精品解析：上海南汇中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高二数学 （满分100分，完成时间90分钟） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 2. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即可得解. 【详解】因双曲线的焦点在轴上，且， 故其渐近线方程为，依题意，易得. 故答案为：2. 3. 函数，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的定义可知. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 5. 函数在区间上的平均变化率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得，将代入切线方程得 【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以. 故答案为：3 7. 已知随机变量的分布为，则 __________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故. 8. 从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法，可得事件包含的基本事件有9个，事件包含的基本事件有3个，用古典概型概率计算公式可求得､，再由条件概率公式加以计算，可得的值. 【详解】事件：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：､､，､，，，，， ， 事件：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有，，， ， 由条件概率公式，可得. 故答案为：. 9. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 【答案】60.5 【解析】 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 11. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为，结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集． 【详解】构造函数，， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 12. 在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与的关系式，再由切线长公式表示出，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出． 【详解】因为抛物线和圆均关于轴对称，    所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，所以， 设，则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则，化简得， 因为， 所以 ． 当且仅当，即，即时，等号成立， 此时． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知事件与独立，若，则（ ） A. 0.34 B. 0.68 C. 0.32 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为事件与独立，所以， 所以. 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据导数的正负判断函数的单调性及极值和最值可得. 【详解】对于A，由图可知当时，；当时，，所以函数在处取得极大值，故A错误； 对于B，由图可知当时，；当时，，所以不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由图可知时，，所以函数在区间上单调递减，所以C错误； 对于D，当时，，所以函数在区间上单调递减，因此函数的最大值是，所以D正确. 16. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得，①正确； ， 当且仅当时取等号，解得，即， ，即， 解得，因此，②正确； 令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值，，③正确； ，当且仅当，即时取等号， 因此在中，，所以 ， 所以周长，所以周长的最小值不是，④错误. 三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可． （1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率； （2）求第二次取到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式结合条件即可求解， （2）根据全概率计算公式，结合分类求解即可. 【小问1详解】 记第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球为事件 则. 【小问2详解】 记第二次取到红球为事件， 则事件分两类：第一次取到红球，第二次取到红球为， 第一次取到黑球，第二次取到红球为：， 所以. 18. 甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积分，败者积分；比分为时，胜者积分，败者积分.设每局比赛甲取胜的概率均为. （1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围； （2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，分析比分为和结束时的情况，求出事件概率，列出不等式，求出结果即可； （2）根据比分情况，写出随机变量的所有取值，再根据独立事件概率的乘法公式，逐一求出事件概率，进而写出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 每局比赛甲取胜的概率为，进行3局比赛， 若甲以取胜，则第三局甲胜，前两局甲胜一局，此时概率为， 若甲以取胜，则前两局甲胜，此时概率为， 则，因为，解得， 所以的范围为. 【小问2详解】 可知随机变量可能的取值有， 当时，， ， ， ， 所以甲所得积分的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 19. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值. 【小问1详解】 以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴， 建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： 【小问2详解】 由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 当时，，令， 得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值， 因为，所以无最大值， 所以当时，S取得最大值，最大值为. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点（，均不在轴上）. （1）若的周长为，且的离心率为，求椭圆的方程； （2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值； （3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念和离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程； （2）根据直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的弦长公式，求出参数值即可； （3）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，求出参数值. 【小问1详解】 如图所示，的周长为，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 当，时，椭圆标准方程为， 设直线与椭圆的交点为， 联立方程组得，消去得， 当时，即时， 可知， 则弦长为，即，解得. 【小问3详解】 如图所示，设，直线的方程为， 联立方程组得，消去得， 当时，可知， 设点，因为，可得， 则，解得，所以，则， 因为，所以，即， 所以，化简得，解得或（舍）， 所以. 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）严格单调递减即，对导函数参数分离，构造新函数求解； （3）有2个极值点等价于导函数有2个零点，并运用韦达定理对代数式作变换，构造新函数，根据新函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， 则，， 在点的切线过原点， ，即，解得； 【小问2详解】 . 则，函数在上严格单调递减， 转化为，即对上的任意实数恒成立， 令，则， 由 得，由得， 由得，在上单调递增，在上单调递减， 又当时.时，，， 当时，，故实数a的取值范围是； 【小问3详解】 ，函数有2个极值点等价于在时有2个零点； 即 在上有两个不同的根， ，解得， 不等式恒成立，即， 又 ， 令， 所以，又恒成立， 即在区间单调递减， ； 综上，（1），（2）实数a的取值范围是，（3）的取值范围是. 【点睛】本题的难点在于对不等式作出代数变换，由2个变量 转化为一个变量a，由a得范围来确定的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高二数学 （满分100分，完成时间90分钟） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 2. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 3. 函数，则 ______. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________． 5. 函数在区间上的平均变化率为______． 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 7. 已知随机变量的分布为，则 __________. 8. 从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则__________. 9. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 10. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 11. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 12. 在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知事件与独立，若，则（ ） A. 0.34 B. 0.68 C. 0.32 D. 1 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 16. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可． （1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率； （2）求第二次取到红球的概率． 18. 甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积分，败者积分；比分为时，胜者积分，败者积分.设每局比赛甲取胜的概率均为. （1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围； （2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望. 19. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点（，均不在轴上）. （1）若的周长为，且的离心率为，求椭圆的方程； （2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值； （3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求. 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $