5.2菱形讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

本讲义聚焦菱形核心知识，系统梳理定义（一组邻边相等的平行四边形）、5条性质（四边相等、对角相等邻角互补、对角线垂直平分且平分一组对角、中心对称+轴对称、面积为对角线乘积一半）、3条判定定理，结合常用结论与解题技巧，通过典例及变式训练构建从基础到综合应用的学习支架。 资料特色在于基础梳理与技巧总结融合，如“见菱形想四边相等、对角线垂直”培养几何直观，典例覆盖判定、角度线段计算及压轴最小值问题，变式训练提升推理能力，拓展题型结合中考真题，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺强化应用。

5.2 菱形 讲义 基础知识梳理 1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 菱形的性质（5 条核心） 设菱形 ，对角线交于 ： ①边：四边都相等， ②角：对角相等，邻角互补 ③对角线：互相垂直平分；每条对角线平分一组对角 ④对称性：中心对称 + 轴对称（2 条对称轴） ⑤面积：（ 为两条对角线长） 3. 菱形的判定定理（3 条） ①定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ③四边相等：四条边都相等的四边形是菱形 4. 常用结论 ①对角线夹角为 必出等边三角形 ②对角线分成 4 个全等直角三角形 ③菱形周长：（ 为边长） 技巧总结归纳（解题直接用） 1.见菱形，想四边相等、对角线垂直 2.求角度：用 “对角线平分角 + 直角三角形两锐角互余” 3.求线段：用勾股定理、中点、中位线 4.求面积：优先用 “对角线乘积的一半” 5.判定菱形三步走 ① 先看是否平行四边形 ② 再加：邻边相等 / 对角线垂直 ③ 直接：四边相等 6.最小值问题：菱形对角线是对称轴，用对称点转化 7.易错提醒 ①对角线垂直的四边形不一定是菱形（必须先平行四边形） ②菱形对角线不相等（相等变矩形） 典例精讲 题型一 菱形的判定（添加条件） 典例 1要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 【技巧点拨】判定菱形优先看邻边相等或对角线垂直。 变式 1如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵直线l是四边形的对称轴， ∴，， ∴当添加或时，，则四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 菱形性质：求角度 典例 2如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【技巧点拨】菱形对角线平分一组对角。 变式 2如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 题型三 菱形性质：求线段长 典例 3菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 【答案】 【详解】解：∵菱形的一个内角是， ∴其邻角为， 根据菱形的性质得，角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， 故这个菱形较短的对角线长是cm． 故答案为：. 变式 3如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型四 菱形面积计算 典例 4如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 【技巧点拨】菱形面积 = 对角线乘积的一半。 变式 4如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为 故答案为： 题型五 证明四边形是菱形 典例 5如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【详解】证明：在与中，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 变式 5如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 题型六 菱形性质综合证明 典例 6如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴． 变式 6如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 题型七 菱形中的最小值问题（高频压轴） 典例 7如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【技巧点拨】菱形对角线是对称轴，对称点转化最短路径。 变式 7如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 拓展重难题型（压轴，菱形的判定与性质的综合） 典例 8某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 典例 9如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 课堂小结（必背） 1. 性质 四边相等；对角线垂直平分 + 平分内角；面积 = 2. 判定 平行四边形 + 邻边相等；平行四边形 + 对角线垂直；四边相等的四边形 3. 模型 60°/120° ⇒ 等边三角形；最小值 ⇒ 对称点 + 垂线段最短；折叠 / 证明 ⇒ 全等 + 勾股 4. 易错 对角线垂直不能直接判菱形，必须先平行四边形；菱形对角线不相等 题型一．菱形的性质 1．（2025春•义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8，可求得AB＝5，OA＝OC＝4，由AC⊥BD，得∠AOB＝90°，则OD＝OB3，所以BD＝2OB＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8， ∵AB＝AD＝CD＝CB，且AB+AD+CD+CB＝20， ∴4AB＝20， ∴AB＝5， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OCAC＝4， ∴OD＝OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∴另一条对角线的长为6，故选：C． 2．（2025•安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝40°． ∵BA＝BE，∴∠BAE70°．故选：A． 3．（2025春•玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，根据勾股定理得AB＝5，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD8＝4， ∴∠AOB＝90°， ∴AB5， ∵点M为AB的中点， ∴OMAB5，故选：A． 4．（2025春•杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线AC的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE的长度． 【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13， ∴∠AOB＝90°， ∴OA5， ∴AC＝10， ∵菱形的面积＝AB．CEAC•BD，即13×CE10×24，解得：CE，故选：B． 5．（2026春•钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为：AC•BD16×12＝96．故选：C． 6．（2025春•建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出BC的长，利用菱形面积为△ABC面积的两倍求出AE即可． 【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4， ∴∠BOC＝90°， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC5， ∵AE⊥BC于点E， ∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2BC•AE＝5AE， ∵S菱形ABCDAC•BD＝24， ∴5AE＝24，∴AE，故选：A． 7．（2026春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　） A．α+β＝90° B．2β+3α＝180° C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180° 【答案】D 【分析】由菱形性质得AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC，由此得∠BCE＝β﹣α，再根据BE＝CD得BE＝AB＝BC，进而得∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α，然后由AD∥BC得∠EBC＝∠BEA＝β，在△BCE中，由三角形内角和定理得∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°，据此即可得出α与β的关系． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠A＝β， ∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC， ∵∠DCE＝α， ∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝β﹣α， ∵BE＝CD， ∴BE＝AB＝BC， ∴△ABE和△BCE都是等腰三角形， ∴∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝β， 在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°， ∴β+β﹣α+β﹣α＝180°， ∴3β﹣2α＝180°．故选：D． 8．（2026春•江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°， 又∵∠ECM＝30°， ∴∠DCF＝50°， ∵DF⊥CM， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝40°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝40°， 在△CDH和△CDF中，， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DH＝DF， ∴DB＝2DH＝2．故选：B． 9．（2025春•临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　） A．26° B．52° C．128° D．154° 【答案】C 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，得∠BCD＝2∠BCA＝52°，再根据菱形的邻角互补即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCA＝26°， ∴∠BCD＝2∠BCA＝2×26°＝52°，∠BCD+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝128°，故选：C． 10．（2025春•西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【答案】A 【分析】作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°，由菱形的性质得CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°，则∠ADC＝60°，所以△ADC和△ABC都是等边三角形，求得∠BAF＝30°，则∠DAF＝90°，当点P与分别与点B、F、C、E重合时，△DAP依次为等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴∠ADC＝∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°， ∴△ADC和△ABC都是等边三角形， ∵∠BAF＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°， ∴当点P与点B重合时，△DAP为等腰三角形； 当点P与点F重合时，△DAP为直角三角形； 当点P与点C重合时，△DAP为等边三角形； 当点P与点E重重时，△DAP为直角三角形， 故选：A． 11．（2025春•德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　6　 ． 【答案】6． 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOD为直角三角形． ∵OE＝3，且点E为线段AD的中点， ∴AD＝2OE＝6． ∴菱形ABCD的边长为6，故答案为：6． 12．（2025春•宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　110°　 ． 【答案】110°． 【分析】由菱形的性质可得∠ABC＝40°，∠CBD＝20°，由余角的性质可求∠BFE的度数，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝140°， ∴∠ABC＝40°，∠CBD＝20°， ∵AE⊥BC， ∴∠BFE＝70°， ∴∠BFA＝110°，故答案为：110°． 13．（2025春•椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】由菱形的性质可得 AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO3， ∴BD＝6， ∵DE⊥AB，BO＝DO， ∴OEBD＝3，故答案为：3． 14．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　24　 ． 【答案】24． 【分析】BE＝3x，CD＝5x，由菱形的性质推出AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO，由等角对等边推出DE＝AD＝5x，得到3x+1＝5x﹣1，求出x＝1，得到OD＝4，AD＝5，由勾股定理求出AO＝3，得到BD＝8，AC＝6，于是得到菱形ABCD的面积AC•BD＝24． 【解答】解：∵5BE＝3CD， ∴BE：CD＝3：5， 令BE＝3x，CD＝5x， ∴OB＝BE+OE＝3x+1 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO， ∵∠DAE＝∠DEA， ∴DE＝AD＝5x， ∴OD＝DE﹣OE＝5x﹣1， ∴3x+1＝5x﹣1， ∴x＝1， ∴OD＝5x﹣1＝4，AD＝5x＝5， ∴AO3， ∵BD＝2OD＝8，AC＝2AO＝6， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×8＝24．故答案为：24． 15．（2025春•慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　　 ． 【答案】． 【分析】连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK，由菱形的性质推出∠ABC＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，判定△BGK≌△BGE（SAS），推出GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，得到GF+GK＝3，判定△ABC是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且FK⊥BC，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是． 【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD， 在△BGK与△BGE中，， ∴△BGK≌△BGE（SAS）， ∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG， ∵GF+GE＝3， ∴GF+GK＝3， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴GF+GK＝AM， ∴F、G、K共线，且FK⊥BC， ∴∠BEG＝∠BKG＝90°， ∵AD∥BC， ∴FK⊥AD， ∴∠GFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴；故答案为：． 16．（2025春•嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　　 ． 【答案】． 【分析】由题中的两个图可得：EF＝CF，如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE，设DF＝2x，AM＝a，根据勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，列方程即可得x＝2，证明四边形DMNC是矩形，由勾股定理即可解答． 【解答】解：由题中的两个图可得：EF＝CF， 如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE， 设DF＝2x，AM＝a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，CD∥AB， ∵EF＝CF，DF⊥CE， ∴CD＝DE＝5， ∴AD＝DE， ∵DM⊥AB， ∴AM＝EM＝a， ∵EC＝DF+2＝2x+2， ∴CF＝x+1， 在Rt△DFC中，DF2+CF2＝CD2， ∴（2x）2+（x+1）2＝52， ∴5x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2（舍）， ∴CE＝6， ∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB， ∴∠DMN＝∠N＝∠NCD＝90°， ∴四边形DMNC是矩形， ∴CD＝MN＝5， ∴EN＝5﹣a， ∵DM2＝CN2， ∴AD2﹣AM2＝CE2﹣EN2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2， ∴a， ∴AE＝2a，故答案为：． 17．（2025春•杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 a2＝b2﹣bc+c2 ． 【答案】a2＝b2﹣bc+c2． 【分析】过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，由“SAS”证得△APD≌△CPD，得出AP＝CP＝a，易证四边形PECF是平行四边形，得出PE＝CF＝c，由含30°角的直角三角形性质得出FHa，再由勾股定理求出PHb，推出CHc，最后由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 在△APD和△CPD中，， ∴△APD≌△CPD（SAS）， ∴AP＝CP＝a， ∵PE∥BC，PF∥DC， ∴四边形PECF是平行四边形， ∴PE＝CF＝c， ∵AB∥CD， ∴PF∥AB， ∴∠PFC＝∠ABC＝60°， ∵PH⊥BC， ∴∠FPH＝30°， ∴FHPF，PHb， ∴CH＝FH﹣CFc， ∵PC2＝CH2+PH2， ∴a2＝（c）2+（b）2， ∴a2＝b2﹣bc+c2．故答案为：a2＝b2﹣bc+c2． 18．（2025春•镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　296　 ． 【答案】296． 【分析】连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b．根据S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM，计算即可． 【解答】解：连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b． 在菱形ABCD、菱形DEFG、菱形FMHN中， ∴AC⊥BD，EG⊥BH，MN⊥BH，BK＝DKa，PF＝PHb， ∵BH＝44，DF＝30， ∴a+b＝14，OD＝OF＝15， ∵EF＝17， ∴OE8， ∴EG＝16， ∴S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM16×（15a）16×（15b）＝8（15+15ab）＝8×（30+7）＝296，故答案为：296． 19．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD． （1）求∠EAF度数； （2）求证：BD∥EF． 【分析】（1）由菱形的性质推出AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°，由等腰三角形的性质推出∠AFB＝∠ABF＝72°，由三角形内角和定理求出∠BAF＝36°，同理：∠DAE＝36°，由平行线的性质求出∠BAD＝108°，即可得到∠EAF的度数； （2）由等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠AEF＝72°，由菱形的性质推出∠ABM∠ABC＝36°，由三角形的外角性质得到∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°，因此∠AMN＝∠AFE，推出BD∥EF． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°， 由题意得到AF＝AE＝AB， ∴∠AFB＝∠ABF＝72°， ∴∠BAF＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 同理：∠DAE＝36°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∴∠EAF＝108°﹣36°﹣36°＝36°； （2）证明：∵AE＝AF，∠EAF＝36°， ∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣36°）＝72°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABM∠ABC72°＝36°， ∵∠BAF＝36°， ∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°， ∴∠AMN＝∠AFE， ∴BD∥EF． 20．（2025春•吴兴区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连结FD，FE． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形． （2）连结BF，若四边形BEFD是菱形，BF＝12，AC＝8，求EF的长． 【分析】（1）由三角形中位线定理可求DF∥BC，EF∥BA，即可求解； （2）由菱形的性质可得BE＝BD，可证BC＝AB，由等腰三角形的性质可得BF⊥AC，AF＝CF＝4，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点， ∴DF∥BC，EF∥BA， ∴四边形BEFD是平行四边形； （2）解：∵四边形BEFD是菱形， ∴BE＝BD， ∵D，E分别是边AB，BC的中点， ∴AD＝BD，BE＝EC， ∴BC＝BA， ∵F是边CA的中点， ∴BF⊥AC，AF＝CF＝4， 在Rt△BFC中，BF＝12，FC＝4， ∴4， ∴EF＝2． 21．（2025春•杭州月考）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数． （2）若DH⊥BC，求线段AC和DH的长． 【分析】（1）根据菱形的性质求解即可； （2）结合菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出AC＝6，再根据菱形的面积求解即可． 【解答】解：（1）在菱形ABCD中，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2×30°＝60°， ∴∠BAD＝60°； （2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝ODBD，OA＝OC， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝6， 根据勾股定理，得， ∴， ∴菱形ABCD的面积， ∵DH⊥BC，且BC＝AB＝6， ∴菱形ABC的面积＝BC•DH＝6DH， ∴， ∴． 题型二．菱形的判定 22．（2025春•舟山期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故A不符合题意； B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，得到∠ABD＝∠CDB，因此∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，判定▱ABCD是菱形，故B不符合题意； C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC＝2OA，BD＝2OB，得到AC＝BD，判定▱ABCD是矩形，不一定是菱形，故C符合题意； D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故D不符合题意． 故选：C． 23．（2026春•鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形ABCD是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形内角和为360°， ∴2（∠A+∠B）＝360°，即∠A+∠B＝180°， 可得AD∥BC，同理可得AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形； 选项B：AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形ABCD是菱形，符合要求； 选项C：若AC＝DB，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，CD＝AB是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形， 故选：B． 24．（2025•广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 【答案】A 【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， 如图，连接AD， ∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等， ∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等， ∴AF＝AE， ∴平行四边形AFDE是菱形； B，D不能得平行四边形AFDE是菱形； C能得平行四边形AFDE是矩形； 故选：A． 25．（2025春•颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．边长 C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60° 【答案】D 【分析】由勾股定理和网格的特点可知，据此可判断A、B；再由AC＝4，BD＝12，根据菱形面积计算公式可判断C；由于AB＝BC≠AC，则△ABC不是等边三角形，据此可判断D． 【解答】解；∵方格纸中每个小正方形的边长都为1， 由勾股定理得：， 故B说法正确，该选项不符合题意； ∴四边形ABCD是菱形， 故A说法正确，该选项不符合题意； ∵AC＝4，BD＝12， ∴， 故C说法正确，该选项不符合题意； ∵AB＝BC≠AC， ∴△ABC不是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ADC≠60°， 故D说法错误，该选项符合题意； 故选：D． 26．（2025春•广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　） A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行 【答案】A 【分析】方案I：设AC与MN相交于点O，证明△OCM≌△OCN（ASA），得出CM＝CN，从而得出CM＝CN＝AM＝AN，即可得出四边形AMCN为菱形；方案II：△BAM≌△DCN（ASA）得出∠BMA＝∠DNC，证明出AM∥CN，即可四边形AMCN为平行四边形，但不能判断四边形AMCN为菱形． 【解答】解：方案I：设AC与MN相交于点O， ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴AM＝MC，AN＝NC，CO⊥MN， ∴∠DAC＝∠NCA，∠COM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴∠MCO＝∠NCO， ∵OC＝OC， ∴△OCM≌△OCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∴CM＝CN＝AM＝AN， ∴四边形AMCN为菱形； 方案II：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD， ∵AM平分∠BAD，AN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DCN 在△BAM和△DCN中，， ∴△BAM≌△DCN（ASA）， ∴∠BMA＝∠DNC， ∵AD∥BC， ∴∠BMA＝∠DAM， ∴∠DNC＝∠DAM， ∴AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形，不能判断四边形AMCN为菱形； 综上所述，只有方案I可行，故选：A． 27．（2025春•安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：AE＝EC（答案不唯一）　 ，使四边形AECF是菱形． 【答案】AE＝EC（答案不唯一）． 【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝EC，然后由平行四边形的判定即可得出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论． 【解答】解：AE＝EC（答案不唯一）． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴CE＝AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形， 故答案为：AE＝EC（答案不唯一）． 28．（2025春•仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 【答案】． 【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长． 【解答】解：如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵AB•OCAC•BC， ∴OC． ∴OB， ∴AD＝AB﹣2OB，故答案为：． 29．（2025春•炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　①③　 （限填序号）． 【答案】①③． 【分析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【解答】解：添加条件①时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴不能得到四边形ABCD是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 30．（2025春•海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD ． 【答案】AB＝CD． 【分析】根据三角形中位线定理得到EN＝FMAB，FN＝EMCD，则可证明四边形EMFN为平行四边形，当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，据此可得答案． 【解答】解：四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD， 理由：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴EN＝FMAB，FN＝EMCD， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形， 故答案为：AB＝CD． 31．（2025春•盖州市期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　3　 次．当P出发　6　 秒时，四边形PQCD是菱形． 【答案】3，6． 【分析】由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，设P，Q运动时间为ts，分三种情况画出图形：①当0≤t≤4时，当四边形CQPD是平行四边形时，t+3t＝12，得t＝3；②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，可得3（t﹣4）＝t，t＝6；③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，3（t﹣8）＝12﹣t，得t＝9，即可得到答案． 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为ts， ①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3tcm， ∴t+3t＝12，解得t＝3， ∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm， ∵AD＝BC，PD＝CQ， ∴BQ＝AP， ∴3（t﹣4）＝t，解得t＝6； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t， ∴3（t﹣8）＝12﹣t，解得t＝9， ∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形； 当PD＝CD时，即12﹣t＝6， 解得t＝6， ∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形．故答案为：3，6． 32．（2025•泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　（3，8）或或　 ． 【答案】（3，8）或或． 【分析】分情况：①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时；③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3；④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，分别求出即可． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6， ∴OB＝3，OC＝3， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（0，4），B（﹣3，0）代入，解得：， ∴直线AB的解析式为， ①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，， 所以点F与B重合， 即F1（﹣3，0），由题意舍去， ②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时， ∴M在射线AD上，且AD垂直平分FC， ∴F2（3，8）； ③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3，设， ∵A（0，4），C（3，0）， ∴AC的中点， ∵AN2+NF2＝AF2， ∴， 解得：，∴， ④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，设， ∵A（0，4），C（3，0），∴AF的中点， 在Rt△AGF中，AG2+CG2＝AC2， ∴， 解得：或m＝0（不合题意舍去），∴， 综上，点F的坐标为（3，8）或或． 故答案为：（3，8）或或． 33．（2025春•中山市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证：▱ABCD是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质得到OCAC＝3＝2，OBBD＝1，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OCAC＝3＝2，OBBD＝1， ∵OB2+OC2＝12+22＝5＝BC2， ∴∠BOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 34．（2026•秦淮区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形． 【分析】先证明四边形ABFE是平行四边形，再证明AB＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形． 35．（2025春•大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形． 【分析】先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB＝OC，由菱形的判定方法即可得出结论． 【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OCAC，OBBD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴四边形OBEC是菱形． 36．（2024秋•万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得ADBC＝BD＝CD，然后由全等三角形判定与性质可得AF＝BD＝CD，最后根据菱形的判定方法可得结论． 【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBC＝BD＝CD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中，， ∴△AFE≌△DBE（ASA）， ∴AF＝BD＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． 37．（2025春•渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知①AB⊥BD ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　四边形ABCD是菱形　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 【分析】根据菱形的判定定理即可证得结论． 【解答】解：已知：AB⊥BD，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形． 38．（2025春•长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 【分析】（1）利用平行四边形性质及中点性质可证得四边形AECF是平行四边形，进而证得△DFH≌△BEG（ASA），得出FH＝EG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BEG＝∠DCE，∠FDH＝∠EBG， ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴DF＝FC＝AE＝EB， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE， ∴∠DFH＝∠DCE， ∴∠DFH＝∠BEG， ∴△DFH≌△BEG（ASA）， ∴FH＝EG， ∵FH∥EG， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形． ∵点E、O分别是AB、BD的中点， ∴OE∥AD． ∵AD⊥BD， ∴EF⊥GH． ∴▱HEGF是菱形． 39．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB， ∵点G为BE的中点， ∴EG＝BG， 在△DEG和△FBG中，， ∴△DEG≌△FBG（AAS）， ∴DE＝FB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形， ∴BD∥EF， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EFC＝∠C， ∵∠C＝2∠BEF， ∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF， ∴平行四边形DBFE是菱形． 40．（2025春•大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． 【分析】（1）利用△ABF≌△DEC，得出AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，进而求出∠AFC＝∠DGF，即可得出四边形AFDC是平行四边形； （2）①利用当t＝3秒时，首先得出△AFC是等边三角形，进而求出AF＝AC，即可求出四边形AFDC是菱形． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE． 根据平移的性质得到：BF＝EC． 在△ABF与△DEC中，， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE， ∴∠AFC＝∠DGF， ∴AF∥DC， ∴四边形AFDC是平行四边形； （2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下： ∵t＝3， ∴CF＝10﹣3×2＝4（cm）， ∵AC＝4cm， ∴CF＝AC， ∵ACB＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴AF＝AC， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形． 41．（2025春•南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）用t的代数式表示：AE＝　4tcm ，DF＝　2tcm ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）先由题意得到CD＝4tcm，AE＝2tcm，根据∠C＝30°，即可求出DF＝AE＝2tcm； （2）先证明AEFD为平行四边形，当AE＝AD，平行四边形AEFD为菱形，由此建立方程求出t的值即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝4tcm，AE＝2tcm， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∴DFCD＝2tcm， 故答案为：4tcm，2tcm； （2）四边形AEFD能够成为菱形，理由如下： 由（1）得：AE＝DF， ∵∠B＝∠DFC＝90°， ∴DF∥AE， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 若▱AEFD为菱形，则AE＝AD， ∵AC＝100，CD＝4t， ∴AD＝100﹣4t， ∴2t＝100﹣4t， ∴， ∴当时，四边形AEFD能够成为菱形． 42．（2025春•开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°． ∴①　∠AFB＝∠AED ． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴②　∠B＝∠D ． 在△ABF与△ADE中 ∴△ABF≌△ADE（AAS） ∴④AE＝AF ． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　到这两边的距离相等，则平行四边形是菱形　 ． 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图； （2）根据菱形的定义证明． 【解答】解：（1）如图：点F即为所求； （2）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°． ∴∠AFB＝∠AED． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D． 在△ABF与△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立． 因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形． 故答案为：∠AFB＝∠AED，∠B＝∠D，AB＝AD．AE＝AF，到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形． 题型三．菱形的判定与性质 43．（2025春•德阳期末）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 44．（2025春•工业园区校级期中）如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AB于E，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，然后由30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点A作AF⊥BC于F， 由题意可得AF＝CE＝1cm，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC•AF＝AB•CE， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∵AF⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴ ∵AF＝1cm， ∴， ∴，即重叠四边形的面积为，故选：C． 45．（2025春•南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，AC＝6， ∴， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为3×4＝12．故选：A． 46．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 【答案】B 【分析】证明▱ABCD是菱形，可得EF是△AOD的中位线，根据勾股定理求得AD，根据菱形的性质求得周长． 【解答】解：∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD； ∵点E，F分别为AD，AO的中点， ∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线， ∴OD＝2EF＝6， ∵平行四边形ABCD中，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝AD， ∴， ∴菱形ABCD的周长．故选：B． 47．（2025•岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【答案】C 【分析】根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD 由条件可得∠MBC＝∠A＝44°， ∴∠CBD68°，故选：C． 48．（2026•长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是 C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45° 【答案】C 【分析】根据菱形的判定，勾股定理，菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AD，BC＝CD2， ∵2， ∴AB≠BC， ∴四边形ABCD不是菱形，故A不符合题意； 四边形ABCD的周长是AB+AD+BC+CD＝42，故B不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积是AC•BD3×4＝6，故C符合题意， ∵∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠ABC＝∠ADC＞45°，故D不符合题意， 故选：C． 49．（2025•北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先判定四边形AEBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO， 又∵BE＝CD， ∴AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形， 当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确， ∴AE＝BD， ∴AE＝2DO，故①正确； ∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴AE∥BD，AC⊥BD， ∴AE⊥AC， 即∠CAE＝90°，故②正确； ∵四边形ADBE是平行四边形， ∴S△ABE＝S△ABDS菱形ABCD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABOS菱形ABCD， ∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABOS菱形ABCD，故④正确； 正确的结论个数有3个，故选：C． 50．（2025春•黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，然后根据平行四边形的判定可证四边形ABDE是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可判断①；由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可判断②；由四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，则OB＝OD，AG＝GD，然后通过中位线定理即可判断③；由四边形ABCD是菱形，得AB＝AD，则可证明△ABD是等边三角形，故有BD＝AB，通过菱形的判定方法即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE， ∴AC⊥AE，故①正确； ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AG＝DG，BG＝EG， 在△DEG和△ABG中，， ∴△DEG≌△ABG（SSS），故②正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AG＝GD， ∴OD是△ABD中位线， ∴OG∥AB，故③正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，AB＝DE， ∴BD＝AE＝AB＝DE， ∴四边形ABDE是菱形，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④，故选：A． 51．（2025春•江阳区校级期中）如图，▱ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　37°　 ． 【答案】37°． 【分析】先证△DOE≌△BOF（AAS），可得四边形BEDF是菱形，据此求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AD∥BC，∠ABC＝180°﹣∠C＝117°， ∴∠DEO＝∠BFO， ∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE＝50°， ∴∠EBF＝80°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝37°，故答案为：37°． 52．（2025春•香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　24　 ． 【答案】24． 【分析】首先根据题意得到四边形AMBN是菱形，进而得到AB⊥MN，，然后利用勾股定理得到NO＝MO＝4，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意得AM＝MB＝BN＝NA＝5， ∴四边形AMBN是菱形， 如图，设MN和AB交于点O， ∴，AB⊥MN， ∴， ∴MN＝2×4＝8， ∴四边形AMBN的面积是，故答案为：24． 53．（2025•碑林区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．若BF＝8.8，AB＝5.5，则AE的长为　6.6　 ． 【答案】6.6． 【分析】连接EF，设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【解答】如图，连接EF，设AE交BF于点O， 由作图可知：AE⊥BF，OB＝OF＝4.4，∠BAE＝∠EAF， 由条件可知AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝AF＝5.5， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA＝OE， 在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝5.5， ∴， ∴AE＝2OA＝6.6．故答案为：6.6． 54．（2025春•阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【分析】①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确； ②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE＝BE＝AE可判断出四边形BEDF是菱形； ③根据S△BFGS△BFGS△FCG，S△FCGS平行四边形ABCD，可得出结论； ④根据矩形的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确． ②由①知四边形DEBF为平行四边形， ∵AD⊥BD，E为边AB的中点， ∴DE＝BE＝AE， ∴四边形BEDF是菱形，故②正确． ④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD， ∴四边形AGBD为矩形， ∴AD＝BG＝BC， ∵AB＝6，AD＝4， ∴BF＝DF＝CF＝3，BC＝4， ∴CG＝8， ∵CG2﹣CF2＝82﹣32＝55＝FG2， ∴∠CFG＝90°， ∴FG⊥CD， 要使FG⊥CD，则BF＝BC＝BG， 而BF＝3，BC＝BG＝4， ∴BFCG， ∴FG⊥AB不恒成立， ∴不成立，故④错误．故④不正确． ③由④知BC＝BG， ∴S△BFGS△BFGS△FCG， ∵F为CD中点， ∴S△FCGS平行四边形ABCD， ∴S△BFGS平行四边形ABCD，故③正确． 综上可得：①②③正确．故答案为：①②③． 55．（2026春•天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求菱形ABCD的周长． 【分析】（1）设DE＝a，则CD＝2DE＝2a，证明DE是△ABF的中位线得AB＝2DE＝2a，DE∥AB，由此得CD＝AB＝2a，则四边形ABCD是平行四边形，在Rt△ABF中，根据∠F＝30°得BF＝2AB＝4a，由直角三角形斜边中线性质得AD＝BD＝2a，则AD＝AB＝2a，据此可得出结论； （2）由（1）可知设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a，进而得菱形ABCD的周长为8a，，则a，据此可得菱形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：设DE＝a， ∴CD＝2DE＝2a， ∵点E，D分别是AF，BF的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴AB＝2DE＝2a，DE∥AB， ∴CD＝AB＝2a， ∵点C在ED的延长线上， ∴CD∥AB， 又∴CD＝AB＝2a， ∴四边形ABCD是平行四边形； 在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°， ∴BF＝2AB＝4a， ∵点D是BF的中点， ∴AD是Rt△ABF斜边BF上的中线， ∴AD＝BD＝FDBF＝2a， ∴AD＝AB＝2a， ∴平行四边形ABCD是菱形， （2）解：由（1）可知：设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a， ∴菱形ABCD的周长为：8a， 又∵BD， ∴2a， ∴a， ∴菱形ABCD的周长为：8a． 56．（2026•大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF． （1）求证：四边形EFCD为菱形； （2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长． 【分析】（1）欲证明四边形EFCD为菱形，只需推知四边形EFCD为平行四边形，且CF＝EF； （2）由菱形的性质知DE＝EF＝2；结合直角三角形斜边上中线的性质求得AC＝2DE＝4；最后利用勾股定理求得AD的长度． 【解答】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EF∥AB，且EFAB． ∵CD∥AB， ∴EF∥CD． 又∵DE∥CF， ∴四边形EFCD为平行四边形． ∵AB＝BC， ∴EFBC． ∵F为BC的中点， ∴CFBC． ∴CF＝EF． ∴四边形EFCD为菱形； （2）由（1）知，四边形EFCD为菱形，则DC＝DE＝EF＝2． ∵∠ADC＝90°，点E为AC的中点， ∴AC＝2DE＝4． 在直角△ACD中，利用勾股定理知：AD2． 57．（2025春•台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC． （1）求证：四边形AEDC是菱形； （2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积． 【分析】（1）先根据矩形性质得AO⊥CO，再结合已知DO＝AO，EO＝CO，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形来证明． （2）由菱形性质和∠AED＝60°得出△AED是等边三角形，再通过等边三角形和矩形的线段关系求出对角线长度，最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥CO， 又∵DO＝AO，EO＝CO， ∴四边形AEDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵AD⊥CE（已证AO⊥CO，DO＝AO，EO＝CO，即对角线互相垂直 ）， ∴四边形AEDC是菱形； （2）解：∵四边形AEDC是菱形， ∴AE＝ED， 又∵∠AED＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE＝4， ∴OA＝OD＝2， ∴∠AEO＝∠DEO＝30°， ∴， ∴， ∴菱形AEDC的面积． 58．（2026•新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q； ③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP． （1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长． 【分析】（1）由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG，然后可得AP＝BP＝AG＝BG，进而问题可求解； （2）由（1）可得AQ⊥PG，，，然后根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：（1）四边形APBG是菱形，理由如下： 由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG， ∴BG＝AG，BP＝AP， ∴AP＝BP＝AG＝BG， ∴四边形APBG是菱形； （2）∵四边形APBG是菱形， ∴AQ⊥PG，，， 在Rt△AQG中，AQ2+QG2＝AG2， ∴AQ2＝132﹣52＝144， ∴AQ＝12， ∴AB＝2AQ＝2×12＝24． 59．（2025春•保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF•OD的值． 【分析】（1）首先证明出四边形BEDF是平行四边形，然后结合EF⊥BD即可证明出四边形BEDF是菱形； （2）首先根据菱形的性质得到FD＝32÷4＝8，OD+OF＝10，然后利用勾股定理得到OD2+OF2+2OD•OF＝100，然后结合完全平方公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）解：∵菱形BEDF的周长是32， ∴FD＝32÷4＝8，BD＝2OD，EF＝2OF， ∵BD+EF＝20， ∴2OD+2OF＝20， ∴OD+OF＝10， ∴（OD+OF）2＝102， ∴OD2+OF2+2OD•OF＝100， ∵EF⊥BD， ∴△DOF是直角三角形， 由勾股定理得：OD2+OF2＝DF2＝82＝64， ∴64+2OD•OF＝100， ∴OD•OF＝18． 60．（2025春•通辽期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到AB＝AD，结合平行四边形的性质，得到AB＝BC＝CD＝AD即可证明四边形ABCD是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合AD2＝OA2+OD2，证明BD⊥AC，从而证明平行四边形ABCD是菱形； ②结合平行四边形ABCD是菱形，则AC平分∠BCD，因为∠ACB＝∠E+∠COE，，得∠COE＝∠E，故OC＝CE，即可作答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵BD⊥AC， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2， ∴∠AOD＝90°， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠ACD＝∠E+∠COE， ∵， ∴∠ACD＝2∠E， ∴∠COE＝∠E， ∴OC＝CE， 由①得OC＝4， ∴CE＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 菱形 讲义 基础知识梳理 1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 菱形的性质（5 条核心） 设菱形 ，对角线交于 ： ①边：四边都相等， ②角：对角相等，邻角互补 ③对角线：互相垂直平分；每条对角线平分一组对角 ④对称性：中心对称 + 轴对称（2 条对称轴） ⑤面积：（ 为两条对角线长） 3. 菱形的判定定理（3 条） ①定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ③四边相等：四条边都相等的四边形是菱形 4. 常用结论 ①对角线夹角为 必出等边三角形 ②对角线分成 4 个全等直角三角形 ③菱形周长：（ 为边长） 技巧总结归纳（解题直接用） 1.见菱形，想四边相等、对角线垂直 2.求角度：用 “对角线平分角 + 直角三角形两锐角互余” 3.求线段：用勾股定理、中点、中位线 4.求面积：优先用 “对角线乘积的一半” 5.判定菱形三步走 ① 先看是否平行四边形 ② 再加：邻边相等 / 对角线垂直 ③ 直接：四边相等 6.最小值问题：菱形对角线是对称轴，用对称点转化 7.易错提醒 ①对角线垂直的四边形不一定是菱形（必须先平行四边形） ②菱形对角线不相等（相等变矩形） 典例精讲 题型一 菱形的判定（添加条件） 典例 1要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 变式 1如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 题型二 菱形性质：求角度 典例 2如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式 2如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 题型三 菱形性质：求线段长 典例 3菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 变式 3如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 题型四 菱形面积计算 典例 4如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 变式 4如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 题型五 证明四边形是菱形 典例 5如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 变式 5如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 题型六 菱形性质综合证明 典例 6如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 变式 6如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 题型七 菱形中的最小值问题（高频压轴） 典例 7如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值 ． 变式 7如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 拓展重难题型（压轴，菱形的判定与性质的综合） 典例 8某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 典例 9如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 课堂小结（必背） 1. 性质 四边相等；对角线垂直平分 + 平分内角；面积 = 2. 判定 平行四边形 + 邻边相等；平行四边形 + 对角线垂直；四边相等的四边形 3. 模型 60°/120° ⇒ 等边三角形；最小值 ⇒ 对称点 + 垂线段最短；折叠 / 证明 ⇒ 全等 + 勾股 4. 易错 对角线垂直不能直接判菱形，必须先平行四边形；菱形对角线不相等 题型一．菱形的性质 1．（2025春•义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2025•安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 3．（2025春•玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 4．（2025春•杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 5．（2026春•钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 6．（2025春•建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 7．（2026春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　） A．α+β＝90° B．2β+3α＝180° C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180° 8．（2026春•江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　） A． B． C． D．3 9．（2025春•临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　） A．26° B．52° C．128° D．154° 10．（2025春•西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 11．（2025春•德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 12．（2025春•宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ． 13．（2025春•椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ． 14．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 15．（2025春•慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ． 16．（2025春•嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ． 17．（2025春•杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 　 　 ． 18．（2025春•镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　 　 ． 19．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD． （1）求∠EAF度数； （2）求证：BD∥EF． 20．（2025春•吴兴区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连结FD，FE． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形． （2）连结BF，若四边形BEFD是菱形，BF＝12，AC＝8，求EF的长． 21．（2025春•杭州月考）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数． （2）若DH⊥BC，求线段AC和DH的长． 题型二．菱形的判定 22．（2025春•舟山期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD 23．（2026春•鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB 24．（2025•广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 25．（2025春•颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．边长 C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60° 26．（2025春•广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　） A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行 27．（2025春•安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：　 　 ，使四边形AECF是菱形． 28．（2025春•仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　 　 ，▱CDEB为菱形． 29．（2025春•炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）． 30．（2025春•海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是　 　 ． 31．（2025春•盖州市期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 32．（2025•泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ． 33．（2025春•中山市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证：▱ABCD是菱形． 34．（2026•秦淮区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形． 35．（2025春•大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形． 36．（2024秋•万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 37．（2025春•渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知①　 　 ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　 　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 38．（2025春•长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 39．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 40．（2025春•大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． 41．（2025春•南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）用t的代数式表示：AE＝　 　 ，DF＝　 　 ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 42．（2025春•开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°． ∴①　 　 ． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴②　 　 ． 在△ABF与△ADE中 ∴△ABF≌△ADE（AAS） ∴④　 　 ． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ． 题型三．菱形的判定与性质 43．（2025春•德阳期末）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 44．（2025春•工业园区校级期中）如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 45．（2025春•南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 46．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 47．（2025•岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 48．（2026•长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是 C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45° 49．（2025•北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（2025春•黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 51．（2025春•江阳区校级期中）如图，▱ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　 　 ． 52．（2025春•香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ． 53．（2025•碑林区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．若BF＝8.8，AB＝5.5，则AE的长为　 　 ． 54．（2025春•阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 55．（2026春•天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求菱形ABCD的周长． 56．（2026•大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF． （1）求证：四边形EFCD为菱形； （2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长． 57．（2025春•台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC． （1）求证：四边形AEDC是菱形； （2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积． 58．（2026•新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q； ③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP． （1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长． 59．（2025春•保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF•OD的值． 60．（2025春•通辽期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $