精品解析：四川省成都市实验中学2025-2026学年八年级下学期半期作业反馈数学试题

2025-2026学年度（下期）半期作业反馈 八年级数学 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 数学不仅有严谨的逻辑，还有隐藏的艺术．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（ ） A. 25 B. 或5 C. 5 D. 7. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点．连接，将分成两个角，且．则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 10. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____． 11. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为_____． 12. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 三、解答题（48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 15. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称后得到的； （2）请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； （3）在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 17. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径（单位：）并制作统计图如图： 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？ 18. 在中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，点关于的对称点为点． （1）如图1，当点与点重合时，连接．求证：； （2）如图2，当点是中点时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，当，是直角三角形时，求的长． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，那么______． 20. 若关于x的分式方程 无解，则________ 21. 如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 23. 如图，在等腰中，，是三角形外部一点，，将绕点逆时针旋转到，连接，则面积的最小值为______． 二、解答题（共30分） 24. 某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． （1）A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ （2）设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 25. 在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 26. 在平行四边形中，，点为上一点，连接． （1）将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； （2）如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下期）半期作业反馈 八年级数学 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 数学不仅有严谨的逻辑，还有隐藏的艺术．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解： A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的变形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.等式左边是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； B.等式右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合要求，故此选项错误； C.等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确； D.等式左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误． 4. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得，  ∴不等式组为， 在数轴上表示为： 处画实心点向右，3处画空心圈向右， 即选项C符合题意． 5. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵ 点P在第四象限 ∴ 点P的横坐标为正，纵坐标为负 ∵ 点P到x轴的距离为 ∴ 点P纵坐标的绝对值为，即纵坐标为 ∵ 点P到y轴的距离为 ∴ 点P横坐标的绝对值为，即横坐标为 ∴ 点P的坐标为． 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（ ） A. 25 B. 或5 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题未明确给出的两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为4和3，未明确哪条边是斜边，∴分两种情况讨论： ① 当4为斜边，3为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； ② 当3和4都为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； 因此第三边长为或5． 7. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点．连接，将分成两个角，且．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，根据角的数量关系和三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故答案为：． 10. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】多边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的每一个内角都等于160°，得内角和为160°n，由此得出多边形的边数． 【详解】解：设多边形为n边形，由题意，得 （n﹣2）•180°＝160°n， 解得n＝18， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及顶点数和内角个数之间的关系，找到等量关系是解决问题的关键. 11. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用直线的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，直线在直线的下方， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题； 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为． 三、解答题（48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，取公共部分即为不等式组的解集； （3）先去分母化为整式方程求解，再检验即可得到结果． 【小问1详解】 解：    ； 【小问2详解】 解：   解不等式①得， 解不等式②得，  不等式组的解集为； 【小问3详解】 解：  原方程整理得  方程两边同乘 得： 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 15. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，上式． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称后得到的； （2）请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； （3）在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点关于轴对称后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后得到的点，即可得到的坐标，再顺次连接即可作图； （3）作点关于轴对称的点，则连接，与轴交点即为点，则，由两点之间线段最短可得此时最小，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴对称的点，则，连接，与轴交点即为点， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即为． 17. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径（单位：）并制作统计图如图： 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？ 【答案】（1），， （2）甲 （3）个 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、方差、样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）先求出甲、乙的方差，然后根据方差越小，苹果大小越整齐求解即可； （3）用样本估计整体即可解答． 【小问1详解】 解：通过观察甲的数据可知出现的次数最多，故众数； 对乙的个数据进行排序为：，，，，，，，，，，出现最多的次数为76， 所以，中位数为，众数． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：， ， ，， ∵， ∴甲的方差比乙的方差小． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个）． 答：大果约个． 18. 在中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，点关于的对称点为点． （1）如图1，当点与点重合时，连接．求证：； （2）如图2，当点是中点时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，当，是直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点N关于的对称点为点P， ∴，， ∵点P和点A重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接， ∵点是中点，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）或6 【解析】 【分析】（1）根据对称性得出，可证明，根据等角对等边得出，从而得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，证明是等边三角形，得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，根据翻折的性质得出，，进而求出，根据三线合一的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （3）当时，结合（2）中结论可求出，则，在中，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理求解即可；当时，设与相交于点O，根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可得出，则可求出，，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求出的长度，可求出此时，而当从B运动到C的过程中，，得出不可能等于，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， 由（2）知：四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，设与相交于点O， ∵，，，， ∴， 又， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 此时，则N和C重合，如图， ∴， 当从B运动到C的过程中，， ∴不可能等于， 综上，的长为或6． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，那么______． 【答案】100 【解析】 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入得：． 20. 若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 21. 如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设铅笔长为， 根据题意得， 整理得， 解得， 故铅笔长为． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“2→3变换点”的定义，可求解点的坐标；根据点在一次函数上，设出坐标，由此可得的坐标，再根据垂直的条件联立求解即可． 【详解】解：①已知点的逆变换点为，逆变换是先向左平移个单位，再向下平移个单位． 设点的坐标为，根据逆变换规则可得： ， ， 所以点的坐标为． ②设点的坐标为， 因为点在一次函数的图象上， 所以， 点经过“变换”后得到点的坐标为， 将代入可得的坐标为， 已知过点与点的直线与直线垂直， 直线的斜率为，则过点与点的直线斜率为， 根据斜率公式，可得，即， 得：。解得：， 将代入的坐标中， 可得的横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 23. 如图，在等腰中，，是三角形外部一点，，将绕点逆时针旋转到，连接，则面积的最小值为______． 【答案】# 【解析】 【分析】过点M作，使，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，其中h为点C到直线的距离，然后结合图形得出当 A、C、M三点共线时，点C到直线的距离h最小，为，结合面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点M作，使，连接， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴ ， ， ，， ， ∴， 其中h为点C到直线的距离 ∵直线且， ∴A到直线的距离为2， 在等腰中， ，则 ， 当 A、C、M三点共线时，点C到直线的距离h最小，为 ∴的最小值 ． 二、解答题（共30分） 24. 某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． （1）A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ （2）设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】（1）A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 （2）最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【解析】 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【小问1详解】 解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得    化简得  ，即    解得   经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则    答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得   解不等式①得：， 解不等式②得：  ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 25. 在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 或． （3）或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，设．再分、、为对角线三种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可； （3）如图：过点A作直线，使得，易得，过D作交于点E，易得，则直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标．再利用平行线的性质、等角对等边可得，设点，然后利用两点间距离列方程求得a的值，可确定点E的坐标，即可确定点P的坐标；先说明可得，如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G，易得直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标， 设点，然后利用两点间距离列方程求得b的值，可确定点F的坐标，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为． 将点和点代入解析式，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，即． 将 代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，得，解得，即． 已知，设． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： ① 如图：当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ② 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ③ 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． 综上，点E的坐标为或 或． 【小问3详解】 解：如图：过点A作直线，使得，过D作交于点E， ∴， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴，解得：， ∴，即． 如图：∵， ∴，， ∴， ∴， 如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G， ， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标． 设点，则， ∵，， ∴，解得：， ∴，即． 综上，点的坐标或． 26. 在平行四边形中，，点为上一点，连接． （1）将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； （2）如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 【答案】（1）①；②8 （2） 【解析】 【分析】（1）①证明四边形是矩形，得到；由折叠的性质可得，由勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； ②连接，由平行四边形的性质得到，，则；由折叠的性质可得，，则可证明；证明，得到，则可证明，得到，则； （2）过点F作于点K，连接，可求出，；则可得到，；由折叠的性质可得，，；过点F作于点R，延长交于点L，可证明，设，则，由勾股定理得，可得，则，；过点G作于点P，可得，；证明四边形是矩形，得到，则；设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点F作于点K，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∴， ∴； 由折叠的性质可得，，； 如图所示，过点F作于点R，延长交于点L， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴，； 如图所示，过点G作于点P， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $