2026年九年级中考数学压轴题专题20 二次函数与对称变换综合问题

专题20二次函数与对称变换综合问题 【例1】（2025•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”． 例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k． （1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标 　 　，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标 　 　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　 　． （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'． ①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值． ②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点） 【例2】（2025•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且 OB＝OC． （1）求二次函数的解析式； （2）当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例3】（2025•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． （3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标． 【例4】（2025•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值． 一．解答题（共20题） 1．（2025•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h． ①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值； ②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　 　． 2．（2025•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0． （1）当m＝1时． ①该二次函数的图象的对称轴是直线 　 　． ②求该二次函数的表达式． （2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值． （3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标． 3．（2025•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D． （1）a＝﹣1，b＝2，c＝4， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； （2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值． 4．（2025•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）． （1）求二次函数的对称轴； （2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围． 5．（2025•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点． （1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式； （2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值； （3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值． 6．（2025•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）． （1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　； （2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式； （3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围． 7．（2025•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 8．（2025秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； （3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积． （4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2025秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）． （1）求b的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 10．（2025秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C． （1）求二次函数的解析式； （2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离； （3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2025秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”． （1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　 　，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　 　； （2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围； （3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 12．（2025春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． （1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　 　． （3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 13．（2025春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10． （1）求F点的坐标； （2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在该抛物线上． （3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围． 14．（2025•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标； （3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 15．（2025•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； （3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值． 16．（2025•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E． （1）求点D的纵坐标． （2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值． （3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围． （4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围． 17．（2025•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝． （1）求二次函数的解析式； （2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标； （3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标． 18．（2025•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标； （3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标． 19．（2025秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称． （1）抛物线的解析式是 　 　，△ABD的面积为 　 　； （2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积． （3）当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值． （4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标． 20．（2025秋•沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G． （1）求直线AE的解析式及△ACE的面积． （2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值． （3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】（2025秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”． 例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k． （1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标 　（2，﹣4）　，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标 　（2，4）　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　　． （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'． ①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值． ②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点） 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）①分别求出B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1），B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），由正方形的性质可得BB'＝BC，即2＝6a﹣2，求出a即可； ②由①求出B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1），在此区域内找出所含的整数点即可． 【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4），y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标为（2，4）， 的“镜像抛物线”为， 故答案为：（2，﹣4），（2，4），； （2）①∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2+1﹣4a， ∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a（x﹣2）2﹣1+4a， ∵点B的横坐标为1， ∴B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1）， ∴BB'＝2，BC＝6a﹣2， ∵四边形BB'C'C为正方形， ∴2＝6a﹣2， ∴a＝； ②∵a＝， ∴B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1）， ∴正方形BB'C'C所含（包括边界）整点有（1，﹣1），（1，1），（3，﹣1），（3，1），（1，0），（3，0），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个． 【例2】（2025•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且 OB＝OC． （1）求二次函数的解析式； （2）当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据OB＝OC可得B点的坐标为（3，0），把A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣3，求出a、b的值即可； （2）求出二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），根据二次函数的性质即可得出答案； （3）先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与y轴交于C点， ∴C（0，﹣3）． ∵OB＝OC，点A在点B的左边， ∴B（3，0）． ∵点A的坐标为（﹣1，0）， 由题意可得， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）， ∴当x＝1时，y最小值＝﹣4， ∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝0时，y＝﹣3， ∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝4时，y＝5． ∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4； （3）在y轴上存在点P，使△PCC'与△POB相似，理由如下： 设P（0，m），如图， ∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C（0，﹣3）． ∴C′（2，﹣3）． ∴CC'∥OB， ∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边， ∴， 即：， 解得：m＝﹣9或m＝﹣， ∴存在，P（0，﹣9）或P（0，﹣）． 【例3】（2025•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． （3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）存在直线l，证明△ACO≌△DBO（ASA）得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； （3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA＝，进一步可求出N（0，）或N（0，﹣）分情况讨论，即可求出M的横坐标为﹣或﹣． 【解答】（1）解：抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似， 当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似， ∴∠ACD＝∠EBO， 在Rt△ACO和Rt△DBO中， ， ∴ΔΑCO≌△DBO（ASA）， ∴OA＝OD， 解﹣x2+2x+3＝0， 得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴D（0，1）， 设直线的解析式为：y＝kx+b， 将B（3，0），D（0，1）代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：y＝x+1； （3）解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H， ∵抛物线对称轴为直线：x＝＝1， ∴CC′＝2， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝45°， ∴∠C′CB＝45°， ∵C′H⊥BC，CC′＝2， ∴C′H＝CH＝， ∵OB＝OC＝3， ∴BC＝3， ∴BH＝， ∴tan∠CBC′＝， ∵∠MBA＝∠CBC′， ∴tan∠MBA＝， ∴ON＝， ∴N（0，）或N（0，﹣）， 当N（0，），如图： ∵B（3，0）， ∴， ∴， ∴直线BN解析式为：y＝x+， 解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，得：（不符合题意，舍去）， ∴M的横坐标为﹣； 当N（0，﹣），如图： ∵B（3，0）， ∴， ∴， ∴直线BN解析式为：y＝x﹣， 解方程﹣x2+2x+3＝x﹣， 得：（不符合题意，舍去）， ∴M的横坐标为﹣， 综上所述：M的横坐标为﹣或﹣． 【例4】（2025•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值． 【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解； （2）求出顶点的对称点为（﹣1，4），设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4，再将抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0）代入，即可求解析式； （3）由题意可知M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0），则MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，分两种情况讨论；当﹣3＜x≤0时，W＝﹣m2+3，当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝﹣（m+2）2+7，当m＝0时，W有最大值3． 【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3， ∴， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0）， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点为（﹣1，﹣4）， ∴顶点关于x轴的对称点为（﹣1，4）， 设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4， ∵抛物线经过点（﹣3，0）或（1，0）， ∴n＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （3）∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点， ∴﹣3＜x＜1， ∵M的横坐标为m， ∴M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0）， ∴MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|， 当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3+2m＝﹣m2+3， ∴当m＝0时，W有最大值3； 当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3﹣2m＝﹣m2﹣4m+3＝﹣（m+2）2+7， ∴当m＝0时，W有最大值3； 综上所述：W的最大值为3． 一．解答题（共20题） 1．（2025•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h． ①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值； ②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　0＜m≤4　． 【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可． （2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论． ②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论． 【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4 ＝﹣m（x2+4x+4）+4 ＝﹣m（x+2）2+4， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）． （2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2， ∴a＝﹣3， 当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x， 则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3， 当x＝﹣2时，y最大值＝4， ∴h＝1． ②结论：0＜m≤4，理由如下： 当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时， h＝yb﹣ya ＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4] ＝﹣4m（a+3）， ∵h＝4， ∴4＝﹣4m（a+3）， ∴a＝﹣﹣3≤﹣4， ∵m＞0， 解得m≤1， 当﹣4＜a≤﹣3时， h＝4﹣ya ＝4﹣[﹣m（a+2）2+4] ＝m（a+2）2， ∴可得a＝﹣﹣2， ∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3， 解得1＜m≤4， 当﹣3＜a≤﹣2时， h＝4﹣yb ＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4] ＝m（a+4）2， 可得a＝﹣4， ∴﹣3＜﹣4≤﹣2， 不等式无解． 当a＞﹣2时， h＝ya﹣yb ＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4] ＝4m（a+3）， 可得a＝﹣3， ∴﹣3＞﹣2， ∴m＜1， 综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4． 故答案为：0＜m≤4． 2．（2025•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0． （1）当m＝1时． ①该二次函数的图象的对称轴是直线 　x＝1　． ②求该二次函数的表达式． （2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值． （3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标． 【分析】（1）①根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴； ②利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）用的待定系数法求函数的解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+3，再分两种情况讨论：当m＞0时，m≤x≤m，当x＝m时，函数有最大值m+3；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，当x＝﹣m时，函数有最大值；分别求m的值即可求解； （3）先判断△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m＞0时，MN＝AM＝|m|＝3，可求C点坐标；当m＜0时，CM＝AM＝3＝|m|，可求C点坐标． 【解答】解：（1）①∵A（0，3）、B（2m，3）， ∴A、B两点关于抛物线对称轴对称， ∵m＝1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 故答案为：x＝1； ②设y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵m＝1， ∴B（2，3）、C（1，4）， 将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3）、B（2m，3）两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+m+3， 将点A（0，3）代入， ∴am2+m+3＝3， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣m）2+m+3， 当m＞0时，m≤x≤m， ∴当x＝m时，函数有最大值m+3， ∴m+3＝4， ∴m＝1； 当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m， ∴当x＝﹣m时，函数有最大值， ∴4＝﹣（﹣m﹣m）2+m+3， 解得m＝﹣； 综上所述：m的值为1或﹣； （3）∵A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）， ∴AB＝|2m|，AC＝|m|，BC＝|m|， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径， 如图1，当m＞0时， ∵⊙M与x轴相切， ∴MN＝AM＝|m|＝3， ∴m＝3， ∴C（3，6）； 如图2，当m＜0时， ∵⊙M与x轴相切， ∴CM＝AM＝3＝|m|， ∴m＝﹣3， ∴C（﹣3，0）； 综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为（3，6）或（﹣3，0）． 3．（2025•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D． （1）a＝﹣1，b＝2，c＝4， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； （2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值． 【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案； ②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论； （2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），化简即可得出答案． 【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时， 抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4， ∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）； ②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x， 整理得：x2﹣3x﹣4＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0， ∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”； （2）如图，连接AC， ∵y＝ax2+bx+c， ∴C（0，c），顶点D（﹣，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+n， 则， 解得：， ∴直线CD的解析式为y＝x+c， ∴E（﹣，0）， ∵A（，0），B（，0）， ∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+， ∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB， ∴△EAC∽△ECB， ∴＝， ∴CE2＝AE•BE， 在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+， ∴c2+＝（+）（+）， 化简得：ac＝﹣1， 故ac的值为﹣1． 4．（2025•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）． （1）求二次函数的对称轴； （2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围． 【分析】（1）首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解； （2）根据平移的性质求得B（2，3），然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）， ∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得 9a+3b﹣3a＝0， 化简，得b＝﹣2a， ∴二次函数的对称轴为：． （2）∵点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B， ∴B（2，3）， ∵a＜0，开口向下， ∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3， 解得a≥﹣1， 故a的取值范围是：﹣1≤a＜0． 5．（2025•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点． （1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式； （2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值； （3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值． 【分析】（1）利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，可得一次函数的解析式； （2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，求出|y1﹣y2|＝1，再利用y＝kx+m过点（2，3），得出m＝3﹣2k，代入①式，最后得出结果； （3）将A，B坐标代入分别表示出yP和yQ，再由m＝3﹣2k，得出yP＝k2﹣（m﹣2）k+2m，yQ＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，再将k＝n，k+1＝n代入，得出用n表示的yP和yQ，，进而得出|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2，求解即可． 【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1， ∴， ∴， 解得m＝4， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣（4﹣2）x+2x4＝x2﹣2x+8， 将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m， 得到3＝2k+4， 解得：k＝﹣， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4； ∴一次函数表达式：， 二次函数的表达式：y＝x2﹣2x+8； （2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m， 得到y1＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y2＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m， ∵|y1﹣y2|＝1， ∴y1﹣y2＝±1， ∴k2﹣（m﹣2）k+2m﹣[（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m]＝±1， 整理得：m﹣2k﹣3＝±1①， ∵y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k， 将m＝3﹣2k代入①式得： k＝±，即k＝或k＝﹣， 当k＝时，m＝3﹣2×＝； 当k＝﹣时，m＝3﹣2×（﹣）＝， 综上所述，m＝或m＝． （3）解：将A（k，） B（k+1，y2）代入二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得 yP＝k2﹣（m﹣2）k+2m，yQ＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m， 又∵一次函数y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k， ∴yP＝3k2﹣5k+6，yQ＝3k2﹣k+6， ∵k＝n，k+1＝n， 把k＝n代入得yP＝3n2﹣5n+6， 把k＝n﹣1代入yQ＝3（n﹣1）2﹣（n﹣1）+6， ∴|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2， 解得n＝1或3． 6．（2025•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）． （1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝　1　； （2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式； （3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式计算即可； （2）构建方程求出a的值即可解决问题； （3）结合图象，分两种情况讨论，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，推出当抛物线开口向上，当﹣1≤x1≤3时，满足条件，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝1． 故答案为1； （2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5， ∴当x＝4时，y的最大值为5， ∴16a﹣8a+2a＝5， ∴a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1； （3）如图， ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等， ∵x2＞3时，均满足y1＜y2， ②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立； ②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3； ∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2， 此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3． 7．（2025•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式； （2）①当点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似时分两种情况：△CDN∽△FEN和△CDN∽△NEF，列比例式可解答； ②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，证明△AEM是等腰直角三角形，得AM＝AE，计算点M的坐标，证明△MGA≌△AHE（AAS），则EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y＝−2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论； （3）分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图可得结论． 【解答】解：（1）y＝ax2+bx+4， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x−4）， 将点C的坐标代入得：−4a＝4，解得a＝−1， ∴抛物线的解析式为y＝−x2+3x+4； （2）①如图1，抛物线的对称轴是：x＝−＝， ∴CD＝，EF＝+＝＝， 设点N的坐标为（，a）则ND＝4−a，NE＝a， 当△CDN∽△FEN时，＝， 即＝， 解得a＝， ∴点N的坐标为（，）； 当△CDN∽△NEF时，＝， 即＝， 解得：a1＝a2＝2， ∴点N的坐标为（，2）， 综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）； ②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E， ∵∠AMP＝45°，∠MAE＝90°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝AE， 将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6， ∴点M的坐标为（1，6）， ∴MG＝2，AG＝6， ∵∠GAM+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°， ∴∠GAM＝∠AEH， ∵∠G＝∠H＝90°， ∴△MGA≌△AHE（AAS）， ∴EH＝AG＝6，AH＝GM＝2， ∴E（5，﹣2）， 设ME的解析式为y＝kx+b， 将点A和点E的坐标代入得：， 解得：， ∴直线EA的解析式为y＝−2x+8， ﹣2x+8＝﹣x2+3x+4， 解得：x＝1（舍）或x＝4， 将x＝4代入y＝−2x+8得：y＝0， ∴点P的坐标为（4，0）； （3）分种情况： ①如图3，当T在x轴上时，满足条件，此时T（，0）； ②如图4，当T在x轴的上方时， ∵△QOT为等腰三角形，且符合条件的Q恰好有2个， ∴OT＝OQ2＝OQ1＝Q1T， ∴△OQ1T是等边三角形， ∴∠TOQ1＝60°， ∴∠BOT＝30°， ∵OE＝， ∵tan30°＝＝， ∴ET＝， ∴T（，）； ③当T在x轴的下方时，同理得T（，﹣）； 综上，T的坐标为（，0）或（，）或（，﹣）． 8．（2025秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； （3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积． （4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）两点代入y＝x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式； （2）把求得的解析式化成顶点式即可解决问题； （3）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算即可解决问题； （4）方法一：点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A（2，0），可得点D和点A的关于对称轴对称，所以AD＝2AC，根据△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，可得△ADM和△ABC的AD边上的高相等，所以点B和点M是关于对称轴对称的点，进而可得M的坐标； 方法二：根据△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y＝−x2+bx+c， 得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6； （2）∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2， ∴二次函数的对称轴为直线x＝4，顶点坐标为（4，2）； （3）∵该抛物线图象的对称轴为直线x＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2， ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6； （4）如图，在抛物线上存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，理由如下： 方法一：∵点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A（2，0）， ∴D（6，0）， ∴点D和点A的关于对称轴对称， ∴AD＝4， ∴AD＝2AC， ∵△ADM的面积为△ABC的面积的2倍， ∴△ADM和△ABC的AD边上的高相等， ∴点B和点M是关于对称轴对称的点， ∴M（8，﹣6）或（0，﹣6）． 方法二：∵点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A（2，0）， ∴D（6，0）， ∴AD＝4， 设M（m，﹣m2+4m﹣6）， ∵△ADM的面积为△ABC的面积的2倍， ∴4×|﹣m2+4m﹣6|＝12， 当﹣m2+4m﹣6＝6时， ∵Δ＜0，此方程无解； 当﹣m2+4m﹣6＝﹣6时， 解得m1＝8，m2＝0， ∴M（8，﹣6）或（0，﹣6）． 9．（2025秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）． （1）求b的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 【分析】（1）直接把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得b的值，从而可得结论； （2）根据三角形的面积差可得结论； （3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，利用待定系数法可得直线AC的解析式，设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），表示MN的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论． 【解答】解：（1）把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得：﹣1﹣b+3＝4， ∴b＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴是：直线x＝﹣1； （2）如图1，连接OD， 当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， ∵D（﹣1，4），C（0，3）， ∴△ADC的面积＝S△AOD+S△CDO﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3； （3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴设直线AC的解析式为y＝kx+m， 则，解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝x+3， 设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3）， ∵点M是在AC上方抛物线上有一动点， ∴﹣3＜t＜0，MN＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∴S△AMC＝•MN•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为（﹣，）． 10．（2025秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C． （1）求二次函数的解析式； （2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离； （3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点C作CK⊥x轴交于点K，证明△ABO≌△CAK（AAS），得OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，即得点C的坐标为（3，1），用待定系数法有二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2； （2）由y＝x2﹣x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远，设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为y＝﹣x+2，由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为y＝x﹣，设点M的坐标为，点N坐标为，1≤t＜3，根据S△CMN＝S△ABC，得×（3﹣t）（﹣t+2﹣t+）＝×××，可解得直线l平移的距离最远是3﹣﹣＝； （3）分两种情况：①当∠PCB'＝90°时，由B，B'关于直线AC对称，可得∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，根据得点P的坐标为；②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，由△BOA≌△B'TA（AAS），可得B'（2，﹣2），故B'P解析式为y＝﹣x﹣，由得点P的坐标为（﹣1，﹣1）或． 【解答】解：（1）过点C作CK⊥x轴交于点K，如图： ∵∠BAO+∠CAK＝90°，∠BAO+∠OBA＝90°， ∴∠CAK＝∠OBA， 又∠AOB＝∠AKC＝90°，AB＝AC， ∴△ABO≌△CAK（AAS）， ∴OB＝AK＝2，AO＝CK＝1， ∴OK＝AO+AK＝1+2＝3， ∴点C的坐标为（3，1）， 将点C的坐标代入y＝x2+bx﹣2得：1＝×9+3b﹣2， 解得：b＝﹣， ∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2； （2）由y＝x2﹣x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远， 如图： 设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N， 由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为y＝﹣x+2， 由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为y＝x﹣， 设点M的坐标为，点N坐标为，1≤t＜3， ∵直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1， ∴S△CMN＝S△ABC， 又AB＝＝， ∴×（3﹣t）（﹣t+2﹣t+）＝×××， 解得或（舍去）， ∴直线l平移的距离最远是3﹣﹣＝； （3）在二次函数图象上存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形，理由如下： ①当∠PCB'＝90°时，如图： ∵B，B'关于直线AC对称， ∴∠BCA＝∠B'CA＝45°， ∴∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点， 由得：或， ∴点P的坐标为； ②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，如图： ∵B，B'关于直线AC对称，∠BAC＝90°， ∴BA＝B'A， ∵∠BAO＝∠B'AT，∠BOA＝90°＝∠B'TA， ∴△BOA≌△B'TA（AAS）， ∴AT＝AO＝1，OB＝B'T＝2， ∴OT＝AO+AT＝2， ∴B'（2，﹣2）， 由①知，∠BCB'＝90°， ∴过B'作BC的平行线，与抛物线的交点即为P， ∵直线BC解析式为y＝﹣x+2，B'（2，﹣2）， ∴B'P解析式为y＝﹣x﹣， 由得或， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣1）或， 综上所述，点P的坐标为：或（﹣1，﹣1）或． 11．（2025秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”． （1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　y＝x﹣1　，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　y＝﹣（x﹣2）2﹣1　； （2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围； （3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可； （2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可； （3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围． 【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“对称函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数y＝﹣x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y）， 将（﹣x，﹣y）代入函数y＝﹣x+1得： ﹣y＝x+1， ∴y＝﹣x﹣1． 函数y＝x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣x﹣1； 同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1， 故答案为：y＝﹣x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1； （2）函数G的解析式为y＝﹣（x+1）2+3， 如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小， ∵“对称函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小， 函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小， ∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1； （3）①当“对称函数”的顶点在AB上时，如图， ∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1， ∵点C（2，0）为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线x＝3， ∴函数N的顶点坐标为（3，1）， ∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1）， ∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得： a﹣2a﹣3a＝﹣1， ∴a＝； ②当两个函数的交点在AB上时，如图， 二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， ∵点C（2，0）为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0）， ∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a， 当y＝1时， ， 解得：a＝； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点B（4，1）， ∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a， 解得：a＝． 综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞． 12．（2025春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． （1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　（1，0）　． （3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标； （2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）； （3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答； （4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+ ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7， 把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8， ∴顶点坐标为（﹣7，8）； （2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． ∴对称轴为直线x＝﹣＝1+， ∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]， ∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）； 故答案为：（1，0）； （3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+， 分两种情况： ①当a＜0时，1+＜1， 在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y＝0， 而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8， 所以此种情况不成立； ②当a＞0时，1+＞1， i）当1＜1+≤3时，即a≥， 当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8， ∴a＝1， 此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3； ii）当1+＞3时， 在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值， 所以此种情况不成立； 综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （4）分三种情况： ①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点， 即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3， ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0， Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0， ∴a＝， 当a＝时，x2﹣x+＝0， 解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1）， ②当a＞0时，如图2， 当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3， ∴， 解得：﹣5＜a＜， ∴0＜a＜； ③当a＜0时，如图3， 当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3， ∴， 解得：﹣5＜a＜， ∴﹣5＜a＜0； 综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0． 13．（2025春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10． （1）求F点的坐标； （2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在该抛物线上． （3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围． 【分析】（1）由折叠可知AD＝AF，再由直角三角形的勾股定理求解即可； （2）设y＝ax2+bx，将F（6，0）代入可得b＝﹣6a，可得y＝ax2﹣6ax，联立方程组，Δ＝0，可得a＝1，即可求抛物线的解析式； （3）设P（xP，xP2﹣6xP），过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H，可得∠MOF＝45°，当∠POH＝45°时，xP＝7，再分三种情况讨论：当xP＝7时∠POF＝∠MOF；当xP＞7时∠POF＞∠MOF；当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF． 【解答】解：（1）由折叠可知AD＝AF， ∵AD＝10， ∴AF＝10， ∵AO＝8， ∴OF＝6， ∴F（6，0）； （2）设y＝ax2+bx， 将F（6，0）代入可得b＝﹣6a， ∴y＝ax2﹣6ax， 联立方程组， 整理得ax2﹣6ax﹣6x+36＝0， ∴Δ＝0，可得a＝1， ∴y＝x2﹣6x， 将点M（5，﹣5）代入y＝x2﹣6x，等式成立， ∴M点在抛物线上； （3）设P（xP，xP2﹣6xP）， ∵M（5，﹣5）， 过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H， ∴MG＝OG＝5， ∴∠MOF＝45°， 当∠POH＝45°时，xP＝xP2﹣6xP， ∴xP＝0（舍）或xP＝7， ∴当xP＝7时∠POF＝∠MOF； 当xP＞7时∠POF＞∠MOF； 当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF． 14．（2025•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标； （3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝1则设抛物线y＝a（x﹣1）2+k代入点A、C的坐标求出解析式； （2）过AC作AQ⊥AC，且AQ＝AC，过A作MN∥y轴，过C作CN⊥MN于N，过Q作QM⊥MN于M，构建△MQA≌△NAC，即可得出Q（2，1），求得直线CQ的解析式为：yCQ＝2x﹣3与抛物线解析式联立即可得出P点坐标； （3）设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），分以AF为对角线时以AN为对角线时，以AM为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴设抛物线y＝a（x﹣1）2+k， 把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：， ∴， ∴y＝（x﹣1）2﹣4； （2）如图过AC作AQ⊥AC，且AQ＝AC，过A作MN∥y轴，过C作CN⊥MN于N，过Q作QM⊥MN于M， ∴∠ACQ＝45°，点P即所求的点， ∴∠QMA＝∠CNA＝90°，∠QAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠1+∠MQA＝90°， ∴∠2＝∠MQA， ∴△MQA≌△NAC（AAS）， ∴MA＝NC＝1，MQ＝AN＝3， ∴Q（2，1）， 设直线CQ的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yCQ＝2x﹣3， ∴， ∴，， ∴P（4，5）； （3）∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴y＝x2﹣2x﹣3， 依题意设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3）， ∵C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1， ∴F（2，﹣3）， ∵A（﹣1，0），F（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3）， 当以AF为对角线时， ， ∴m＝0， ∴M（0，﹣3）， 当以AN为对角线时， ， ∴m＝﹣2， ∴M（﹣2，5）， 当以AM为对角线时， ， ∴m＝4， ∴M（4，5）， 综上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）． 15．（2025•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； （3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值． 【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案； （2）分三种情况：①当AM＝BM，时，点P与F重合；②当AB＝AM＝4时，M在x上方和下方两种情况；③当AB＝BM＝4时，由等腰三角形“三线合一”即可求出； （3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，根据相似三角形的判定定理得到△APO∽△PDO，根据相似三角形的性质得到＝＝＝2，从而得：PD＝AP，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x； （2）过点A作直线AF⊥x轴于点F， 由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4， ∴抛物线的顶点A（4，﹣4）， ①AM＝BM， ∵B（8，0）， ∴BF＝4， ∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0）， ②AB＝AM， 由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4， ∴AB＝＝＝4， ∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）， ③AB＝BM， ∵AB＝BM，BF⊥AM， ∴MF＝AF， ∴M为（4，4）， 综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）； （3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上， 在OA上取点D，使OD＝，连接PD， 则在△APO和△PDO中， 满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD， ∴△APO∽△PDO， ∴＝＝＝2， 从而得：PD＝AP， ∴AP+PB＝PD+PB， ∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值， 过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形， 则有DG＝1，∠DOG＝45°， ∴AP+PB的最小值为：AP+PB＝DB＝＝＝5． 16．（2025•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E． （1）求点D的纵坐标． （2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值． （3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围． （4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）将x＝2代入抛物线解析式即可求D点坐标； （2）求出B（，﹣），C（a+2，﹣1），由题意可得||＝|﹣1+|，求出a的值即可； （3）分四种情况讨论：①当＜0时，a＜﹣2符合题意；②当＞2时，a＞2，符合题意；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，得a＝2； （4）由A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），得N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），当a＞0且≥a﹣3时，a﹣3＞0，可得3＜a≤8；当a＞0且＜a﹣3时，a﹣3＞0，（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5，解得a≤15；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝﹣3， ∴D（2，﹣3）； （2）令x＝0，则y＝﹣1， ∴A（0，﹣1）， ∵y＝x﹣1＝（x﹣）2﹣， ∴顶点B（，﹣）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴C（a+2，﹣1）， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB⊥BC， ∴||＝|﹣1+|， 解得a＝±2或a＝﹣， 当a＝2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合， ∴a＝2（舍）； ∴a＝﹣2或a＝﹣； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝， ①当＜0时，a＜﹣2， 此时当x＝0时，函数有最大值﹣1， 当x＝2时，函数有最小值﹣3， ∴函数的最大值与最小值的差为2； ②当＞2时，a＞2， 此时当x＝0时，函数有最大值﹣1， 当x＝2时，函数有最小值﹣3， ∴函数的最大值与最小值的差为2； ③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0， 此时当x＝，函数有最大值﹣， 当x＝2时，函数有最小值﹣3， ∵函数的最大值与最小值的差为2， ∴﹣+3＝2， ∴＝1， 解得a＝﹣2； ④当1＜≤2时，0＜a≤2， 此时当x＝0时，函数有最大值﹣1， 当x＝时，函数有最小值﹣， ∵函数的最大值与最小值的差为2， ∴﹣1+＝2， ∴＝3， 解得a＝2； 综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2； （4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴， ∴DE所在直线为y＝﹣3， ∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1）， ∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5）， 当a＞0且≥a﹣3时， ∴0＜a≤8， ∵a﹣3＞0， ∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小； 当a＞0且＜a﹣3时， 解得a＞8， ∵a﹣3＞0， ∴a＞3， ∵（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5， 解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小； 当a＜0时，﹣≥﹣1， 解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大； 综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意． 17．（2025•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝． （1）求二次函数的解析式； （2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标； （3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标． 【分析】（1）先由直线y＝﹣2x+4求出点A的坐标，再由点A在抛物线上和抛物线的对称轴为直线x＝列方程组求出a、c的值； （2）根据直线y＝﹣2x+4求出点B的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点C的坐标，△ABP的面积等于△ABC的面积且为定值，设点Q的横坐标为x，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，用含x的代数表示△ABQ的面积，再根据二次函数的性质求出当△ABQ的面积最大时的x值，进而求出四边形APBQ面积的最大值及此时点Q的坐标； （3）通过计算，得出GE＝GF，可见∠GFQ＝45°．当点M在直线EF下方，则只要作出∠GFM＝∠CAO，则∠MFQ＝∠CAO．可通过求EQ的解析式的方法求得点F的坐标，再求MG的长，从而得到点M的坐标；当点M在直线EF的上方，作点M关于直线EF的对称点J，求直线FJ的解析式，再求出另一点M的坐标． 【解答】解：（1）由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A（0，4）， 又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝， 则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4． （2）如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N． 设点Q（x，﹣x2+3x+4），则F（x，﹣2x+4）； 当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（﹣1，0），D（4，0）； 由﹣2x+4＝0，得x＝2， ∴B（2，0）， ∴AB＝． ∵∠HNQ＝∠OAB， ∴， ∴HQ＝QN＝（﹣x2+3x+4+2x﹣4）＝（﹣x2+5x）， 由CE∥AB，可得， ∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP ＝（﹣x2+5x）+6 ＝﹣x2+5x+6 ＝﹣（x﹣）2+， ∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）． （3）存在． 如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，得E（，），又Q（，）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴F（，0），GF＝＝＝GE， ∴△EGF是等腰直角三角形． 若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO， ∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝， ∴M（，）． 若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形， ∴EJ∥x轴． ∵EJ＝EM＝， ∴J（，）． 设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则， 解得， ∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25， 此时，M（，25）． 综上所述，点M的坐标为（，）或（，25） 18．（2025•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标； （3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标． 【分析】（1）求得A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果； （2）作PD⊥OB于D，设出点P和Q点坐标，表示出PQ的长，由△BPD∽△BAO表示出PB，从而表示出PQ+PB，进而根据二次函数性质求得结果； （3）作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，根据条件推出BM平分∠ABO，根据S△ABM+S△BOM＝S△AOB，求得OM长，进而得出直线CG，BM的解析式，进一步求得结果． 【解答】解：（1）由题意得：A（﹣4，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴y＝﹣﹣+3； （2）如图1， 作PD⊥OB于D， 设Q（m，﹣﹣+3），P（m，m+3）， ∴PQ＝﹣﹣+3﹣（＝﹣﹣， ∵PD∥OA， ∴△BPD∽△BAO， ∴＝， ∴＝， ∴PB＝﹣， ∴PQ+PB＝﹣﹣m﹣m＝﹣﹣， ∴当m＝﹣＝﹣， ∵+3＝， ∴P（﹣，）； （3）如图2， 作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T， ∵C（1，2），G（﹣1，0）， ∴CN＝GN＝2， ∴∠CGN＝∠NCG＝45°， ∴∠CFD+∠GDF＝45°， ∵∠CFD+∠ABH＝45°， ∴∠GDF＝∠ABH， ∵∠GDF＝∠HBO， ∴∠ABH＝∠HBO， ∴OM＝MT， ∵S△ABM+S△BOM＝S△AOB， ∴， ∴5OM+3OM＝3×4， ∴OM＝， ∴M（﹣，0）， ∴直线BM的解析式为：y＝2x+3， ∵C（1，2），G（﹣1，0）， ∴直线CG的解析式为：y＝x+1， 由2x+3＝x+1得，x＝﹣2， ∴x+1＝﹣1， ∴H（﹣2，﹣1）． 19．（2025秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称． （1）抛物线的解析式是 　y＝x2﹣2x﹣3　，△ABD的面积为 　6　； （2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积． （3）当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值． （4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c中，可求抛物线的解析式，再利用三角形的面积公式求△ABD的面积即可； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣2m﹣3），N（m，﹣m﹣1），可得PN＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2．可得S△APD＝S△APN+S△DPN＝﹣（m﹣）2+．根据二次函数的最值即可求解； （3）将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论x＝t，x＝t+1时y取最小值； （4）分三种情形，①当∠DNM＝90°，ND＝NM时，②当∠DMN＝90°，MN＝MD时，③当∠NDM＝90°，DN＝DM时，分别求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c（a≠0）中， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵点C、D关于抛物线的对称轴对称，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x＝1，点D（2，﹣3）， ∴△ABD的面积为AB•OC＝×4×3＝6， 故答案为：y＝x2﹣2x﹣3，6； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N． 设直线AD的解析式为y＝kx+a， 把A（﹣1，0），D（2，﹣3）分别代入y＝kx+a中， 得， 解得：， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1， 设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣2m﹣3），N（m，﹣m﹣1）， ∴PN＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2． ∴S△APD＝S△APN+S△DPN ＝PN•（xD﹣xA） ＝×（﹣m2+m+2）×（2+1） ＝﹣×（m2﹣m﹣2） ＝﹣（m﹣）2+． ∴当m＝时，△APD的最大面积为； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， ①当t+1＜1时，t＜0， 当x＝t+1时，y＝（t+1﹣1）2﹣4＝5为最小值， 解得t＝3（舍去）或t＝﹣3； ②当t≤1，t+1≥1时，0≤t≤1， 此时，函数的最小值为﹣4≠5； ③当t＞1时， x＝t时，y＝（t﹣1）2﹣4＝5为最小值， 解得t＝4或t＝﹣2（舍去）， 综上所述，t的值为﹣3或4； （4）①当∠DNM＝90°，ND＝NM时，如图，过点D作DE⊥x轴于E， ∴DE＝3，OE＝2， ∵∠MON＝∠DEN＝90°，∠DNM＝90°， ∴∠MNO＝∠NDE， ∵ND＝NM， ∴△MNO≌△NDE（AAS）， ∴OM＝EN，ON＝DE＝3， ∴OM＝EN＝ON﹣OE＝3﹣2＝1， ∴M（0，1）， 如图，同理可得NE＝OM＝ON+OE＝DE+OE＝3+2＝5， ∴M（0，5）； ②当∠DMN＝90°，MN＝MD时， ∵点C、D关于抛物线的对称轴对称． ∴CD⊥y轴， ∴∠DCM＝∠MON＝90°＝∠DMN， ∴∠DMC＝∠MNO， ∵MN＝MD， ∴△MNO≌△DMC（AAS）， ∴OM＝CD＝2， ∴M（0，2）或（0，﹣2）， ③当∠NDM＝90°时，过点D作DE⊥x轴于E， 同理可得△DCM≌△DEN，则DC＝DN， ∵D（2，﹣3）， ∴DC＝2，DN＝3，与DC＝DN矛盾，故此种情况不存在， 综上所述，满足条件的M点的坐标为（0，1）或（0，5）或（0，2）或（0，﹣2）． 20．（2025秋•沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G． （1）求直线AE的解析式及△ACE的面积． （2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值． （3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点A，B，C，E的坐标，由待定系数法可求出AE的解析式；根据三角形的面积公式可得出△ACE的面积； （2）根据AE∥BF可得S△DEF为定值，由铅锤法可求得S△PDE的最大值，此时S四边形PDFE 最大，确定点P坐标，PN+NM+MG的最小值转化为PN+NM+NO的最小值，其中NM是定值，问题本质是“胡不归”问题，再构造60°角转化NO，利用垂线段最短即可求得其最小值； （3）根据A′C′中点落在∠CAB的角平分线上可确定点O′坐标，再求出当△CKH为等腰三角形时，K，H的坐标，最后利用翻折或菱形的性质求得点Q坐标． 【解答】解：（1）作O与y轴夹角是60°角的直线l2，作PS∥y轴交AE于点S，交l2于点J，作NT⊥l2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图： ∵＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+， 令y＝0得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0得y＝， ∴C（0，）， ∵抛物线对称轴为直线x＝1，C、E关于对称轴对称， ∴E（2，）， 设直线AE解析式为y＝kx+b， 则，解得， ∴直线AE的解析式为：y＝x+， ∴D（0，）， ∴CD＝． ∴S△ACE＝CD•（xE﹣xA）＝ו[2﹣（﹣1）]＝． （2）∵AE∥BF，B（3，0） ∴直线BF的解析式为：y＝x﹣， ∴I（0，﹣）， ∴S△DEF＝S△DEI＝DI•xE＝×（+）×2＝， 设P（m，﹣m2+m+），（﹣1＜m＜2），则S（m，m+）， ∴PS＝（m﹣m2+m+）﹣（m+）＝﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+， ∴S△PDE＝PS•（xE﹣xD）＝×[﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2+， 当m＝时，S△PDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P（，）， ∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON， ∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°， ∴四边形NMGO为矩形， ∴NO＝MG， ∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO•sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT， ∴当P，N，T三点共线且PT⊥l2时，PN+NM+MG取得最小值， ∵直线l2过原点且∠NOT＝60°， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣x， ∴J（，﹣）， ∴PJ＝+＝， ∴PN+NM+MG的最小值为1+•sin∠PJT＝1+＝； （3）存在，理由如下： 设A′C′的中点为L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于点X，如图2： ∵OC＝，OA＝1， ∴tan∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°， ∵AL平分∠OAC， ∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°， ∴A′A＝A′L， ∵L为A′C′的中点， ∴LX＝C′O′＝， ∴A′L＝＝1， ∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′（1，0） ①当HC＝HK时，设直线A′′C′′与x轴交于点Y，如图3： 将△HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ， ∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°， ∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°， ∴O′Y＝O′A′′＝1， ∴Y（2，0）， ∵kA′′C′′＝﹣， ∴由待定系数法直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x+2， ∵A（﹣1，0），C（0，）， ∴直线AC的解析式为：y＝x+， 令﹣x+2＝x+， 解得x＝， ∴H（，）， ∴Q（﹣，）． 如图4： 同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°， ∴∠YHA＝∠YAH＝60°， ∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，kA′′C′′＝﹣， ∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1， ∴O，K，Y重合， ∴直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x， 令x+＝﹣x， 解得x＝﹣． ∴H（﹣，）， ∴Q（，）． ②当KH＝KC时，作QZ⊥OC于点Z，如图5： ∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°， ∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°， ∴kA′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝， ∴Y（1+，0）， ∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣﹣1， ∴K（0，﹣﹣1）， 在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝， ∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°， ∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝， ∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝， ∴Q（﹣，）． 如图6： ∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60° ∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30° ∴O′Y＝O′C′′＝，kAkA′′C′′＝， ∴Y（1﹣，0）， ∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣+1， ∴K（0，﹣+1）， 在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝， ∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝， ∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝， ∴Q（，）． 综上所述，点Q的坐标为：（﹣，）或（，）或Q（﹣，）或（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $