25.1 变量与函数-课件2025-2026学年沪教版八年级数学下册

第25章 一次函数 25.1 变量与函数 变量与函数 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 课堂引入 数量 数值 单位 匀速行驶的汽车车速为 一个圆的半径为 80 km/h r cm 汽车以 的速度匀速行驶，它行驶的路程 （km）和行驶的时间 （h）的关系是 s = 80t . 一个半径为 （cm）的圆的周长 （cm）和面积 （cm2）都可以用 r 表示，关系是 C = 2πr，S = πr2. v = 80km/h s t r C S 2 课堂引入 数量 数值 单位 匀速行驶的汽车车速为 一个圆的半径为 80 km/h r cm 汽车以 的速度匀速行驶，它行驶的路程 （km）和行驶的时间 （h）的关系是 s = 80t . 一个半径为 （cm）的圆的周长 （cm）和面积 （cm2）都可以用 r 表示，关系是 C = 2πr，S = πr2. v = 80km/h s t r C S 在考察某个问题的过程中（如以上的引例中）， 保持数值不变的量称为 （如：速度 v = 80km/h，圆周率π）； 可以取不同数值的量称为 （如：时间 t 、路程 s 、半径 r 、周长 C 和面积 S ）. 常量 变量 3 新知讲授 关系式 s = 80t （1） C = 2πr （2） S = πr2 （3） 变量 t r r 变量 s C S ×80 ×2π 先平方，再乘以π 依赖关系 中国清代数学家 李善兰（1811－1882） 17世纪中期，莱布尼茨最早用 function 一词表示函数的意义. 1859年，李善兰与英国传教士伟烈亚力合译《代微积拾级》，首次将西方“ function”一词译为“函数”. “函”通“含”，李善兰认为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 新知讲授 关系式 s = 80t （1） C = 2πr （2） S = πr2 （3） 变量 t r r 变量 s C S ×80 ×2π 先平方，再乘以π 依赖关系 函数的概念 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 函数的表达式 x称为自变量， 有其取值范围. 如果当 x=a 时 y =b， 那么称b为函数在x=a时相应的函数值. y = 80x y = 2πx y = πx2 使用函数的表达式可以表示两个变量的依赖关系，表达式常可以用来刻画函数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 函数的表达式 等号左边是 y ，而右边是关于 x 的代数式的等式称为函数的表达式. 函数的表达式常用于刻画函数. 例题讲解 函数的表示方法 例题讲解 设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化. 请问：y是不是x的函数？为什么？ x/℃ y/℉ －10、0、25、 35、100… 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 分析 ? 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 例题讲解 设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化. 请问：y是不是x的函数？为什么？ x/℃ y/℉ －10、0、25、 35、100… 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 分析 ? 当 x＝－10时， ； 14 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 例题讲解 设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化. 请问：y是不是x的函数？为什么？ x/℃ y/℉ －10、0、25、 35、100… 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 分析 当 x＝0时， ； 14 、32 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 例题讲解 设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化. 请问：y是不是x的函数？为什么？ x/℃ y/℉ －10、0、25、 35、100… 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 分析 14 、32 、77、 95、212… 当 x＝25、35 和 100 时，y＝77、95 和 212. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 例题讲解 设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化. 请问： y是不是x的函数？为什么？ x /℃ －10 0 25 35 100 … y /℉ 14 32 77 95 212 … 解 在摄氏度转化为华氏度的过程中，y随着x的变化而变化；当x取定一个值时，y的值随之唯一确定（见下表），故 y 是 x 的函数， 是该函数的表达式. x/℃ y/℉ －10、0、25、 35、100… 14 、32 、77、 95、212… 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 例题讲解 函数的表示方法 函数的表达式 等号左边是 y ，而右边是关于 x 的代数式的等式称为函数的表达式. 函数的表达式常用于刻画函数. 列 表 列表可以展示自变量的值和相应的函数值之间的依赖关系. [德] 华伦·海特 [瑞典] 安德斯·摄尔修斯 1714年，华伦·海特创立华氏温标.以氯化铵和冰的混合物为0℉，人体体温为96℉，其间等分为96份，每份为1℉. 1724年修订华氏温标，以冰水混合物为32℉，以水的沸点为212℉. 1740年，安德斯·摄尔修斯创立摄氏温标. 以水的沸点为0℃，以冰水 混合物为100℃，其间等分为100份， 每份1℃. 1745年，对摄氏温标进行调整，将冰点和沸点的度数颠倒，沿用至今. 拓展阅读 x/℃ y/℉ 摄氏温标和华氏温标 ？ （1）已知函数 ，其自变量 x 的取值范围是什么？ （2）一个长方形的一边为 2 cm，周长为 x cm，面积为 y cm2，则 y 关于 x 的 函数表达式是什么？自变量 x 的取值范围是什么？ 例题讲解 例 2 函数表达式 的等号右边是一个二次根式，二次根式的被开方数必须是非负的,因此，自变量x≥0. 因为长方形的周长等于长与宽之和的2倍，而面积等于长与宽的积. 其中一边为2，可以用周长 x 表示另一边的长，进而得到面积的表达式. 此时，必须保证长方形的相邻两边长度均为正数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 （1）已知函数 ，其自变量 x 的取值范围是什么？ （2）一个长方形的一边为 2 cm，周长为 x cm，面积为 y cm2，则 y 关于 x 的 函数表达式是什么？自变量 x 的取值范围是什么？ 例题讲解 例 2 （1）因为被开方数 x 取负实数时， 没有意义，函数 的自变量 x 只能取非负实数，因此，其自变量 x 的取值范围是 x ≥0. （2）根据题意，长方形的一边为 2 cm，则另一边为 cm，因此，长方形的面积等于 cm2 .于是，y 关于 x 的函数的表达式是 . 长方形要符合实际意义，因此，自变量 x 的取值范围是 x ＞ 4. 解 自变量 x 的取值范围要保证函数的表达式有意义，还必须符合问题的实际意义. 根据以上问题，请总结：自变量 x 的取值范围会受哪些因素的影响？ 思考 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. 请根据数据曲线填写以下时刻的气温： 问题探究 时刻 t /时 3 6 9 12 15 18 21 气温 T /℃ 当时刻t变化时， 取 t＝a时，所对应的气温为 T＝b， 将点(a, b)标记在平面直角坐标系上，就得到了此图像. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 问题探究 学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. 请根据数据曲线填写以下时刻的气温： 时刻 t /时 3 6 9 12 15 18 21 气温 T /℃ －3 －1.5 1 3.3 4.5 2.7 0 A B C D 当时刻t变化时， 取 t＝a时，所对应的气温为 T＝b， 将点(a, b)标记在平面直角坐标系上，就得到了此图像. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 那么，在以上变化过程中， 变量 t 是否为变量 T 的函数？ 在变化过程中有两个变量t 和T. 当t在0≤t≤24的范围内变化时，T 随着 t的变化而变化，当 t 的值确定时， T 的值也唯一确定，因此，变量 T 是变量 t 的函数. 问题探究 学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. （1）如何选取两个变量， 使得其中一个变量是 另一个变量的函数？ 当 T 的值确定时，变量 t 的值并不唯一确定. 比如，当取 T＝0 时，就对应着两个不同时刻 t ＝8 和 t ＝21， 因此，时刻 t 不是气温 T 的函数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 问题探究 学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. （1）如何选取两个变量， 使得其中一个变量是 另一个变量的函数？ 在此变化过程中，有两个 变量，分别是时刻 t 和气温 T . 根据题意，t 时的气温为 T ℃，当时刻 t 变化时，相应的气温 T 也随之变化；当时刻 t 确定时，气温 T 也随之唯一确定，因此，T 是 t 的函数. 但气温 T 确定时，时刻 t 并不是唯一确定的；当气温 T ＝0时，不能唯一确定时刻 t 的值. 因此，t 不是 T 的函数. 答 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 图 像 x 在取值范围内任取一个数 a，记b为当x＝a时的函数值，P(a,b)为平面直角坐标系xOy中的一个点，由所有这样的点组成的图形，称为这个函数的图像. 图像可以直观地表示函数. 例题讲解 函数的表示方法 函数的表达式 等号左边是 y ，而右边是关于 x 的代数式的等式称为函数的表达式. 函数的表达式常用于刻画函数. 列 表 列表可以展示自变量的值和相应的函数值之间的依赖关系. 问题探究 学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. （2）从以上气温关于时 刻的函数图像中， 你能够获取哪些冬 至日的气象信息？ 当 t 从0变化到24的 过程中，气温 T 先下降、 再上升，然后又再次下降. 当0 ≤t≤ 3时，T 随 t 的增大而减小；气温逐渐下降，直到 t＝3时，到达当日的最低气温－3℃； 当3≤t≤14时，T 随 t 的增大而增大；气温逐渐上升，直到 t＝14时，到达当日的最高气温5℃； 当14≤t≤24时，T 随 t 的增大而减小；气温再次下降. 最小值 最大值 T 随 t 的增大而增大 T 随 t 的增大而减小 此处最低气温的值被称为该函数的最小值. 此处最高气温的值被称为该函数的最大值. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 24 问题探究 函数的三种表示方法各有怎样的特点？ 函数的三种表示方法 优点 局限 函数的表达式 列表 图像 准确表示自变量和函数值之间的依赖关系； 使用方便、直观、精确； 直观展示出函数的整体面貌； 通过图像能呈现函数的重要性质（如最大、小值和变化趋势） 不够直观； 可能找不到表达式 不够完整； 难以呈现变化趋势 不够精确 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 25 函数的表达式 列 表 图 像 函数的三种表示方法 函数的概念 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量. 课堂小结 回顾本节课的收获 常量 变量 函数 结束语 函数是数学的灵魂 . —— 菲利克斯·克莱因（数学家） 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 27 Lavf58.46.101 $