25.2 第2课时 正比例函数的图像（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

25.2 第2课时 正比例函数的图像 第二十五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握函数图像的画法：列表、描点、连线； 掌握正比例函数图像的画法，由两点确定一条直线； 初步感知正比例函数图像的性质与比例系数的关系． 画图引入 正比例函数的图像 01 函数的图像 例1 已知正比例函数y=2x，请按下列步骤在直角坐标系中画出函数图像. (1)列表：取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y.  x … -2 -   -1 -  0   1   2 … y=2x … -4 -3 -2 -1 0 … 1 2 3 4 (2)描点：分别以所取x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐 标，描出这些坐标所对应的各点. (3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑线连接起来. 【问题】表格中的数据有何规律？这些点的排列有何规律？ 【点睛】表格中当x取互为相反数时，函数值也互为相反数； 这些点的排列成一条直线.这条直线记作直线y=2x. 新知探究 正比例函数的图像 01 函数的图像 已知正比例函数y=2x，请按下列步骤在直角坐标系中画出函数图像. (1)列表：取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y.  x … -2 -   -1 -  0   1   2 … y=2x … -4 -3 -2 -1 0 … 1 2 3 4 【问题2】在所画的直线上任取一点，检测它的坐标是否满足表达式y=2x? 【问题3】任取一对满足表达式的数对（x、y）,检验点（x,y）在不在所画的直线y=2x上？ 若x=1点（1）在直线y=2x上. x=-2.5 【点睛】直线y=2x上的点都满足表达式y=2x； 满足表达式y=2x的点都在直线y=2x上. 新知探究 正比例函数的图像 01 函数的图像 例2 画函数y=-2x的图像. (1)列表：取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y.  x … -2 -   -1 -  0   1   2 … y= 2x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=-2x … … -1 -2 -3 -4 (2)描点： (3)连线： 4 3 2 1 0 思考：1.函数y=-2x的图像是什么形状？ 2.观察表格与图像，你发现什么规律？ 【点睛】函数y=-2x上的图像也是一条直线； 当x取相同值时，函数y=2x和y=-2x的函数值互为相反数；直线y=2x和直线y=-2x关于x轴对称，也关于y轴对称. 直线y=2x 直线y=-2x 新知探究 正比例函数的图像 比较函数y=2x与y=-2x的图像，有什么异同点？有什么关联？ 相同点：1.函数y=2x和y=-2x的图像都是直线； 2.两条直线都经过原点； 不同点：直线y=2x经过一、三象限； 直线y=-2x经过二、四象限； 关联点：两条直线关于y轴成轴对称. 直线y=2x 直线y=-2x 新知探究 正比例函数的图像 02 核心知识点 正比例函数y=kx(k ≠0 )的图像是一条经过原点的_______，这条直线称为_________. 直线 直线y=kx 我们知道，两点确定一条直线.例如，函数y=2x 的图像，可以由原点 ______和点______确定；函数 y=-2x 的图像可以由原点______和点_______确定. (0,0) (1,2) (0,0) (1,-2) 所以画函数y=kx 的图像一般只需要确定两个点，原点 ______和点______确定； (0,0) (1,k) 03 例题讲解 典例分析 例3 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像： （1）y=3x; (2)y=x; (3)y=x 正比例函数的图像 解：列表 x 0 1 y=3x y=x y=x 0 3 0 1 0 描点、连线 直线y=3x 直线y=x 直线y=x 三个函数的图像如图所示. 观察与比较，你有什么结论？ 典例分析 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像： （1）y=3x; (2)y=x; (3)y=x 正比例函数的图像 x 0 1 y=3x y=x y=x 0 3 0 1 0 直线y=3x 直线y=x 直线y=x 相同点：三个函数的图像都是经过一、三象限，且都经过原点的直线; 不同点：三条直线的“倾斜”度不同； 03 例题讲解 典例分析 例4在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像： （1）y=-2x; (2)y=-x; (3)y=x 正比例函数的图像 解：列表 x 0 1 2 y=-2x y=-x y=x 0 -2 0 -1 0 -1 描点、连线 直线y=-2x 直线y=-x 直线y=x 三个函数的图像如图所示. 【点睛】三个函数的图像都是经过二、四象限，且都经过原点的直线; 变式练习 题型1：比例系数符号不同 正比例函数的图像 1. 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两个函数的图像： (1)y=4x （2）y=x 解：列表 描点、连线 三个函数的图像如图所示. x -4 0 1 y=4x y=x 0 4 0 1 直线y=4x 直线y=x 【点睛】（1）两个函数的图像都经过原点； （2）函数y=4x图像经过一、三象限，图像较“陡”， 函数y=x图像经过二、四象限，图像较“平缓”. 变式练习 题型2：比例系数符号互为负倒数 正比例函数的图像 2. 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两个函数的图像： (1)y=-3x （2）y=x 解：列表 描点、连线 三个函数的图像如图所示. x -3 0 1 y=-3x y=x 0 -3 0 -1 直线y=-3x 直线y=x 【点睛】比例系数互为负倒数的两条直线互相垂直. 变式练习 题型3：点在直线上的含义 正比例函数的图像 3. 若函数y=kx(k≠0)的图像经过点A(－，5) ,请写出该函数的表达式. 【分析】函数的图像经过某点，即该点的坐标满足函数的表达式． 【点睛】点在直线上与直线经过某点含义相同,意思都是点的坐标满足函数的表达式. 【解析】解：由题意，得 5=－ ∴k=-10 ∴y=-10x 变式练习 题型3：点在直线上的含义 正比例函数的图像 4. 设点(a，b)是正比例函数y=－x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（    ）． A．4a+3b=0 B．4a-3b=0 C．3a+4b=0 D．3a-4b=0 【分析】点在函数的图像上，即该点的坐标满足函数的表达式． 【点睛】点在直线上与直线经过某点含义相同,意思都是点的坐标满足函数的表达式. 【解析】解：由题意，得 b=－ ∴4b=-3a ∴3a+4b=0 所以选C C 拓展提升 正比例函数的图像 例3 如图，三个正比例函数的图像分别对应的表达式是①y=ax; ②y=bx;③y=cx, 则 a、b、c的大小关系是( )。 (A)a>b>c (B)c>b>a (C)b>a>c (D)b>c>a 【分析】由三条直线的位置可知a、b都是正数，c是负数； 由②的直线较为“陡峭”，可知b的绝对值较大. 所以b>a>c, 所以选 C. 【点睛】比例系数K不仅决定了函数图像经过的象限，还决定了直线的倾斜程度. 拓展提升 正比例函数的图像 例4 如图，已知点A(m,－2m+2) 在正比例函数：y=－x的图像上，过点A 作AB⏊ x 轴交x 轴于点B. (1)求A点坐标； (2)将A点绕着O点逆时针旋转90至A′点，求直线OA′的表达式子. 【解析】(1)因为A点(m,－2m+2) 在函数y=－x的图像上， 所以，－２ｍ＋２＝－ｍ 解之，得ｍ＝４， 所以A（４，－6） (2)由旋转可知A‘点坐标为（6，4） 设OA’的表达式为y=kx, 由题意得4=6k 所以k= 所以直线OA‘的表达式为y=x. 【点睛】比例系数互为负倒数的两条直线互相垂直. 课堂小结 正比例函数 的图像 一条经过原点的直线 画函数的图像 比例系数的作用 点在直线上的含义 当场反馈 1. 画正比例函数y=2x 的图像，常过点________和_________作直线. 正比例函数的图像 【分析】正比例函数y=kx的图像是一条经过原点的直线. （0，0） （1，2） 当场反馈 ２. 经过以下一组点可以画出函数y=2x 图像的是( ) A. (0,0) 和(2,1) B. (1,2) 和(-1,-2) C. (1,2) 和(2,1) D. (-1,2)和(1,2) 正比例函数的图像 【分析】点在直线上与直线经过某点含义相同,意思都是点的坐标满足函数的表达式. 将各点坐标代入表达式检验即可求解. 经过检验答案为B B 当场反馈 3. 已知某正比例函数的图像经过点(-1,2). (1)求此正比例函数的表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图像； (3)点(2,4)是否在此函数图像上? (4)若这个图像还经过点A(a,8), 求点A 的坐标。 正比例函数的图像 【解析】(1)设其表达式为y=kx. 根据题意，-k=2, 解得 k= ∴y=-2x (2）过（0，0）和（-1，2）画直线； (3)把x=2代入，得y=-4,所以（2，4）不在此函数图像上； (4)由题意得，8=-2a ∴a=-4 ∴A(-4,8) 拓展提升 4. 如图，正方形ABCD的边长为2,点B、C 分别在直线y=2x,y=kx 上，点A、D 在x 轴上，k的值为_______. 正比例函数的图像 【解析】由正方形边长为2，所以B点纵坐标是2，把y=2代入y=2x, ∴2=2x ∴x=1 ∴B(1,2) ∴C(3,2) ∵点C（3，2）在函数y=kx图像上， ∴2=3k ∴k=. 【分析】直线y=2x经过B点,意思是B点的坐标满足函数y=2x表达式.点C在直线y=kx上，意思是C点坐标满足表达式y=kx. 感谢聆听！ $