河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学自编模拟试题（五）

河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学自编模拟试题（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B． C．曲线在处的切线的斜率为0 D．最多有3个零点 2．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 3．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 4．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列1，，2，，4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 6．某单位安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（   ） A．120 B．108 C．96 D．72 7．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．常数项为240 C．没有含的项 D．二项式系数最大的项是 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 11．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（    ） A．函数的极大值点有个 B．函数在上是减函数 C．若时，的最大值是，则的最大值为4 D．当时，函数有个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为___________. 13．若 圆被直线平分，则圆的半径为__________. 14．若，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数，其中． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围． 16．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． (4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，且甲站在乙的左边． 17．如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 18．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 19．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学自编模拟试题（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C D A C BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】由导函数图像得出原函数的单调性，即可判断选项. 【详解】设，且． 由图可得，当时，， 当时，． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 故最多有3个零点．排除ABC. 故选：D 2．A 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 3．A 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故. 故选：A. 4．A 【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】向量， 若，则，即，解得或， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 5．C 【分析】观察即可得出数列的通项公式为，解，即可得出答案. 【详解】根据规律可得，令，可得，故16是该数列的第9项． 故选：C. 6．D 【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分布计数原理可得答案. 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六）， 共3种情况. 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：D. 7．A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 8．C 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求； 【详解】由得， 则斜率，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C 9．BC 【分析】展开式共项可判断A；写出通项可判断BC；利用二项式系数的性质可得最大，再利用通项即可判断D. 【详解】因，则展开式共有项，故A错误； 通项为， 令，得，则，故B正确； 令，得，不符合题意，故没有含的项，则C正确； 由二项式系数的性质可知最大，故二项式系数最大的项是，故D错误. 故选：BC 10．ACD 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】A选项，根据向量的加减法法则，，故A选项正确； B选项，建立空间直角坐标系，以为原点，分别以所在直线为轴， 则， ， 设异面直线与所成角为，根据向量点积公式，故B选项错误； C选项，由B选项中坐标可知，所以，故C选项正确； D选项，设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， ，根据点到平面的距离公式，故D选项正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确； 函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误； 作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．/ 【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可. 【详解】， 故点A到平面的距离为. 故答案为： 13． 【分析】 首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径. 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为，即， 解得：， 则圆，则圆的半径为. 故答案为： 14．3 【分析】根据排列数和组合数可得，且，运算求解即可. 【详解】因为， 则，且， 整理得：，解得或（舍去）. 故答案为：3. 15．(1) (2) 【分析】（1）求定义域，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到在上必存在变号零点，即在上必存在零点，由于，只需，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，，， 所以的图象在处的切线方程为， 即， 化为一般式为． （2）函数，定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 即在上必存在零点， 由于，由二次函数性质可知只需， 解得，即的取值范围是． 16．(1)288 (2)720 (3)600 (4)720 【分析】（1）从男生中任选1名有种选法，从女生中任选3名有种选法，再将4个人全排列即可求解； （2）利用捆绑法即可求解 （3）先安排甲，再全排列即可求解， （4）利用捆绑法即可求解. 【详解】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，再将选取的4人排列有种排法，由乘法原理共有种排法． （2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，再将3个男生全排列有种，由乘法原理共有种排法． （3）对于甲有种排法，其他人有种排法，乘法原理共有种排法． （4）将甲乙看作一个整体，然后与剩余5个人全排有种，故共有种排法． 17．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）证明：由正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，取中点，连接， 由，，得四边形为平行四边形，则， 由，得，则直线，，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，则， 取，则，，得，而， 因此，则，又平面， 所以平面． （2）由（1）得， 平面BDE的法向量为， 则，则， 令，则，，得， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. （2） . 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线点斜式方程即可求出答案； （2）（ⅰ）在上单调递增，分为和两种情况结合导数与单调性的关系求出函数在上的单调性，根据题目条件列不等式即可求出答案； （ⅱ）由题可知，，，代入可得，即，，设公差为，消元得到，列等式即可求出公差. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点，则，即，解得． 所以实数的取值范围为 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②． 设公差为，即， 由①可得，，由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差． 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $