精品解析：云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数是增函数，所以集合， ， 所以 2. 设复数（i为虚数单位），z的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由复数（i为虚数单位），得， 所以. 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 【答案】C 【解析】 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 5. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【详解】点关于原点的对称点为，即时，， 已知函数， ， 当时，，方程图象有两个交点； 当时，，方程图象有1个交点； 综上，图象上关于原点对称的点有3对． 6. 已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m的取值有关系 【答案】C 【解析】 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 7. 已知方程有两个根为和.若数列满足，则（ ） A. 34 B. 55 C. 42 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理，得，结合，可得数列的递推公式，由，求出，再由递推公式依次求出. 【详解】由题可知，，且. 由，得，， 因为， 所以. 又， 所以，，， ，，， ，. 8. 已知，且，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件确定，再构造函数，利用函数的单调性，确定函数的单调性，即可判断选项. 【详解】因为，，，由，可得，且， 所以， 设，为增函数，因为，所以， 因为，且为增函数，所以， 同理，设，因为，且为增函数，所以， 再由条件可知，. 令，设，则， 当时，，单调递增， 则在上单调递增， 故，即 ，解得：，故A正确. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2个零点和2个极值点 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数. 的最小正周期为，所以A正确； ，是函数图象的最高点，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 当时，， 令，， 因为单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上先单调递增，后单调递减.C错误. 当时，， 当且仅当时，取得极大值；当且仅当时，取得极小值； 当且仅当或时，； 所以在区间上有2个零点和2个极值点，所以D正确. 10. 已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（ ） A. ， B. C. 点P在直线上 D. 点P在曲线上 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求切线方程，转化为方程有3个零点，根据选项判断是否满足条件. 【详解】设切点为，则，， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以， 整理为，若过点可作出3条直线与图象相切，则方程有3个零点， A.当时，，设， 令，得或 当或时，，当时，， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和， 所以函数的极小值是，极大值是， 若和函数有3个交点，则，故A正确； B. 时，，若，，只有1个实数根， 所以不是充分条件，故B错误； C. 若点P在直线上，则，， 整理为，设， 令，得或 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，极小值是， 所以只有1个零点，所以只有1个切点，不是充分条件，故C错误； D. 若点P在曲线上，则，， 则，则， 设，， 令，得或， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，极小值是， 所以方程有3个零点，满足条件，故D正确. 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点P为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的点P有2个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点A，B，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用坐标法判断A，根据焦点三角形面积公式，判断B，利用椭圆的定义，转化为三点共线问题，判断C，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，判断D. 【详解】A.由条件可知，，，设， 则，， 所以，得，且， 联立整理为，无解，故不存在点符合条件，故A错误； B.，故B正确； C. , 所以的最大值为，故C正确； D.设，， 当直线的斜率不存在时，，此时 设直线，联立 ，得， 得，， 根据焦半径公式可得，， 所以， ， 综上可知， ，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用一个0，两个2，三个6排成一个六位数，则不同的排法种数为_____.（用数字作答） 【答案】50 【解析】 【详解】先从除最高位以外的5个位置中，选一个排0，有种排法； 再从除0所排位置以外的5个位置中，选两个排2，有种排法； 最后剩余的位置排，只有1种排法. 所以共有种不同的排法. 13. 如图所示，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，则异面直线，所成角的余弦值是_______. 【答案】 【解析】 【详解】在直三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以//，所以异面直线，所成角，即为直线与所成角，即为. 因为平面，平面， 所以. 所以. 所以. 即异面直线，所成角的余弦值为. 14. 若正整数m、n的公约数只有1，则称m、n互质.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，，.当m，n互质时，.若数列的前n项和为，则______. 【答案】. 【解析】 【分析】由的定义，分别求得，，进而求得，获得数列是等比数列，从而利用等比数列的前n项和公式，求得. 【详解】因为， 所以小于或等于的所有正整数共有个，其中与不互质的数都是2的倍数，即偶数，共有个， 所以与互质的数共有，即. 因为，所以. 小于或等于的所有正整数共有个，其中与不互质的数都是2的倍数，即偶数，共有个， 所以与互质的数共有，即； 小于或等于的所有正整数共有个，其中与不互质的数都是3的倍数， 即，共有个， 所以与互质的数共有，即. 所以. 所以，即. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理以及二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角，进而可得出为直角，可得出，结合勾股定理求出、的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 由可得，所以， 因为，则，故，解得. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 因为、，所以，，可得，故. 所以，所以， 由勾股定理可得，即，解得，故， 因此，的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）点在棱靠近点的三等分点处. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判断线面垂直，得到线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法表示二面角，即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是的中点，所以， 所以平面，平面， 所以； 【小问2详解】 由条件可知，，所以， 又因为，所以是等边三角形，， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，令，，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， ，解得：， 所以点在棱靠近点的三等分点处. 17. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，这组数据的平均值为 【小问2详解】 以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. 【小问3详解】 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 且三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 18. 已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：点T在定直线上； （3）在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. 【小问3详解】 ， ， 因此， 设点到直线的距离为，，的方程为， ， 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. （1）若正实数x，y满足，且，求的值； （2）若代数式为二元轮换式，求证：； （3）若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入． （2）根据轮换式条件，可得．这是极值点偏移问题，首先构造函数，分析 单调性，然后利用该函数单调性转化不等式，简化为一个变量，最后求导证明不等式． （3）首先代入特殊值，得到范围，得到的最大整数值，然后再证明不等式成立． 【小问1详解】 由于及，，即，故． 【小问2详解】 由于为二元轮换式，即，故． 构造函数，， 故时，，单调递减， 时，，单调递增． 不妨设，由于，，故． 由于，故． 要证，只需证， 只需证， 化简得， 只需证， 构造函数，． ． 故在上单调递增，故， 即，故得证． 【小问3详解】 原不等式为 由于时不等式成立，故时不等式也成立． 令，，，左端，右端， 由必要性，故最大整数可取． 下证时，不等式成立． 记． 由于S是三元轮换式，不妨设， 令，，则且，， 代入得． 若，则；若，令， 则由得，从而 ． 令，则上式化为， ， 时，，，故， 时，，故 ，综上，时，， 故，故不等式得证，易得时取到等号． 【点睛】方法归纳：小问2是经典的极值点偏移问题，可以使用对数均值不等式证明，也可按照 小问2详解思路证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数（i为虚数单位），z的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 5. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 6. 已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m的取值有关系 7. 已知方程有两个根为和.若数列满足，则（ ） A. 34 B. 55 C. 42 D. 64 8. 已知，且，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2个零点和2个极值点 10. 已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（ ） A. ， B. C. 点P在直线上 D. 点P在曲线上 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点P为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的点P有2个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点A，B，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用一个0，两个2，三个6排成一个六位数，则不同的排法种数为_____.（用数字作答） 13. 如图所示，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，则异面直线，所成角的余弦值是_______. 14. 若正整数m、n的公约数只有1，则称m、n互质.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，，.当m，n互质时，.若数列的前n项和为，则______. 四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 17. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 18. 已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：点T在定直线上； （3）在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. （1）若正实数x，y满足，且，求的值； （2）若代数式为二元轮换式，求证：； （3）若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $