2026年中考数学压轴题专题19 二次函数与平移变换综合问题

专题19二次函数与平移变换综合问题 【例1】．（2025•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 【例2】．（2025•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 … （1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式； （2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　 　，实数k的取值范围是 　 　； （3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数． 【例3】．（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2． （1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标； （2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值． 【例4】．（2025•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO； （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【例5】．（2025•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F． ①x1＝　 　，x2＝　 　（分别用含n的代数式表示）； ②证明：AE＝BF； （3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N． ①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由； ②若A′M+3B′N＝2，求t的值． 一．解答题（共20题） 1．（2025秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4） （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？ （3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法． 2．（2025秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）． （1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标． （2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值． 3．（2025•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB． （1）用含b的式子表示m； （2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由． 4．（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）． ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围； ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标． 5．（2025•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离． 6．（2025•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L的表达式； （2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 8．（2025•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 9．（2025秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标； （3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围． 10．（2025•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标． 11．（2025•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D． （1）求点B与点D的坐标； （2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标； （3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式． 12．（2025•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数． （1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式； （2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围； （3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值． 13．（2025•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示． （1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． （2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 14．（2025•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值． （2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小； ②求△ABC的面积． 15．（2025•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC． （1）求该二次函数的表达式及点M的坐标： （2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由． 16．（2025•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a． （1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值． （3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式． x … ﹣1 0 1 … y … 4 k n … 17．（2025•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 18．（2025•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）． （1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围． （2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值． 19．（2025•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点． （1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 　 　； （2）若抛物线的对称轴为直线x＝1． ①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标； ②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值； （3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围． 20．（2025•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； （3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】（2025•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可； （2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1； （3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点A（1，﹣4）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵CB∥x轴， ∴B（2，﹣3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴y＝﹣x﹣3； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1， ①当m＞1时， x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3， x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2， 解得m＝（舍）； ②当m+2＜1，即m＜﹣1， x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2， 解得m＝﹣（舍）； ③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1， x＝1时，q＝﹣4， x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2， 解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）； ④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0， x＝1时，q＝﹣4， x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2， 解得m＝1+（舍）或m＝1﹣， 综上所述：m的值﹣1或1﹣； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣3， ①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h， 设直线BA的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴y＝x﹣5， 联立方程组， 整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0， 当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0， 解得h＝， 此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点； ②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k， 当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3， 解得k＝0（舍）或k＝3， 此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点， 当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点， ∴综上所述：1＜n≤4或n＝． 【例2】（2025•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 … （1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式； （2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一）　，实数k的取值范围是 　4≤k≤5　； （3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数． 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案； （3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°， 当B在C右侧时，同理可得∠ACB＝135°． 【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象， ∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1， ∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下， ∴3≤k﹣1≤4， 解得4≤k≤5， ∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5， 故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5； （3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图： ∵点A、B的横坐标分别是m、m+1， ∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m， ∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣4m）， ∵点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴＝﹣1，AC∥x轴， ∴xC＝﹣2﹣m， ∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3）， 过B作BH⊥AC于H， ∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|， ∴BH＝CH， ∴△BHC是等腰直角三角形， ∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°， 当B在C右侧时，如图： 同理可得△BHC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°， 综上所述，∠ACB的度数是45°或135°． 【例3】（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2． （1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标； （2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值． 【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，有S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由二次函数性质得△AOB面积的最大值是． 【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得： m﹣4＝0， 解得m＝4， ∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，）， ∵m＞2， ∴2﹣m＜0， ∴＜0， ∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0， ∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限； （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，）， 当x＝0时，B（0，c）， 将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得： ＝﹣2， ∴c＝， ∵B（0，c）在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴OB＝﹣c＝﹣， 过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（﹣1，﹣1）， ∴AH＝1， 在△AOB中， S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+， ∵﹣＜0， ∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为， 答：△AOB面积的最大值是． 【例4】（2025•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO； （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果； （2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论； （3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果． 【解答】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4， ∴D（﹣1，4）， 由﹣x2﹣2x+3＝0得， x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AD2＝20， ∵C（0，3）， ∴CD2＝2，AC2＝18， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC＝＝＝， ∵∠BOC＝90°， ∴tan∠BCO＝＝， ∴∠DAC＝∠BCO； （3）解：如图， 作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F， ∴DE∥FD1， ∴△DEC∽△D1FC， ∴＝， ∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2， ∴D1（2，1）， ∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴N（0，﹣3）， 同理可得：， ∴， ∴OM＝3， ∴M（3，0）， 设P（2，m）， 当▱MNQP时， ∴MN∥PQ，PQ＝MN， ∴Q点的横坐标为﹣1， 当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8， ∴Q（﹣1，8）， 当▱MNPQ时， 同理可得：点Q横坐标为：5， 当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8， ∴Q′（5，﹣8）， 综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）． 【例5】（2025•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F． ①x1＝　　，x2＝　　（分别用含n的代数式表示）； ②证明：AE＝BF； （3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N． ①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由； ②若A′M+3B′N＝2，求t的值． 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用交点式设y＝ax（x+2），把B（，）代入即可求得答案； （2）①联立得x2+2x＝x+n，解方程即可求得答案； ②分两种情况：当n＞1时，CD位于AB的上方，可得：AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；当＜n＜1时，CD位于AB的下方，可得：AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF； （3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，可得P′Q′∥AB，再由（2）②及平移的性质可证得结论；②由A′M+3B′N＝2，可得A′M＝B′N＝，根据二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，把Q（t+1，3）代入y＝x+1，即可求得答案； 方法二：①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，可得：点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．再由二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，求得：B′（t+，），A′（t﹣1，3），即可证得结论． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A， 令y＝0，得x+1＝0， 解得：x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵直线y＝x+1经过点B（m，）， ∴m+1＝， 解得：m＝， ∴B（，）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（，）， 设y＝ax（x+2），则＝a××（+2）， 解得：a＝1， ∴y＝x（x+2）＝x2+2x， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x； （2）①由题意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣）， 解得：x1＝，x2＝， 故答案为：，； ②当n＞1时，CD位于AB的上方， ∵A（﹣2，0），B（，）， ∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝， ∴AE＝BF， 当＜n＜1时，CD位于AB的下方， ∵A（﹣2，0），B（，）， ∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝， ∴AE＝BF， ∴当n＞﹣且n≠1时，AE＝BF； （3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ， ∴P′Q′∥AB， ∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′， 由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N； ②∵A′M+3B′N＝2， ∴A′M＝B′N＝， 设点Q在原抛物线上的对应点为Q′， ∵二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2）， ∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的， ∴Q′的横坐标为0或1， ∴Q′（0，0）或（1，3）， 当Q′（0，0）时，Q（t+1，3）， 将点Q的坐标代入y＝x+1， 得：3＝（t+1）+1， 解得：t＝3； 当Q′（1，3）时，Q（t+2，6）， 将点Q的坐标代入y＝x+1， 得：6＝（t+2）+1， 解得：t＝8； 综上所述，t＝3或8； 另解： ∵A′M+3B′N＝2， ∴A′M＝B′N＝，B（，）的对应点为B′（t+，）， ∵B′N＝， ∴点Q的横坐标为t+1，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+， ∴Q（t+1，t+）， 将点Q的坐标代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2， 解得：t＝3． 方法二： ①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2， 当t＞时，解得：x3＝， ∴点Q的横坐标为； 同理可得点P的横坐标为， ∵点P在点Q的左侧， ∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）． ∵二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2）， ∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的， ∴B（，）的对应点为B′（t+，），A（﹣2，0）的对应点为A′（t﹣1，3）． ∴B′N＝t+﹣＝，A′M＝﹣（t﹣1）＝， ∴A′M＝B′N． 一．解答题（共20题） 1．（2025秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4） （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？ （3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2，然后把B点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断； （3）设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，再把C（7，4）代入求出m的值为4或10，从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2， 把B（0，4）代入得4＝a×（0﹣3）2， 解得a＝， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2； （2）当x＝7时，y＝（x﹣3）2＝×（7﹣3）2＝≠4， ∴点C（7，4）不在这个抛物线上； （3）能． 设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2， 把C（7，4）代入得×（7﹣m）2＝4， 解得m1＝4，m2＝10， ∴把抛物线y＝（x﹣3）2向右平移1个单位或7个单位可经过点C（7，4）． 2．（2025秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）． （1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标． （2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值． 【分析】（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得到b、c的关系为c﹣b＝3，再由＝6，求出b、c的值即可求函数的解析式； ②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），可得PM＝﹣t2+3t+1＝3，求出t的值即可求M点坐标； （2）由题意可知抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，则平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，所以抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），再由题意可得m＝+b﹣2①，﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②求出b的值即可． 【解答】解：（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴c﹣b＝3， ∵抛物线的顶点纵坐标为6， ∴＝6， ∴c＝﹣3或c＝5， ∴b＝﹣6或b＝2， ∵顶点位于y轴右侧， ∴b＞0， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+5； ②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4）， ∴PM＝﹣t2+3t+1， ∵PM＝3， ∴﹣t2+3t+1＝3， 解得t＝1或t＝2， ∴P（1，3）或（2，2）； （2）∵点A（﹣1，2）平移后对应点为A'（m+1，b+4）， ∴抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位， ∵c﹣b＝3， ∴y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）2+b+3+， ∴平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+， ∴抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+）， ∵抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上， ∴+m+2+5＝2b+5+， ∴m＝+b﹣2①， ∵平移后的抛物线经过点N（2，1）， ∴﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②， 由①②可得，b+2m＝b+4或b+2m＝﹣b﹣4， 当b+2m＝b+4时，m＝2，此时不符合题意； 当b+2m＝﹣b﹣4时，b＝0或b＝﹣10， 当b＝0时，m＝﹣2；当b＝﹣10时，m＝8； ∴b的值为0或﹣10． 3．（2025•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB． （1）用含b的式子表示m； （2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由． 【分析】（1）利用Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到Δ＝b2﹣4a＝0，可得a＝，则y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入即可求解； （2）求出E（﹣，1），则BE＝|﹣|，证明△AOB∽△BOM，可求M（﹣，0），再由AM＝BE，得到|﹣|＝|m+|，求出b＝±2，即可求解析式y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2； （3）平移后抛物线的顶点由A变为M，则平移后的抛物线为y＝（x+）2，因为C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，所以（x+）2＝（x﹣m）2，此时m2＝﹣1，m无解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0）， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0， ∴a＝， ∴y＝x2+bx+1＝（x+）2， 把A（m，0）代入得，（m+）2＝0， ∴m＝﹣； （2）若四边形AMBE是平行四边形，A，M均在x轴上， 则AM∥BE，AM＝BE， ∵B在y轴上， 当x＝0时，y＝ax2+bx+1＝1， ∴B（0，1）， ∴E的纵坐标为1， 把yE＝1代入抛物线y＝（x+）2， ∴（x+）2＝1， 解得x＝0（舍）或﹣， ∴E（﹣，1）， ∴BE＝|﹣|， ∵BC⊥AB， ∴∠MBA＝90°， ∵∠MBO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠MBO， ∴△AOB∽△BOM， ∴＝， ∴OM＝， ∴M（﹣，0）， ∵AM＝BE， ∴|﹣|＝|m+|， ∵m＝﹣， ∴b＝±2， ∴y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2； （3）平移后的抛物线不经过点C，理由如下： ∵平移后抛物线的顶点由A变为M， ∴平移后的抛物线为y＝（x+）2， ∵C在抛物线上，平移后的抛物线经过C， ∴（x+）2＝（x﹣m）2， ∴m2＝﹣1， ∴m无解， ∴平移后的抛物线不经过C点． 4．（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）． ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围； ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案； ii．P（m，﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案． 【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3． （2）i．∵y＝x2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3）， 即点B是原抛物线的顶点， ∵平移后的抛物线顶点为P（m，n）， ∴抛物线平移了|m|个单位， ∴S△OPB＝×3|m|＝3， ∵m＞0， ∴m＝2， 即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上， ∴k≥2； ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3， ∴n＝﹣3， ∴P（m，﹣3）， 由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3， ∴Q（0，m2﹣3）， ∵B（0，﹣3）， ∴BQ＝m2，+，PQ2＝， ∴BP＝PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|， ∵PB＝PQ，PC⊥BQ， ∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°， ∴tan∠BPC＝tan60°＝＝， ∴m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴n＝﹣3＝3， ∴P点的坐标为（2，3）． 5．（2025•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案； （3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP， 则∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3， 又OA＝1，OC＝3， ∵∠PAB＝∠ACO， ∴△APD∽△CAO， ∴＝，即＝， ∴3t2﹣13t+10＝0， 解得：t1＝1（舍去），t2＝， 当t＝时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣ ∴P（，﹣）； （3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F， 由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°， ∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°， ∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q， ∴D、P、Q在同一条直线上， ∴∠APD+∠EPF＝90°， ∵∠PFE＝90°＝∠ADP， ∴∠PEF+∠EPF＝90°， ∴∠APD＝∠PEF， ∵AQ平分∠PAC， ∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°， 又PE⊥PA， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AP＝PE， ∴△APD≌△PEF（AAS）， ∴PF＝AD＝，EF＝PD＝， ∴E（，﹣）， 设直线AE的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+2， 当x＝时，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣， ∴Q（，﹣）， ∵﹣﹣（﹣）＝， ∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了个单位． 6．（2025•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标； （3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（1+t，4﹣t）， 把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+3得： ﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t， 整理得t2﹣t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝1， ∴P（2，3）； （3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置， ∴E点坐标为（1，﹣1）， ∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1）， 连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小， 设直线PF的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线PF的解析式为y＝x+， ∴点M的坐标为（0，）． 7．（2025•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L的表达式； （2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得：． ∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由： ∵点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝4． 如图，当四边形ABQP为菱形时， 过点P作PC⊥x轴于点C， 令x＝0，则y＝1， ∴D（0，1）， ∴OD＝1， 令y＝0，则x+1＝0， ∴x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）． ∴OA＝1． ∴OA＝OD， ∴∠DAO＝45°． ∵PC⊥x轴， ∴PC＝AC． ∵四边形ABQP为菱形， ∴PA＝AB＝4． ∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×＝2， ∴P（2﹣1，2），Q（3+2，2）． 抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位； 同理，当点P在第三象限时，P（﹣2﹣1，﹣2），Q（3﹣2，﹣2）， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位； 如图，当四边形APBQ为菱形时， ∵OA＝OD＝1， ∴∠DAO＝45°． ∵四边形APBQ为菱形， ∴∠BAQ＝∠DAO＝45°， ∴∠PAQ＝90°， ∴四边形APBQ为正方形， ∴P（1，2），Q（1，﹣2）． 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位； 如图，当四边形ABPQ为菱形时， ∵OA＝OD＝1， ∴∠DAO＝45°． ∵四边形APBQ为菱形， ∴∠PAQ＝∠DAO＝45°， ∴∠BAQ＝90°， ∴四边形ABPQ为正方形， ∴P（3，4），Q（﹣1，4）． 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位． 8．（2025•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长； （3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2＝8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2＝8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+； （2）∵y＝﹣（x﹣2）2+， ∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2， 如图，设CD＝t，则D（2，﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（2+t，﹣t）， 把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t， 整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴线段CD的长为2； （3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， ∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位， 而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m）， 当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）． 9．（2025秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标； （3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4，得A（﹣2，0），B（2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式是y＝﹣x2+4； （2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，根据∠MAP＝45°，PH⊥AP，可推得△ABP≌△PDH（AAS），得到H（1，5），设直线AH为y＝kx+b，待定系数法得直线AH为y＝x+，从而解得M（，）；当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，同理可得M（，﹣）； （3）由平移后顶点在直线y＝x+4上，设平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4，把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，结合函数图象可得﹣3≤t＜0， 把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t＝或t＝，结合函数图象可得：＜t≤． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， 把A（﹣2，0）代入y＝ax2+4得：0＝4a+4， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4； （2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，如图： ∵∠MAP＝45°，PH⊥AP， ∴△APH是等腰直角三角形， ∴AP＝HP，∠APB＝90°﹣∠HPD＝∠PHD， ∵B（2，0），P（2，1）， ∴∠ABP＝90°＝∠HDP， ∴△ABP≌△PDH（AAS）， ∴AB＝PD，PB＝DH， ∵A（﹣2，0），B（2，0），P（2，1）， ∴PD＝AB＝4，DH＝BP＝1， ∴H（1，5）， 设直线AH为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AH为y＝x+， 由x+＝﹣x2+4得：x1＝﹣2（点A横坐标，舍去），x2＝， 当x＝时，y＝﹣x2+4＝﹣（）2+4＝， ∴M（，）； 当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，如图： 同理可得△AKP≌△PGE， ∴PG＝AK＝1，GE＝KP＝4， ∴E（3，﹣3）， 设直线AE为y＝k'x+b'，将A（﹣2，0），E（3，﹣3）代入得： ，解得， ∴直线AE为y＝﹣x﹣， 由﹣x﹣＝＝﹣x2+4得x＝﹣2（舍去）或x＝， ∴M（，﹣）； 综上所述，点M的坐标为（，）或（，﹣）； （3）∵平移后顶点在直线y＝x+4上， ∴设平移后的抛物线顶点为（t，t+4），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4， 把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，如图： 结合函数图象可得﹣3≤t＜0， 把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t＝或t＝，如图： 结合函数图象可得：＜t≤， 综上所述，抛物线顶点横坐标t的取值范围为﹣3≤t＜0或＜t≤． 10．（2025•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可； （2）设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， ∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称， ∵点A在点B的左侧，且AB＝4， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）， 把A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5． （2）根据题意，平移后的抛物线经过原点， 设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx， 当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b， ∴C（b，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝b， 当x＝b时，y＝﹣（b）2+b2＝b2， ∴P（b，b2）； 如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD， ∵△OCP是等腰直角三角形， ∴∠OPC＝90°， ∴PD＝OC＝OD， ∴b2＝b， 解得b1＝2，b2＝0（不符合题意，舍去）， ∴P（1，1）． 11．（2025•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D． （1）求点B与点D的坐标； （2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标； （3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式． 【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标； （2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）； （3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+． 【解答】解：（1）设B（m，0）， ∵A坐标是（2，4），OB＝AB， ∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2， 解得m＝5， ∴B（5，0）， 设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得： ﹣6a＝4， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+， ∴顶点D（，）； （2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝， 设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+， 令x＝得y＝﹣×+＝， ∴E（，）； （3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝， ∴A点向右平移个单位， ∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3， ∵平移后的D点在线段AB上， ∴平移后D点坐标为（3，）， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+． 12．（2025•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数． （1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式； （2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围； （3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值． 【分析】（1）把P（2，﹣1）代入解析式，即可解得a值，即可求解； （2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为﹣1，则将二次函数图象向上平移 k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，因为图象与x轴无交点，所以k﹣1＞0，即可求解； （3）二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，由|m﹣n|＝d，得出m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，再根据d≥2得出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点P（2，﹣1）， ∴（2﹣a）（2﹣a+2）＝﹣1， 解得：a＝3， ∴y＝（x﹣3）（x﹣3+2）＝x2﹣4x+3， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1＝a，x2＝a﹣2， ∴二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1， 把x＝a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1， ∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1， ∵图象与 轴无交点， ∴k﹣1＞0， ∴k＞1； （3）∵二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n， ∵|m﹣n|＝d， ∴m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+， 把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1， ∵d≥2， ∴t的最小值为0． 13．（2025•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示． （1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． （2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣可得对称轴为直线x＝﹣，由抛物线经过（1，0）及抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标，进而求解． （2）由抛物线经过原点可得二次函数解析式中常数项为0，进而求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2+x﹣m， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣， ∵抛物线经过（1，0）， ∴抛物线过点（﹣2，0）， ∴x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2． （2）∵抛物线经过原点， ∴抛物线解析为y＝x2+x． 14．（2025•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值． （2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小； ②求△ABC的面积． 【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解． （2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解． ②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解． 【解答】解：（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣4， 由题意得m2﹣4＝0， 解得m＝±2． （2）①∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝m， ∵m﹣（m﹣3）＞m+2﹣m， ∴y1＞y2． ②令x2﹣2mx+m2﹣1＝0，则（x﹣m）2＝1， 解得x1＝m﹣1，x2＝m+1， ∴AB＝2，点C坐标为（m，﹣1）， ∴S△ABC＝AB•|yC|＝×2×1＝1． 15．（2025•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC． （1）求该二次函数的表达式及点M的坐标： （2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，即可求解； （2）求出平移后的抛物线的顶点（1，m﹣5），再求出直线AC的解析式y＝x﹣4，当顶点在直线AC上时，m＝2，当M点在AB上时，m＝4，则2＜m＜4； （3）设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），分三种情况讨论：当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，，Q点横坐标为1；②当CP为对角线时，CE＝CQ，，Q点横坐标为2，不符合题意；③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP，，Q点横坐标为3﹣． 【解答】解：（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣4， ∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5， ∴顶点M（1，﹣5）； （2）由题可得平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣5+m， ∴抛物线的顶点为（1，m﹣5）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣4， 当顶点在直线AC上时，m﹣5＝﹣3， ∴m＝2， ∵AB∥x轴， ∴B（﹣1，﹣1）， 当M点在AB上时，m﹣5＝﹣1， ∴m＝4， ∴2＜m＜4； （3）存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4）， ∵点E在点C下方， ∴t＜﹣4， ∵Q点在第四象限， ∴0＜q＜+1， ①当CE为菱形对角线时，CP＝CQ， ∴， 解得（舍）或， ∴Q点横坐标为1； ②当CP为对角线时，CE＝CQ， ∴， 解得， ∴Q点横坐标为2，不符合题意； ③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP， ∴， 解得（舍）或， ∴Q点横坐标为3﹣； 综上所述：Q点横坐标为1或3﹣． 16．（2025•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a． （1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值． （3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式． x … ﹣1 0 1 … y … 4 k n … 【分析】（1）把a＝﹣1直接代入求出其解析式，利用配方法把二次函数解析式化成顶点式然后求出其顶点坐标； （2）直接把x的值代入二次函数解析式求k、n的值；根据表格中的数据，描点、连线画出函数图像；根据x的取值范围，在图像上找最低点即可； （3）先把二次函数的解析式化成顶点式，根据最小值为﹣4，求出a的值，再根据平移以后抛物线在﹣3≤x≤0的最小值为﹣3，确定m的值． 【解答】解：（1）∵c＝﹣3a， ∴y＝ax2+2ax+c ＝ax2+2ax﹣3a ∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x2+2x+1）+3+1 ＝﹣（x+1）2+4， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，4）． （2）把x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝3即k＝3． 把x＝1代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝0即n＝0． 画图象如图所示． 由图像可以看出，当0≤x≤2时，﹣5≤y≤3．∴y最小值＝﹣5． （3）∵y＝ax2+2ax﹣3a ＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a）， 由题意可得当﹣3＜x＜0时，函数最小值为﹣4a＝﹣4， ∴a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣4， ∵二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度后得y'＝（x+1﹣m）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝m﹣1， ∵m＞1，m﹣1＞0， ∴对称轴在y轴右侧， ∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小． ∴当x＝0时，y'＝（x+1﹣m）2﹣4＝（1﹣m）2﹣4为最小值， ∴（1﹣m）2﹣4＝﹣3， 解得m＝0（舍去）或m＝2， ∴m＝2． ∴这个函数表达式为y＝x+2． 17．（2025•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解； （2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值； （3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上， ∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m， 解得m＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1； （2）∵y＝x2﹣3x+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴当x＜时，y随x的增大而减小， 当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1， ∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n， ∴n2﹣3n+1＝4﹣n， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∵n≤x≤1， ∴n的值为﹣1； （3）根据平移的性质可知，a＝1， ∵当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴h≥2． ∵平移后的图象经过原点O， ∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2， ∴k≤﹣4． 18．（2025•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）． （1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围． （2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值． 【分析】（1）将A，B两点坐标代入抛物线解析式，从而求得结果，设点A关于抛物线对称轴对称点记作C，则y＞3的图象在直线AC的上方，进而写出结果； （3）表示出O′和B′的坐标，将其代入抛物线的解析式，从而求得结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴y＝﹣x2+2x+3， 点A（0，3）关于对称轴x＝1的对称点（2，3）， ∴当y＞3时，0＜x＜2； （2）∵O′（﹣m，n），B′（3﹣m，n）， ∴， ∴． 19．（2025•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点． （1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 　（﹣1，﹣）　； （2）若抛物线的对称轴为直线x＝1． ①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标； ②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值； （3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）由y＝x2+ax+a﹣5＝＝x2+a（x+1）﹣5，即可求解； （2）①根据对称轴为直线x＝1可得a＝﹣1，可得抛物线的表达式为．进而得出点Q的坐标； ②由平移的性质得QA＝k，B（0，﹣6﹣k），根据QA＝QB，即可得k的值； （3）当a＝2时，y＝x2+2x+2﹣5＝＝x2+2x﹣3＝（x+2）2﹣5，则抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧，根据点M到y轴的距离不超过2，即可得出n的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2+ax+a﹣5＝＝x2+a（x+1）﹣5， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣5＝﹣， ∴无论a为何值，抛物线L总过一个定点为（﹣1，﹣）， 故答案为：（﹣1，﹣）； （2）①∵抛物线L的对称轴为直线， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为． ∵x＝1时，， ∴顶点Q的坐标为； ②∵将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使顶点Q落在点A处， ∴QA＝k，B（0，﹣6﹣k）， ∵，QA＝QB， ∴， ∴， ∴； （3）当a＝2时，y＝x2+2x+2﹣5＝＝x2+2x﹣3＝（x+2）2﹣5， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧， 又∵﹣2≤m≤2， ∴n随着m的增大而增大， 当m＝﹣2时，n＝﹣5， 当m＝2时，n＝×（2+2）2﹣5＝3， ∴﹣5≤n≤3． 20．（2025•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； （3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可； （2）过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE（AAS），推出OA＝FG＝3，设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），可得FG＝|m﹣1|＝3，推出m＝﹣2或m＝4，即可解决问题； （3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，证明PN＝PM，由PF2＝PF1，推出PF+PM＝PF2+PN＝FN1为最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），C（0，3）代入，得， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点F作FG⊥DE于点G， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形， ∴AC＝EF，AC∥EF， ∵OA∥FG， ∴∠OAC＝∠GFE， ∴△OAC≌△GFE（AAS）， ∴OA＝FG＝3， 设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3）， ∴FG＝|m﹣1|＝3， ∴m＝﹣2或m＝4， 当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5， ∴F1（﹣2，﹣5）， 当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5， ∴F2（4，﹣5） 综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）； （3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5， 在Rt△MHF2中，sin∠HMF2＝＝＝，则在Rt△MPN中，sin∠PMN＝＝， ∴PN＝PM， ∵PF1＝PF2， ∴PF+PM＝PF2+PN＝F1N为最小值， ∵＝×6×4＝×5×F1N， ∴F1N＝， ∴PF+PM的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $