圆锥曲线中的求值、最值和范围问题 课件-2026届高三数学三轮冲刺

　圆锥曲线中的求值、最值和范围问题 相交 相切 相离 平行 平行或重合 D B 1 16 [知识总结] 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ. ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 ； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线 ． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点． ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 ． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·. [基础训练] 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( ). A．(1，＋∞)　　　 B．(0，＋∞) C．(0，1)∪(1，5)　　　 D．[1，5)∪(5，＋∞) 2．若抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是x3，则( ). A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3 C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0 3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是 ． 4．如图8.7­1，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F1且与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为 ；若l的倾斜角 是45°，则△ABF2的面积为 ． 图8.7­1 5．已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l，l与双曲线－y2＝1的两条渐近线分别交于点A，B，若AB＝4，则a＝ ． 题型1　求值问题 【例1】(2024·北京卷)已知椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过(0，t)(t>)的直线l与椭圆交于A，B两点，C(0，1)，直线AC交椭圆于另一点D． (1)求椭圆方程和椭圆的离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】(1)由题意，b＝c＝＝，所以a＝＝2，所以椭圆的方程为＋＝1，离心率为. (2)如答图8.7­1，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t(t>)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 答图8.7­1 化简并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0，由题意得Δ＝16k2t2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8(4k2＋2－t2)>0，即4k2＋2－t2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，因为直线BD的斜率为0，所以D(－x2，y2)，所以直线AD的方程为y＝·(x－x1)＋y1，令x＝0， 得yC＝＝＝＝＋t＝＝1，所以t＝2，此时k应满足解得k<－或k>，所以t＝2满足题意，此时k<－或k>. 【变式】已知点F(2，0)，直线l：x＝1，动圆P与直线l相切，交线段PF于点G，且|PF|＝|PG|. (1)求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线； (2)过点F且倾斜角大于的直线l′与y轴交于点M，与点P的轨迹交于点M1，M2，且＝λ＝μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 【解析】(1)设点P(x，y)，则|PG|＝|x－1|.因为|PF|＝|PG|，所以＝|x－1|，即(x－2)2＋y2＝2(x－1)2，整理得－＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长、虚轴长均为2的双曲线． (2)设直线l′：x＝my＋2，因为l′的倾斜角大于，所以m∈(－∞，－1).设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，M，由得(m2－1)y2＋4my＋2＝0(m2－1>0)，所以Δ＝16m2－8(m2－1)＝8(m2＋1)>0，所以 因为＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，＝，＝λ＝μ，所以－＝λy1＝μy2，所以λ＝－，μ＝－，所以λ＋μ＝－－＝＝＝4. 题型2　最值问题 【例2】(2025·全国Ⅰ卷)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|·|AP|＝3. ①设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)； ②设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 【解析】(1)由题可知A(0，－b)，B(a，0)，所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)①设R(x0，y0)，易知m≠0，由题意得kAP＝，故＝，且mx0>0.因为A(0，－1)，|AR||AP|＝3，所以×＝3，即x0m＝3，解得x0＝，所以y0＝，所以点R的坐标为. ②由①知kOR＝＝，kOP＝，由kOR＝3kOP，可得＝，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋(n＋4)2＝18(m≠0)，所以点P在以N(0，－4)为圆心，3为半径的圆上(除去两个点)，|PQ|max为Q到圆心N的距离加上半径，设Q(xQ，yQ)，则＋y＝1，|QN|2＝x＋(yQ＋4)2＝9－9y＋y＋8yQ＋16＝－8y＋8yQ＋25＝－8＋27≤27，当且仅当yQ＝时取等号，故|PQ|max＝＋3＝3(＋). 【变式】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点A. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点B(4，0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值． 【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4，解得a＝2.又b2＝a2－()2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1).由消去x，可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0. 因为Δ＝16(m2－12)＞0，所以m2＞12.所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为kP′Q＝＝，所以直线P′Q的方程为y＋y1＝(x－x1).令y＝0，可得x＝＋my1＋4＝＋4＝＋4＝＋4＝1， 所以D(1，0).所以S△DPQ＝|S△BDQ－S△BDP|＝|BD|·|y1－y2|＝＝.令t＝，t∈(0，＋∞)，则S△DPQ＝＝≤，当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立．所以△DPQ面积的最大值为. 题型3　范围问题 【例3】(2024·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝. (1)求椭圆的方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在y轴上是否存在点T，使得·≤0恒成立？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)因为椭圆的离心率e＝，所以a＝2c，b＝c，其中c为半焦距，所以A(－2c，0)，B(0，－c)，C，所以S△ABC＝×2c×c＝，所以c＝，所以a＝2，b＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (2)若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为y＝kx－，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，联立可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，故Δ＝144k2＋108(3＋4k2)＝324＋576k2>0且x1＋x2＝，x1x2＝－，而＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)， 所以·＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t)＝x1x2＋＝(1＋k2)×x1x2－k(x1＋x2)＋＝(1＋k2)×－k×＋＝＝，因为·≤0恒成立， 所以解得－3≤t≤.若过点的动直线的斜率不存在，则P(0，3)，Q(0，－3)或P(0，－3)，Q(0，3)，此时需使－3≤t≤3，两者结合可得－3≤t≤.综上，存在T(0，t)，使得·≤0恒成立． $