云南迪庆州藏文中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 立足高二学情，以传统文化宣传统计、生产优良率等真实情境为载体，融合数学眼光（如函数性质判断）、思维（如概率推理）与语言（如回归方程表达）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|不等式解法、集合运算、函数奇偶性与单调性等|基础概念辨析，如第3题函数性质判断| |多选题|3题/15分|命题否定、三角函数性质、回归分析|多维度能力考查，如第11题结合数据判断相关性| |填空题|3题/15分|正态分布、二项式系数、随机变量期望|核心公式应用，如第13题二项式展开系数| |解答题|5题/80分|全概率公式、解三角形、立体几何、统计回归与独立性检验|情境化综合应用，如第19题传统文化宣传数据的回归分析与独立性检验，体现数据观念|

2026年高二年级春季学期期中考试双向细目表 整体难度：较易 考试范围：等式与不等式,集合与常用逻辑用语,函数与导数,计数原理与概率统计,复数,三角函数与解三角形,空间向量与立体几何 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 10 较易 4 适中 5 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.95 解不含参数的一元二次不等式 2 0.95 交集的概念及运算 3 0.92 函数奇偶性的定义与判断；根据解析式直接判断函数的单调性 4 0.92 数字排列问题 5 0.94 由离散型随机变量的均值求参数；利用随机变量分布列的性质解题 6 0.85 求超几何分布的概率；计算古典概型问题的概率；组合数的计算 7 0.85 计算条件概率 8 0.85 复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限 二、多选题 9 0.94 判断命题的充分不必要条件；特称命题的否定及其真假判断；充要条件的证明；判断全称命题的真假 10 0.94 求sinx型三角函数的单调性；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式 11 0.72 判断正、负相关；根据回归方程求原数据中的值；根据样本中心点求参数 三、填空题 12 0.94 指定区间的概率 13 0.95 求指定项的系数 14 0.9 求离散型随机变量的均值；二项分布的均值 四、解答题 15 0.8 利用全概率公式求概率；利用贝叶斯公式求概率 16 0.68 独立事件的乘法公式；写出简单离散型随机变量分布列；利用对立事件的概率公式求概率 17 0.78 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用 18 0.66 锥体体积的有关计算；求线面角；证明线面平行 19 0.65 求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；求回归直线方程；独立性检验解决实际问题 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 等式与不等式 1 2 集合与常用逻辑用语 2,9 3 函数与导数 3 4 计数原理与概率统计 4,5,6,7,11,12,13,14,15,16,19 5 复数 8 6 三角函数与解三角形 10,17 7 空间向量与立体几何 18 难度分布 容易 较易 适中 52.63 21.05 26.32 学科网（北京）股份有限公司 $迪庆州藏文中学2026年春季学期高二年级数学期中考试 答题卡 姓名： 班级： 条码粘贴处 考场： (正面朝上贴在此虚线框内) 座位号： 准考证号 峡考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确[■]错误【-]][] 选择题（请用2B铅笔填涂） （1-8小题，每小题5分， 共40分，9-11小题每小 题6分，共18分) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] Ic] [C] [c] [c] [C] [C] [C] [c] [C] [c] [c] [D][D][D] [D][D] [D] [D][D] [D] [D] [D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 15题(13分) 16题(15分) 17题(15分) 18题(17分) E 19题(17分) 秘密★启用前 迪庆州藏文中学2025~2026学年（下） 2027届高二年级 期中考试 数学 试题卷 （全卷19个大题，共24个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。 2． 考试结束后，请将答题卡交回。 3.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（   ） A．24 B．12 C．36 D．6 5．设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 6．一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知复数满足，那么复数对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分不必要条件 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11．已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（   ） x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A．m＝5 B．当x＝13时， C．变量x和y呈负相关 D．该经验回归直线必过点（9,5） 三、填空题 12．已知随机变量，且，则___________． 13．的展开式中的系数为________. 14．设随机变量，则___________． 四、解答题 15．甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 16．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 17．在△ABC中，角的对边分别为，若，，. (1)求边和角； (2)求△ABC的面积. 18．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 19．中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迪庆州藏文中学2025~2026学年（下） 2027届高二年级 期中考试 数学 参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C B B D AD ACD 题号 11 答案 ABC 1．B 【难度】0.95 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 2．C 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】因为是由既属于又属于的元素所组成的集合，所以. 3．C 【难度】0.92 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数基本性质结合基本初等函数的性质求解 【详解】A项，的定义域为，该函数在定义域上不具有单调性，A错误； B项，在定义域上为非奇非偶函数，B错误； C项，为幂函数，在定义域上单调递增且， 所以为奇函数，C正确； D项，，故为偶函数，D错误. 4．A 【难度】0.92 【知识点】数字排列问题 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为从1，2，3，4四个数字中取出三个数字的排列的个数即个， 5．C 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 6．B 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 7．B 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【详解】因为，， 所以. 8．D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】， 复数对应的点为， 复数对应的点在第四象限. 9．AD 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充要条件的证明、判断全称命题的真假、特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；举出反例即可判断BC；根据充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“，故A正确； 对于B，当时，满足，但无意义， 所以充分性不成立，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则， 当时，满足， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD. 10．ACD 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 11．ABC 【难度】0.72 【知识点】判断正、负相关、根据回归方程求原数据中的值、根据样本中心点求参数 【详解】对于A，因为变量x和y满足经验回归方程， 又，，所以，解得m＝5，故A正确； 对于B，因为变量x和y满足经验回归方程，当x＝13时，，故B正确； 对于C，因为变量x和y满足经验回归方程，k＝－0.78＜0，所以变量x和y呈负相关，故C正确； 对于D，由选项A知，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点（9，5），故D错误． 12．0.14/ 【难度】0.94 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】依题意，得． 所以． 故答案为：0.14． 13． 【难度】0.95 【知识点】求指定项的系数 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 14．1 【难度】0.9 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【详解】因为随机变量服从二项分布，其中， 所以由二项分布的期望公式可得：. 15．(1)0.915 (2) 【难度】0.8 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 16．(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【难度】0.68 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 17．(1)或； (2)或. 【难度】0.78 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）直接用正弦定理解三角形可得； （2）由（1）解析中两种情况分别求面积可得. 【详解】（1）因为中，，，，由正弦定理得， 又因为，所以或. 当时，， ， 由正弦定理； 当时，， ， 由正弦定理； 所以或. （2）由（1）知或. 当时，，所以三角形面积； 当时，，所以三角形面积； 所以或. 18．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求线面角 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 19．(1)； (2)（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii） 0 1 2 3 . 【难度】0.65 【知识点】求回归直线方程、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）结合题干和最小二乘法求解回归方程即可； （2）（i）计算独立性检验的统计量，对比题干显著水平做出判断； （ii）根据分层抽样确定来自青年调查表的份数，列举随机变量的可能取值，求解对应概率，进而列出分布列并求解期望. 【详解】（1）根据题干可知， ，，， ， ， ， ， 所以关于的回归方程为： （2）（i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关； 由题知显著性水平：，即； 统计量： ， 因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份， , . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $