精品解析：湖南衡阳市一中教育集团2026年上学期期中考试试卷八年级数学

衡阳市一中教育集团2026年上学期期中考试试卷 初二 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. “天下南岳，独秀衡阳”，近年来衡阳文旅产业蓬勃发展．据统计，2023年衡阳市全年接待游客约万人次，旅游总收入突破亿元．其中，南岳衡山核心景区单日最低瞬时接待量曾低至万人次．请问用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点P横纵坐标的正负，即可确定点P所在象限． 【详解】解：∵ 对任意实数，都有 ， ∴，可得， 又∵ 点的横坐标为， ∴ 点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵ 第二象限内点的坐标符号特征为横坐标负，纵坐标正， ∴ 点所在象限为第二象限． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 4. 函数，则自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负列出不等式求解即可. 【详解】解：根据题意可得：， 解得：； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解题关键. 5. 学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，即可求解． 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标不变， 又点坐标为，的相反数为，纵坐标不变仍为， ∴ 点关于轴对称的点的坐标为． 7. 若点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】将点的横坐标代入解析式直接计算得到和的值，再比较大小． 【详解】解：∵ 点、在反比例函数的图象上， ∴ 将代入，得 ， 将代入，得， ∵ ， ∴ ． 8. 如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 9. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象经过点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各选项逐一判断即可，本题中，结合性质分析即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得． ∵， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此A选项错误． 当时，随的增大而增大，因此B选项错误． 当时，随的增大而增大，因此C选项正确． 将代入解析式，得 ，因此图象不经过点，D选项错误． 10. 周末，小亮8时骑自行车从家里出发到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象有下列说法： ①小亮行驶了14时后到达离家最远的地方； ②小亮一共休息了； ③11时到12时小亮的行驶速度，小于13时到14时他的行驶速度； ④返回时，小亮的平均速度为． 其中正确的说法有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：①小亮在14时或行驶了小时后到达离家最远的地方，说法错误； ②小亮一共休息了，说法正确； ③11时到12时小亮的行驶速度为，小于13时到14时他的行驶速度为，则11时到12时小亮的行驶速度等于 13时到14时他的行驶速度，说法错误； ④返回时，小亮的平均速度为，说法正确； 综上可知，正确的说法有2个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 约分：________． 【答案】m 【解析】 【分析】先找出该分式分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 13. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式拆分变形，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图，函数和的图象相交于点A，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象找出两函数的交点坐标，再得出方程组的解即可． 【详解】解：根据图象可知：函数y＝ax和y＝kx+b的图象的交点A的坐标是（﹣2，1）， 所以关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，能根据图形得出交点坐标是解此题的关键． 15. 规定：横纵坐标均为整数的点称之为“船山点”．若船山点位于第四象限，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在第四象限得到关于的不等式组，求出的取值范围，再结合船山点的定义求出符合条件的点坐标即可． 【详解】解：点位于第四象限， ， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 点是船山点，即横纵坐标均为整数， 为整数， 为整数， 在范围内，整数， 将代入得：，， 点的坐标为． 16. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20、21题8分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，在、0、1、2中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先计算分式的混合运算，根据分式分母不为0且除数不为0，得，，，将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 19. 已知函数（是常数），回答下列问题： （1）当取何值时，该函数为正比例函数； （2）当取何值时，随的增大而增大； （3）若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论． （2）根据随的增大而增大，可得，进一步可得答案． （3）根据y是x的一次函数，且图象经过二、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【小问1详解】 解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：． 【小问2详解】 解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 20. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】（1）； （2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【小问1详解】 解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 21. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元? （2）如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 【答案】（1）A种花木单价为30元，B种花木单价为50元 （2）应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元 【解析】 【分析】（1）列分式方程求解； （2）利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A种花木的单价是元，则B种花木的单价是元，根据题意得， ， 解得， 经检验，当时，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 答：A种花木的单价是元，则B种花木的单价是元； 【小问2详解】 解：设应购进A种花木棵，则购进B种花木棵，设费用为，根据题意得， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当的值越大时，费用越低， 当时，费用最低，为， 此时，， 答：应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； （3）若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别求解，，再进一步求解即可； （3）根据中心对称的性质可得，再进一步即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴代入得：， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， 设，的面积为6， ∴， 解得：， ∴或． 23. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【探索发现】 （1）绘制函数的图象． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小红尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小红的探究过程，请你补充完整． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 2 … 根据表格中的信息可得________； ②请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【尝试应用】 （2）已知函数，当时（为常数），有最小值，求的值； 【拓展提升】 （3）已知直线（）与函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1）①； ②如图所示即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①把代入函数解析式求解即可．②利用描点法画图即可． （2）分与讨论即可． （3）利用数形结合的方法求解即可． 【小问1详解】 解：①把代入得：， ②略 【小问2详解】 解：∵函数，当时（为常数），有最小值， 当时， ∴的最小值为， ∴， 解得：（不符合题意），， 当时， ∴的最小值为， ∴， 解得：（不符合题意）， 综上：． 【小问3详解】 解：∵， ， ∴直线过定点， 如图， ∴当直线（）过时，此时与函数的图象只有一个交点， ∴， 解得：． 24. 给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； （2）如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【答案】（1）①是；② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确作出图形是解题的关键 （1）①求得点，计算长度即可解答； ②设，可得在线段的垂直平分线上，可得，代入解析式即可解答； （2）证明，根据题意以为底构建等腰直角三角形，利用点即可解答； （3）分两种情况，即在上方或下方两种情况，利用全等三角形的判定和性质可得点的坐标． 【小问1详解】 ①解：把代入， 可得， ， 根据勾股定理可得， ， 点A是线段的“美好点”， 故答案为：是； ②解：设， 是线段的美好点， 在线段的垂直平分线上， ， ， 将，代入直线得， 即； 【小问2详解】 解：当时，，解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 由折叠的性质，可知且， 是线段的“黄金美好点”， 则以为斜边，构建等腰， ， ， ， ，即， ，， ． 【小问3详解】 解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”， 在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形， 当在上方时， 如图，作轴交轴于点，作交直线于点， ，， ，且 ， ， 设，得， 将点代入得， ， 解得，即 当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， 同理可得， 将点代入得， ， 解得，即 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中教育集团2026年上学期期中考试试卷 初二 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. “天下南岳，独秀衡阳”，近年来衡阳文旅产业蓬勃发展．据统计，2023年衡阳市全年接待游客约万人次，旅游总收入突破亿元．其中，南岳衡山核心景区单日最低瞬时接待量曾低至万人次．请问用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 8. 如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象经过点 10. 周末，小亮8时骑自行车从家里出发到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象有下列说法： ①小亮行驶了14时后到达离家最远的地方； ②小亮一共休息了； ③11时到12时小亮的行驶速度，小于13时到14时他的行驶速度； ④返回时，小亮的平均速度为． 其中正确的说法有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 约分：________． 12. 若分式的值为0，则x的值为_________． 13. 已知，则代数式的值为________． 14. 如图，函数和的图象相交于点A，则关于x，y的方程组的解为_______． 15. 规定：横纵坐标均为整数的点称之为“船山点”．若船山点位于第四象限，则点的坐标是________． 16. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20、21题8分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，在、0、1、2中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 19. 已知函数（是常数），回答下列问题： （1）当取何值时，该函数为正比例函数； （2）当取何值时，随的增大而增大； （3）若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 20. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于的时长． 21. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元? （2）如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； （3）若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 23. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【探索发现】 （1）绘制函数的图象． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小红尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小红的探究过程，请你补充完整． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 2 … 根据表格中的信息可得________； ②请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【尝试应用】 （2）已知函数，当时（为常数），有最小值，求的值； 【拓展提升】 （3）已知直线（）与函数的图象只有一个交点，求的值． 24. 给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； （2）如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $