圆锥曲线中的常见结论及应用课件-2026届高三数学三轮冲刺复习

圆锥曲线中的常见结论及应用 例1　(1)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的一点P满足 |PF1|=3|PF2|，若P在第一象限，则点P的坐标为　　 　　. 题型一　焦半径公式(第二定义) 解析　由题意，a=，c=2，e=， 设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则由焦半径公式， |PF1|=+x0，|PF2|=-x0， 因为|PF1|=3|PF2|， 所以+x0=3， 解得x0=， 解析　又点P在椭圆+=1上，且y0>0， 则+=1，得y0=， 故点P的坐标为. (2)过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若|AF|=3，则 |BF|=　　. 解析　方法一　由题意，|AF|=xA+1=3， 所以xA=2，代入y2=4x可得yA=±2， 由对称性，不妨设A(2，2)， 又F(1，0)，所以kAF==2， 故直线AF的方程为y=2(x-1)， 联立 消去y整理得2x2-5x+2=0， 解析　解得x=2或x=， 因为xA=2，所以xB=， 故|BF|=xB+1=. 方法二　如图，设∠AFO=α， 由题意知p=2，则|AF|==3， 所以cos α=-， 故|BF|===. 解析　方法三　由题意，p=2， 所以+==1， 将|AF|=3代入可得|BF|=. (1)如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算 ①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减). 思维升华 (2)如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算 ①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减). 思维升华 (3)如图3，设A为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，点F为抛物线的焦点，直线AF与抛物线的另一个交点为B点，记∠AFO=α，则焦半径|AF|= ，|BF|=. 思维升华 跟踪训练1　(1)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的取值范围为　　　　. [2，6] 解析　由题意得a=，c=2，e=， 设P(x0，y0)，其中-≤x0≤， 则|PF1|=+x0，|PF2|=-x0， 所以|PF1|·|PF2|=6-，取值范围为[2，6]. (2)双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|=5，则△PF1F2的面积为　　　　　. 6或4 解析　方法一　由题意得a=1，b=，c=2，e=2， 设P(x0，y0)，则|PF1|=|2x0+1|=5， 解得x0=2或x0=-3， 当x0=2时，代入双曲线方程可求得y0=±3， 所以=·|F1F2|·|y0|=6； 当x0=-3时，代入双曲线方程可求得y0=±2， 所以=·|F1F2|·|y0|=4. 综上所述，△PF1F2的面积为6或4. 解析　方法二　由题意得a=1，b=，c=2， 所以|F1F2|=4， 当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知 |PF1|-|PF2|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=3， 显然+=， 所以PF2⊥F1F2， 从而=·|PF2|·|F1F2|=×3×4=6； 当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2， 又|PF1|=5，所以|PF2|=7， 解析　从而cos∠PF1F2==-， 所以sin∠PF1F2==， 从而=·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2=×5×4×=4. 综上所述，△PF1F2的面积为6或4. 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 题型二　垂径定理(第三定义) 证明　方法一　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，  则kAB=，kOM=，x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， 因为 两式作差得+=0， 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 证明　即·=-， 于是·=-， 所以kAB·kOM=-. 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 证明　方法二　设直线AB的方程为y=kx+m， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由消去y得 (b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0， 所以x1+x2=-， 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 证明　于是y1+y2=k(x1+x2)+2m=， 所以M， 于是kOM==-. 因此kAB·kOM=k·=-. 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 证明　方法三　令=x'，=y'，则x'2+y'2=1. 原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点， 由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'=-1， 又因为kAB===·kA'B'，kOM===·kOM'， 所以kAB·kOM=·kA'B'··kOM'=·kA'B'·kOM'=-. (1)椭圆中的垂径定理 思维升华 (2)双曲线中的垂径定理 (3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线+=1(m>0，n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则kAB·kOM=-. (4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM=e2-1. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P使直线AP和BP的斜率之积kAP·kBP∈，则椭 圆C的离心率e的取值范围是　　　　　. 解析　由题意，-<kAP·kBP=-<0， 所以<，从而a2>3b2=3(a2-c2)， 故>， 所以e=>，又0<e<1， 所以<e<1. (2)已知双曲线C：x2-y2=2 026的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线右支 上一点，且∠APB=4∠PAB，则∠PAB=　 　. 解析　令∠PAB=α，则α∈， ∠PBx=β，则β∈， 则β=5α，所以α∈， 又e2===1+=2， 由双曲线的垂径定理可知 tan α·tan β=tan α·tan 5α=e2-1=1， 则tan α==tan，-5α∈， 则α=-5α，故α=. 例3　(多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是 A.椭圆中△ABF1的周长为4a B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大 C.椭圆中= D.双曲线中= 题型三　焦点三角形 √ √ √ 解析　对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确； 对于B，cos∠F1AF2= = = =-1， 解析　∵|AF1||AF2|≤=a2， 当且仅当|AF1|=|AF2|，即点A是短轴端点时取等号， ∴cos∠F1AF2=-1≥-1， 又∵y=cos θ在(0，π)上单调递减， ∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确； 解析　对于C，由选项B的推导过程得 cos∠F1AF2=-1， ∴|AF1||AF2|=， ∴=|AF1||AF2|sin∠F1AF2=··sin∠F1AF2 =b2·=b2tan ，C错误； 对于D，证明方法同椭圆，=，D正确. 对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质. 思维升华 跟踪训练3　已知椭圆C：+=1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为 A.2 B.4 C.6 D.12 √ 解析　由e=，得=，即a=2c. ① 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2=3π，解得r=(舍负). 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知=b2tan=r(2a+2c)， 即b2=(a+c)， ② 又a2=b2+c2， ③ 联立①②③得c=3，a=6，b=3， 所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12. 课时精练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D D B ABC AD 题号 9 10 答案 ∪ 一、单项选择题 1.(2020·新课标全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为 A. B.3 C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　方法一　由题意知a=1，b=，c=2，F1(-2，0)，F2(2，0)， 如图，因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2， 所以点P在以F1F2为直径的圆上， 故PF1⊥PF2， 则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2， 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4， 所以|PF1||PF2|=6， 所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上， 且|F1F2|=2=4. 设点P的坐标为(x0，y0)， 则解得|y0|=. 所以△PF1F2的面积为 |F1F2|·|y0|=×4×=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　方法三　由|F1F2|=4，|OP|=2，可知∠F1PF2=， 所以==3. 2.椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 解析　由垂径定理得·=-=-，又∈[-2，-1]， 所以∈. 3.如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1， 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1， 则e=. 4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由条件知，线段MN的中点P在直线y=x-1上，所以P， 由垂径定理有kMN·kOP==e2-1， 即1×=e2-1，解得e=， 又c=，所以a=，b=， 故所求双曲线方程为-=1. 5.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　设双曲线C2的方程为-=1(a2>0，b2>0)， 则有+===4-1=3. 设椭圆C1中，a1=2，b1=1，又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2的面积为tan 45°=， 即==1，所以=-=3-1=2， 故双曲线C2的离心率e===. 6.已知双曲线C：-=1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则+(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是 A.[4，+∞) B. C. D.[2，4] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由双曲线的第二定义可知 |PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a， ∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|， ∴ex0+a=3(ex0-a)⇒ex0=2a， 由e=，解得x0=， ∵P在右支上，可得x0=≥a， 又c>a，可得1<≤2，即1<e≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　则+=+4=e2+-4， 令e2=t，1<t≤4，可得+=e2+-4=t+-4=-4， 而f(t)=在(1，4]上单调递减， ∴∈，∴2≤+<. 二、多项选择题 7.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是 A.弦AB的长度的最小值为 B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k= D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　弦AB的长度的最小值为通径，故A正确； 由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a， |BF1|-|BF2|=2a， 所以|AF1|=|AF2|+2a，|BF1|=|BF2|+2a， |AF1|+|BF1|=|AF2|+2a+|BF2|+2a =|AB|+4a， 则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=kOM·k=，故C正确； 若直线AB的斜率为，所以<， 所以b2<3a2，所以c2<4a2， 所以e=∈(1，2)，故D错误. 8.已知椭圆+y2=1，A，B分别为长轴的左、右端点，F1，F2分别为左、右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则 A.△PAB面积的最大值为2 B.|PF1|2+|PF2|2的最大值为8 C.kPA·kPB= D.若∠F1PF2=60°，则= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　依题意知，a=2，b=1，c=，当P为短轴端点时，(S△PAB)max=×2a×b=2，A正确； ∵|PF1|+|PF2|=2a=4， 由≤知，≥2， 即|PF1|2+|PF2|2≥8，当且仅当P为短轴端点时，等号成立，故B错误； 由垂径定理得，kPA·kPB=-=-，C错误； =b2tan=1×tan 30°=，D正确. 三、填空题 9.已知双曲线-=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=120°， 则△F1MF2的面积为　　　. 解析　根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得= ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足 ∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　∠F1PF2为钝角⇒cos∠F1PF2<0， 而cos∠F1PF2=， 所以+-<0， 由题意得a=1，b=，c=2，|F1F2|=4， 设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|=|2x0+1|，|PF2|=|2x0-1|， 所以+-16<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　解得-<x0<， 又x0≤-1或x0≥1，且当x0=±1时， ∠F1PF2=180°， 所以点P的横坐标x0的取值范围为∪. $