2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题2 一次与二次方程

2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题2 一次与二次方程 一、中考中的“一次方程” 1． 已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为　 　. 2．解方程组： 3．我国古代《算法统宗》里有这样的记载：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多六客，一房八客一房空.”后两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房.若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是(　　) A． B． C． D． 4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 5．某校九（1）班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 6．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 二、中考中的“一元二次方程” 7．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 8．若是一元二次方程的一个根，则（　　） A． B．4 C． D．2 9．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是(　　) A． B． C． D． 10．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是（　　） A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864 C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864 13．若，是方程的两个根，则　 　． 14．若关于x的一元二次方程 有实数根，则最小整数c =　 　. 15．若m 是方程 的较大根，求 的值. 16．若a，b 是方程 的两个根，则 的值等于　 　. 17．使得方程有实数根的最大的整数　 　． 18． 解方程：． 19．在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： （1）小颖的解答过程从第　 　步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 20． 解方程： 小江同学： 解一元二次方程 时，小江同学的解法如图所示： （1）你认为 是原方程的解吗?请检验(写出检验过程)： （2）请选择合适的方法解原方程． 21．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则。 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得。 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。 22．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）． 23．利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份． 素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为 份；若设降价元份，则平均每天的销售量为 份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 答案解析部分 1．【答案】- 1 【解析】【解答】解：把x=1代入原方程，得：3-a+4a=0， 解得：a=-1 故答案为：-1. 【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0，进而解关于a的方程，即可求得a的值。 2．【答案】解： ①－②×5得4x-15x=3-25， 解得x=2， 把x=2代入①得8-5y=3， 解得y=1， ∴方程组的解为. 【解析】【分析】先根据①－②×5消去y，求出x的值，然后代入①求出y的值解答即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得： 故选： A. 【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多六客，一房八客一房空”得出方程组即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： 故选：B. 【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设宿舍有x间，学生有y人，可列方程组 ， 故答案为：A . 【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组. 6．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台 【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“ 买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元 ”列出方程组，求解即可； （2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出结论. （1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误. B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，故B错误. C．最高次数为1，不是一元二次方程，故C错误. D.只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，故D正确. 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解得：． 故答案为：D． 【分析】根据是一元二次方程的一个根，列方程，解出即可得答案. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：A：，解得：x=0，不符合题意； B：，，无解，不符合题意； C：，，有两个不相等的实数根，符合题意； D：，，有两个相等的实数根，不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，逐项进行判断即可求出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x， 则 . 故答案为：A. 【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得： 方程为：． 故答案为：A． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据即可列方程. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可列方程为． 故答案为：A. 【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可． 13．【答案】1 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 故答案为：1. 【分析】利用根与系数的关系得到，，然后把所求代数式因式分解，再整体代入求解即可． 14．【答案】-2 【解析】【解答】解：解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 故答案为：-2 . 【分析】根据方程根的情况得到，代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可. 15．【答案】解： ∴由求根公式，得 ∵m是方程 的较大根， 【解析】【分析】根据公式法求出一元二次方程的根，得到方程的较大根，然后代入代数式计算即可. 16．【答案】11 【解析】【解答】解：∵ a，b 是方程 的两个根， ∴a+b=3，ab=-1， ∴， 故答案为：11 . 【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=-1，然后根据完全平方公式的变形得到，再整体代入解答即可. 17．【答案】2 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解. 18．【答案】解：， ， ， 解得． 【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一元二次方程即可． 19．【答案】（1）二 （2）解： 或 ∴， 【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步检验解答即可； （2）先移项，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方程即可． 20．【答案】（1）解：不是原方程的解， 当x=1时，左边=1× (1-2) =-1； 右边=3 ∵左边≠右边 ∴x=1 不是原方程的解 （2）解： x-1=2或x-1=-2 【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可； (2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可. 21．【答案】； 解： ∴ 【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上可以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是。因此在解方程的时候要格外注意这两点。 22．【答案】解：因为 所以 所以 代入①得( 所以 a-b=±1， 而a>b， 所以a-b=1，所以a=b+1， 在原方程中， 整理，并把(a=b+1代进去可知 两边加1并用平方和公式知： 所以-2≤2b+1≤2， 而b为整数， b=-1或0， 当b=-1时， a=0，符合题意， b=0，a=1符合题意， 所以(a，b)为(0，-1)或(1，0). 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值. 23．【答案】解：[任务]，； [任务]由题意得，设涨价元份， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元； [任务]∵尽快减少库存， ∴采取降价销售， ∴每天的利润为， ∵， ∴当时，每天的利润有最大值为元， 答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 【解析】【解答】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份）， 若设降价元份，则平均每天的销售量为（份）， 故答案为：，； 【分析】[任务1]根据题意列出代数式即可； [任务2]根据“利润=（售价-进价）×销售量”列方程计算即可得出答案； [任务3]根据“利润=（售价-进价）×销售量”可列出利润的关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $