正确； 对于D，若每一个数据均变为原来的3倍， 则 ，故D错误. 10. 下列命题正确的是（   ） A. 已知函数满足：，且，则 B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C. 已知，则 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出导函数应用赋值法计算判断A，特殊函数计算判断B，应用导数定义及运算律判断C，应用切线求出距离的最小值判断D. 【详解】对于A，由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以，故选项A正确； 对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点， 例如函数，在处的切线为，该切线与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确； 对于C，，故， 所以， ，故选项C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 11. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ） A. 是数列中的最大项 B. 是数列中的最大项 C. D. 满足的的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴， ， 对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确； 对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，∵，∴，解得， ∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故答案为： 13. 已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得且，即可求解. 【详解】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且， 所以且，解得． 故答案为：. 14. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知递推式进行化简求出，进而求出及，再结合已知条件构造不等式求解． 【详解】由，则，即， 又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，故， ， ， 令，解得， 正整数的最大值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求曲线在处切线的方程； （2）已知（为自然对数的底数），，若直线是与的公切线，求的方程； 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程； （2）分别设出切点，求出导函数进而得出切线斜率，得出两函数的切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程. 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2）设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与 切点为 切线方程为：，即 ② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得， 即，解得或， 当时切线方程为 ，当时切线方程为， 综上，直线的方程为或. 16. 数列的前项和为，； （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. 【小问2详解】 因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 17. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. （2）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）更适合， （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【小问1详解】 由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. 【小问2详解】 零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 18. 已知满足，且 （1）求和； （2）求的前项的和； （3）若，求. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系，得出，结合等比数列通项公式可得，再利用递推可求； （2）利用分组求和的方法分奇数项和偶数项讨论即可求得答案； （3）先分组，结合错位相减法可得答案. 【小问1详解】 当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故， 即， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. . 【小问2详解】 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. 【小问3详解】 ， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 19. 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题： （1）对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”. ①设函数，记的“切线轴数列”为； ②设函数，记的“切线轴数列”为， 则，求的通项公式. （2）在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明） 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义分别求出函数，在时的切线方程，由此可求，再利用错位相减法求； （2）结合导数的几何意义证明，由此可得，证明为等比数列，结合所给结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论. 【小问1详解】 由题意则. 设切点为 则过切点的切线为 令，整理得， 所以. 由题意则. 设切点为则过切点的切线为. 令整理得 所以. 对于当是正奇数时；当是正偶数时即 . 所以 两式相减，得 所以. 【小问2详解】 因为二次函数有两个不等实根, 所以不妨设， 则， 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即， 因为 所以. 因为所以所以. 令则，又 所以， 数列是公比为2的等比数列. . 由因为所以即. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，数列求和，证明不等式，第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程，进一步求出，利用错位相减法求和，第二问解决的关键在于结合所给结论，通过适当放缩，证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二年级期中模拟考试 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章——选择性必修二第二章第四节 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 2. 设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（   ） A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和 5. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点． D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）． 10. 下列命题正确的是（   ） A. 已知函数满足：，且，则 B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C. 已知，则 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 11. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ） A. 是数列中的最大项 B. 是数列中的最大项 C. D. 满足的的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，若，则______. 13. 已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______． 14. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求曲线在处切线的方程； （2）已知（为自然对数的底数）， ，若直线是与的公切线，求的方程； 16. 数列的前项和为，； （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 17. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. （2）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知满足，且 （1）求和； （2）求的前项的和； （3）若，求. 19. 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题： （1）对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”. ①设函数，记的“切线轴数列”为； ②设函数，记的“切线轴数列”为， 则，求的通项公式. （2）在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $