上海南汇中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

**基本信息** 上海南汇中学高二数学期中卷，以解析几何、函数导数、概率统计为核心，通过探照灯抛物线应用、导数极值分析等题，考查数学眼光观察现实世界、逻辑推理解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/36|抛物线焦点准线、双曲线渐近线、函数导数|基础巩固与实际情境结合，如探照灯反射镜问题| |选择题|4/12|独立事件概率、导函数图像分析、双纽线性质|概念辨析与创新题型，如双纽线几何性质判断| |解答题|5/52|椭圆综合、导数极值不等式、概率应用|分层设问与跨知识点整合，如椭圆弦长与几何关系证明|

上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高二数学 （满分100分，完成时间90分钟） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为__________. 1. 若直线是双曲线的一条渐近线，则__________. 1. 函数，则__________. 1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__________. 1. 函数在区间上的平均变化率为__________. 1. 若函数的图像在点处的切线方程是，则__________. 1. 已知随机变量的分布为，则__________. 1. 从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则__________. 1. 探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为.为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为__________. 1. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为__________. 1. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解是__________. 1. 在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 1. 已知事件与独立，若，则（ ） A. 0.34 B. 0.68 C. 0.32 D. 1 1. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 1. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 1. （本题满分8分，第(1)题3分，第(2)题5分） 袋中有个红球，个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回.若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可. （1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率； （2）求第二次取到红球的概率. 1. （本题满分8分，第(1)题3分，第(2)题5分） 甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积分，败者积分；比分为时，胜者积分，败者积分.设每局比赛甲取胜的概率均为. （1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围； （2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望. 19.（本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分） 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 1. （本题满分12分，第(1)题3分，第(2)题4分，第(3)题5分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点（，均不在轴上）. （1）若的周长为，且的离心率为，求椭圆的方程； （2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值； （3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求. 21.（本题满分14分，第(1)题4分，第(2)题4分，第(3)题6分） 已知函数. （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2）设，若函数在区间为严格减函数时，求实数的取值范围； （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $