精品解析：云南省昭通市镇雄县三校2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算计算结合复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，对应的点为，在第四象限， 故选：D. 2. 集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数定义与诱导公式即可得到结果. 【详解】由题意知角的终边上有一点，设为坐标原点，则，故， 则， 故选：A. 4. 直线与圆相交于两点，则弦的长等于（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先得出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】因为圆即圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因此，弦长. 故选：B. 5. 下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元线性回归模型中对随机误差的假定是：随机误差是均值为0，且相互独立，方差为常数的正态分布.反映在残差图上，满足假定的残差图的特征是：残差均匀地分布在以横轴（一般为解释变量或观测顺序等）为中心的水平带状区域内，且残差之间没有明显的趋势性或规律性.根据这些特征对每个选项的残差图进行分析判断. 【详解】对于选项A，观察选项A的残差图，可以看到残差均匀地分布在以横轴为中心的水平带状区域内.残差没有明显的上升、下降趋势，也没有呈现出某种曲线形状等规律性.这表明随机误差满足均值为0，相互独立且方差为常数的假定，所以选项A符合一元线性回归模型中对随机误差的假定. 对于选项B，选项B的残差图中，残差呈现出明显的上升趋势.这意味着残差不是相互独立的，且其均值也不是稳定的0，不满足一元线性回归模型中随机误差相互独立且均值为0的假定，所以选项B不符合要求. 对于选项C，选项C的残差图呈现出“U”型曲线的形状.这种形状说明残差具有明显的规律性，不是随机分布的，不满足随机误差相互独立且方差为常数的假定，所以选项C不符合要求. 对于选项D，选项D的残差图虽然看起来大致分布在一定区域内，但仔细观察可以发现，残差在横轴两侧的分布并不是均匀的，在某些区间内残差的波动较大，而在另一些区间内波动较小，这说明方差不是常数，不满足一元线性回归模型中对随机误差方差为常数的假定，所以选项D不符合要求. 故选：A. 6. 设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，斜率相等列等式即可求解. 【详解】如图所示： 因为是椭圆的左焦点，所以， 因为是椭圆上的一点，轴，将代入得，所以， 又，所以，即，整理得， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，数列是等差数列，且，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用等差数列性质及不等式性质求解判断. 【详解】函数均为奇函数且为增函数，则函数为奇函数且为增函数， 由数列是等差数列，得，即， 于是，即，同理， ， 因此. 故选：B 8. 已知等边的边长为2，点分别满足与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线原理及数量积的运算法则即可求得. 【详解】如图所示： ，设， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为1和2，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为2 B. 该圆台的侧面积为 C. 该圆台的体积为 D. 存在球与圆台的两个底面和侧面都相切 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆台的结构特征和表面积的有关计算、体积公式和台体与球的内、外接问题，结合选项依次计算即可. 【详解】对于A，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为， 由于母线与底面所成的角为，则母线长，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B错误； 对于C，由题意有：，圆台的高， 所以该圆台的体积为，故C正确； 对于D，设梯形为圆台的一个轴截面， 假设存在球与圆台的两个底面和侧面都相切，如图所示： 设圆台上､下底面圆心分别为，则共线，且，， 连接，则分别平分， 故， 故，解得，故圆台的高为，与矛盾， 所以不存在球与圆台的两个底面和侧面都相切，故D错误. 故选：AC. 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据渐近线求出焦距后可判断其正误，对于B，根据渐近线的斜率可求直线的倾斜角后可判断其正误，对于C，根据双曲线的定义转化线段和后可求其最小值，从而判断其正误，对于D，根据余弦定理结合计算的值后可判断其正误. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线的方程为，所以焦距，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为， 若过原点的直线与双曲线相交，则必与左支、右支各有一个交点， 则直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围为，B正确； 对于C，， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时取等号，C错误； 对于D，由对称性不妨设为上支上的任意一点， 当点为双曲线的上顶点时，； 当点不在双曲线的上顶点时，因为， 则，由余弦定理得， 又，所以， 因为，则， 即. 综上，恒为定值，D正确， 故选：ABD. 11. 对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（ ） A. 若，则数列是“数列” B. 若，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列也是“数列” D. 若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】依据题目数列的要求，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则是等比数列，由，得，所以不是“数列”，A错误； 对于B，若，对任意，则，又，则存在，使得，所以数列是“数列”，B正确； 对于C，若是“数列”，则，由，得，所以是“数列”，C正确； 对于D，因为各项互不相等，若是“数列”中的一项， 可知是数列中的项，取，解得或，即0，1可能符合题意， 若，则，即也可能符合题意，对于数列是“数列”， 假设数列还有其他项是“数列”，取， 则存在，使得；取，则存在，使得，； 依此类推，可得到，此时数列不满足项数有限，即假设不成立， 可知数列不存在其他项，所以项数的最大值为3，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简整理得，结合三角函数的性质求解即可 【详解】， 当时，， 所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有. 故答案为： 13. 在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号）和3个绿色珠子（编号），现取出4个珠子排成一列.如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有__________种. 【答案】12 【解析】 【分析】通过举例分析得到选取的球的颜色和编号的要求，从而得到有多少种选取的方式，再对其中一种选取结果进行排列，从而得到一种选取方式得到的排列数，由分步计算法则得到结果. 【详解】设编号为的蓝色珠子为，编号为的绿色珠子为， 当同一个颜色的珠子取出个数为3个时，例如：，无论怎么排列均无法满足相同颜色不相邻，舍去，所以取出的珠子中蓝色和绿色的个数均为2个， 当选取的蓝色和绿色珠子编号为两组相同编号时，例如：时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，舍去，所以取出的珠子一定为两个蓝色两个绿色珠子，且蓝色和绿色珠子只有一个编号相同，例如：， 所有取出情况如下：. 即共有种取出方式，排列例如：，相同编号只能在最前和最后， 一种选取方式下共有种排列方式，所以总的排列方式有种. 故答案为：12 14. 已知，对且都有成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式恒成立，构造函数知单调性，利用导数建立恒成立不等式，转化为在上恒成立，分类讨论结合二次函数的性质得解. 【详解】由，得，则， 设函数，则对且都有成立， 所以函数为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 若，，成立； 若，则或，解得； 当时，由二次函数性质知，不满足在上恒成立； 综上的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设的内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理和题目条件可得：；再结合特殊角的三角函数值即可求解. （2）先根据题目条件和特殊角的三角函数值求出；再利用诱导公式和两角和的正弦公式求出；最后利用正弦定理求出，结合图形可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可知：，即. 因为， 所以，整理可得：. 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 又因为， 所以. 所以. 由正弦定理，可得， 设边上的高为， 所以. 16. 某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为. （1）求小王能参加第三个模块的概率； （2）记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）“正难则反”求出前两个模块不合格的概率，即可求得结果. （2）由题意知，随机变量的可能取值为，分别求出概率即可列出分布列和期望. 【小问1详解】 设“小王能参加第三个模块”， 所以. 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为. ， ， ， . 用表格表示的分布列，如表所示： 0 1 2 3 所以. 17. 已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 【答案】（1） 当时，函数的零点个数是2； 当或时，函数的零点个数是1； 当时，函数的零点个数是0. （2） 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以成立，所以， 要证的图象恒在的图象上方， 即证在上恒成立， 又，只需证， 故只需证， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故， 所以当时，，所以恒成立， 所以的图象恒在的图象上方. 【解析】 【分析】（1）令，将问题转化为直线与曲线的交点个数问题，求得函数的增减区间和最值，再对a分情况讨论即可得到结果； （2）令，求导计算得到，要证的图象恒在的图象上方，只需证，求导得到，结论即可证明. 【小问1详解】 令，得， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点. 故当时，函数的零点个数是2； 当或时，函数的零点个数是1； 当时，函数的零点个数是0. 【小问2详解】 略 18. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，平面平面. （1）求证：为棱的中点； （2）当三棱锥的体积最大时， （i）求线段的长； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意找到垂直于内的两条相交直线，证得，再由面面垂直证得平面，得.再由线面平行的性质证得，进而得到四边形是平行四边形，再利用中位线性质即可得证. （2）由（1）知平面，再利用等体积可得时，三棱锥的体积最大.如图建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再根据求面面成角余弦值的公式即可求解. 【小问1详解】 证明：设的中点为，过作，垂足为， 连接，如图， 因为，所以， 因为是直三棱柱，所以， ，所以， 又，所以. 因为平面平面，平面平面，，，所以平面. 因此. 又，平面平面，所以， 因此四边形是平行四边形，所以. 又，因为是的中点，所以是的中点， 于是有，所以， 所以是棱中点. 【小问2详解】 （i）由（1）知平面，则， 设，则， 所以， 当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时，. （ii）由（i）知， 故以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有， ， 设平面的一个法向量为， 则有取， 设平面的一个法向量为， 则有取， 设平面与平面的夹角为， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）是，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解的方程； （2）（i）由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，联立直线的方程与抛物线的方程，消去整理得，根据韦达定理及平行四边形的性质表示出点的坐标，将其代入抛物线方程中，得到和的关系，代入直线方程即可求解； （ii）易知，轴. 设，不妨设，因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数，利用斜率公式化简整理可得.利用点到直线的距离公式及弦长公式、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为点到点的距离和点到直线的距离相等， 所以由抛物线的定义可知：动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即. 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）直线恒过定点，理由如下： 由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，如图， 联立方程组，消去整理得， 则，，. 因为四边形是平行四边形， 则， 所以， 代入中，得，化简整理得， 所以直线， 所以直线过定点. （ii）因为的方程为，所以，所以轴，如图所示. 设，不妨设. 因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数， 所以，即，整理得， 所以. 则直线，即， 点到直线的距离为， ， 所以， 由，可得， 令，则， 所以， 则，令，得， 当时，关于单调递增；当时，关于单调递减， 所以当时，取得最大值， 因此，四边形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆相交于两点，则弦的长等于（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ） A. B. C. D. 6. 设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，数列是等差数列，且，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 8. 已知等边的边长为2，点分别满足与交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为1和2，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为2 B. 该圆台的侧面积为 C. 该圆台的体积为 D. 存在球与圆台的两个底面和侧面都相切 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 11. 对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（ ） A. 若，则数列是“数列” B. 若，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列也是“数列” D. 若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值是__________. 13. 在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号）和3个绿色珠子（编号），现取出4个珠子排成一列.如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有__________种. 14. 已知，对且都有成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设的内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求边上的高. 16. 某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为. （1）求小王能参加第三个模块的概率； （2）记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望. 17. 已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 18. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，平面平面. （1）求证：为棱的中点； （2）当三棱锥的体积最大时， （i）求线段的长； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $