专题11菱形寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题11菱形寒假预习讲义 · 一眼抓核心：弄懂菱形的定义，分清它和平行四边形的区别与联系 · 吃透性质：掌握菱形边、角、对角线三大特殊性质，会用几何语言描述 · 掌握判定：熟记菱形的常用判定方法，能初步判断图形是否为菱形 · 会算面积：学会菱形两种面积计算方法，能解决简单基础计算题 · 动手感知：通过画图、折叠，直观感受菱形的对称性与图形特征 · 搭建关联：建立平行四边形→菱形的知识链，为后续特殊四边形学习打基础 预习必备 知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点) 3.菱形的判定方法 4.菱形与平行四边形.矩形的对比 5.常见易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形性质求角度 2.利用菱形性质求线段长 3.利用菱形性质求面积 4.利用菱形性质进行证明 5.证明四边形为菱形 6.添加条件使四边形成为菱形 7.菱形性质判定综合:求角度 8.菱形性质判定综合:求线段长 9.菱形性质判定综合:求面积 10.菱形的中点四边形 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定义双重作用： 性质：菱形一定是平行四边形，且有一组邻边相等； 判定：平行四边形 + 一组邻边相等⇒菱形。 【知识点02.菱形的性质】 菱形属于特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质，同时独有专属性质： 1. 边的性质 四条边都相等（AB=BC=CD=DA） 对边平行（AB∥CD，AD∥BC） 2. 角的性质 对角相等 邻角互补 3. 对角线的性质（核心特有性质） 对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 例：菱形ABCD，对角线、交于点O，则，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 中心对称图形：对称中心为对角线交点 轴对称图形：有2 条对称轴，对称轴为两条对角线所在直线 5. 面积公式 平行四边形通用公式：S=底高 菱形专属公式：S=对角线乘积 推导：菱形对角线垂直，分割为 4 个全等直角三角形，面积求和可得该公式。 【知识点03.菱形的判定方法】 1. 定义判定（基础） 平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形 2. 边的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形 无需先判定平行四边形，直接由四边相等推菱形。 3. 对角线的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意：仅对角线垂直的任意四边形不能判定为菱形，必须先满足平行四边形前提。 【知识点04.菱形与平行四边形.矩形的对比】 图形 边 角 对角线 对称轴 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 无 矩形 对边平行且相等 四个直角 互相平分且相等 2 条 菱形 四边相等、对边平行 对角相等 互相平分且垂直、平分对角 2 条 【知识点05.常见易错点提醒】 1.判定混淆：对角线垂直的四边形≠菱形，必须是平行四边形 + 对角线垂直。 2.面积公式误用：对角线乘积的一半仅适用于对角线互相垂直的四边形，菱形是特例。 3.对称轴数量：菱形只有2 条对称轴（对角线所在直线），非 4 条。 4.对角线性质：菱形对角线不一定相等，相等则变为正方形。 【题型1.利用菱形性质求角度】 【典例】已知在菱形中，，则的大小是 °． 【跟踪专练1】如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【题型2.利用菱形性质求线段长】 【典例】菱形中，已知，则菱形的周长是（  ） A．8 B．12 C．6 D． 【跟踪专练1】在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【跟踪专练2】如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3.利用菱形性质求面积】 【典例】如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是 平方米． 【跟踪专练1】面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【题型4.利用菱形性质进行证明】 【典例】如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【跟踪专练1】如果菱形的对角线上一点P到边的距离为2，那么点P到边的距离为 ． 【跟踪专练2】下列命题是真命题的是（   ） ①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形； ③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型5.证明四边形为菱形】 【典例】已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是 ．（只添加一个条件） 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为 ． 【题型6.添加条件使四边形成为菱形】 【典例】已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件 ，使四边形成为菱形． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.菱形性质判定综合:求角度】 【典例】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，再以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别与交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长与交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【题型8.菱形性质判定综合:求线段长】 【典例】如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是 ． 【题型9.菱形性质判定综合:求面积】 【典例】如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪专练1】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【跟踪专练2】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【题型10.菱形的中点四边形】 【典例】若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件 ． 【跟踪专练1】下列说法中错误的是（  ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．在直角三角形中，任意一边的中线是这条边的一半 C．依次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形 【跟踪专练2】如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为 ．    1．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且．若，求菱形ABCD的面积． 2．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 3．如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 4．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 5．如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11菱形寒假预习讲义 · 一眼抓核心：弄懂菱形的定义，分清它和平行四边形的区别与联系 · 吃透性质：掌握菱形边、角、对角线三大特殊性质，会用几何语言描述 · 掌握判定：熟记菱形的常用判定方法，能初步判断图形是否为菱形 · 会算面积：学会菱形两种面积计算方法，能解决简单基础计算题 · 动手感知：通过画图、折叠，直观感受菱形的对称性与图形特征 · 搭建关联：建立平行四边形→菱形的知识链，为后续特殊四边形学习打基础 预习必备 知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点) 3.菱形的判定方法 4.菱形与平行四边形.矩形的对比 5.常见易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形性质求角度 2.利用菱形性质求线段长 3.利用菱形性质求面积 4.利用菱形性质进行证明 5.证明四边形为菱形 6.添加条件使四边形成为菱形 7.菱形性质判定综合:求角度 8.菱形性质判定综合:求线段长 9.菱形性质判定综合:求面积 10.菱形的中点四边形 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定义双重作用： 性质：菱形一定是平行四边形，且有一组邻边相等； 判定：平行四边形 + 一组邻边相等⇒菱形。 【知识点02.菱形的性质】 菱形属于特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质，同时独有专属性质： 1. 边的性质 四条边都相等（AB=BC=CD=DA） 对边平行（AB∥CD，AD∥BC） 2. 角的性质 对角相等 邻角互补 3. 对角线的性质（核心特有性质） 对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 例：菱形ABCD，对角线、交于点O，则，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 4. 对称性 中心对称图形：对称中心为对角线交点 轴对称图形：有2 条对称轴，对称轴为两条对角线所在直线 5. 面积公式 平行四边形通用公式：S=底高 菱形专属公式：S=对角线乘积 推导：菱形对角线垂直，分割为 4 个全等直角三角形，面积求和可得该公式。 【知识点03.菱形的判定方法】 1. 定义判定（基础） 平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形 2. 边的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形 无需先判定平行四边形，直接由四边相等推菱形。 3. 对角线的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意：仅对角线垂直的任意四边形不能判定为菱形，必须先满足平行四边形前提。 【知识点04.菱形与平行四边形.矩形的对比】 图形 边 角 对角线 对称轴 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 无 矩形 对边平行且相等 四个直角 互相平分且相等 2 条 菱形 四边相等、对边平行 对角相等 互相平分且垂直、平分对角 2 条 【知识点05.常见易错点提醒】 1.判定混淆：对角线垂直的四边形≠菱形，必须是平行四边形 + 对角线垂直。 2.面积公式误用：对角线乘积的一半仅适用于对角线互相垂直的四边形，菱形是特例。 3.对称轴数量：菱形只有2 条对称轴（对角线所在直线），非 4 条。 4.对角线性质：菱形对角线不一定相等，相等则变为正方形。 【题型1.利用菱形性质求角度】 【典例】已知在菱形中，，则的大小是 °． 【答案】20 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角相等，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， 故答案为：20． 【跟踪专练1】如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得出，因为四边形是菱形，故，，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【详解】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2.利用菱形性质求线段长】 【典例】菱形中，已知，则菱形的周长是（  ） A．8 B．12 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，四条边长度相等，已知边长，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，菱形的周长是， 故选：B． 【跟踪专练1】在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，将菱形的问题转化为直角三角形的问题求解． 菱形的对角线互相垂直平分，已知菱形边长和一条对角线长，先求出该对角线一半的长度，再结合菱形边长在直角三角形中利用勾股定理求出另一条对角线一半的长度，进而得到另一条对角线的全长． 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得，，，由勾股定理得，通过即可得的长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型3.利用菱形性质求面积】 【典例】如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是 平方米． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：菱形花坛，米，米， ∴菱形花坛的面积是米， 故答案为：120 ． 【跟踪专练1】面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的面积公式可得，从而得到（，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：16． 【题型4.利用菱形性质进行证明】 【典例】如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边分别相等，对边平行，对角线互相垂直平分线，对角线平分一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 【跟踪专练1】如果菱形的对角线上一点P到边的距离为2，那么点P到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质．熟练掌握菱形的性质，角平分线的性质是解题的关键．由菱形，可知平分，由角平分线的性质可知点P到另外一边的距离． 【详解】解：∵菱形， ∴平分， ∵点P在对角线上，点P到的距离为2， ∴点P到另外一边的距离为2， 故答案为：2． 【跟踪专练2】下列命题是真命题的是（   ） ①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形； ③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据矩形的判定和性质、菱形的判定和性质判断即可． 【详解】解：①矩形的对角线互相平分且相等，原命题是真命题； ②对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； ③菱形的每一条对角线平分一组对角，原命题是真命题； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，原命题是真命题． 综上，原命题是真命题的是①③④． 故选：C． 【题型5.证明四边形为菱形】 【典例】已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是 ．（只添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，解题的关键是结合已知条件，依据菱形的判定定理补充合适条件。 可以添加的条件（答案不唯一）理由是：由已知、根据可证，得到，从而根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到：四边形是菱形． 【详解】可以添加的条件是（答案不唯一） 理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。 故答案为：（答案不唯一）。 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ； 由作图可知：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：16． 【题型6.添加条件使四边形成为菱形】 【典例】已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判断条件，即可解答． 【详解】解：如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件 ，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了菱形的判定， 熟练掌握菱形的判定是关键．添加，根据菱形的判定进行证明即可． 【详解】解：添加条件，使四边形成为菱形． ∵， ∴四边形成为平行四边形， ∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、过作于，于，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积， 又∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； D、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形，故选项符合题意； 故选：D． 【题型7.菱形性质判定综合:求角度】 【典例】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，再以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别与交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长与交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点D作交的延长线于点P，设与交于点O，先证出，都为等边三角形，四边形为菱形，然后利用勾股定理得出，再利用边角关系得出，进而即可得解． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点P，设与交于点O， ∵分别以点A和点B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，， ∴， ∴，都为等边三角形，四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，, ∵以点D为圆心，以任意长为半径画弧，分别与，交于点，分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，勾股定理，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【题型8.菱形性质判定综合:求线段长】 【典例】如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：10． 【题型9.菱形性质判定综合:求面积】 【典例】如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 【题型10.菱形的中点四边形】 【典例】若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线定理得到相应结论，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的四边形是菱形添加条件即可． 【详解】解：，，，分别是边，，，的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 一组邻边相等的四边形是菱形， 若， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是正确理解中点四边形的性质，本题属于基础题型． 【跟踪专练1】下列说法中错误的是（  ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．在直角三角形中，任意一边的中线是这条边的一半 C．依次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定和矩形的判定方法依次判断即可得解． 本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定和矩形的判定方法，掌握相关的性质和判定是解题的关键． 【详解】 解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，故本选项说法错误，符合题意； C、依次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； D、四个角相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，， ，，确定规律为，代入计算即可，本题考查了矩形的性质，菱形的性质，规律探索，熟练掌握规律探索，菱形的性质是解题的关键． 【详解】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，， ， 故， 故答案为：． 1．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且．若，求菱形ABCD的面积． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握方程思想与数形结合思想的应用． 首先设，由可得，根据菱形的性质得到，，，在中，根据勾股定理可得到关于的方程，求得的值，继而可求得与的长，则可求得菱形的面积． 【详解】解：设，则． ∵四边形是菱形， ，，． 在中，由勾股定理得， 解得（负值已舍去）， ，， ． 2．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 3．如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握特殊的四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，则，而，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是菱形，再由勾股定理求解，继而求出，再由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 4．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $