精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年下学期八年级期中检测 数学

2025-2026学年下学期初二级期中检测 数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A. ，2， B. C. 5，12，13 D. 6，8，10 3. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则度数（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 7. 一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形，对角线与分别是3，4，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 10. 在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 12. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 13. 一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有__________米. 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是_______． 15. 使是整数的最小正整数________． 16. 如图，在中，D是的中点，，，__________． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在平行四边形中，，求证：． 19. 一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 21. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 22. 在四边形中，，，． （1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想． 23. 点，是不同边上的两点（，不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为，我们把的其他顶点（不妨设为D）与的距离称为这个点与的“关联距离”．比如：如图（1），点与关于对称，若，则点与的“关联距离”是． （1）如图（2），四边形是矩形，点关于的对称点恰好在上，若，，，则点与的“关联距离”______，点与的“关联距离”______； （2）如图（3），，点关于的对称点在的延长线上，若，，求点与的“关联距离”． 24. 若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数． （1）观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数： ①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，； （2）毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数； （3）直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度． 25. 如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； （3）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期初二级期中检测 数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故选：C． 2. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A. ，2， B. C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，是直角三角形，故此选项不符合题意， B．，不直角三角形，故此选项符合题意， C．，是直角三角形，故此选项不符合题意， D．，是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合正八边形各外角相等的性质，用外角和除以边数计算出单个外角的度数． 【详解】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等， 正八边形的每一个外角的度数为． 4. 在平行四边形中，，则度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．利用平行四边形的对角相等求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简以及加法和乘除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的性质和运算法则解答即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分且互相垂直的四边形才是菱形，故本选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，掌握基本判定定理是解此题的关键． 7. 一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即． 故选：C． 8. 如图，菱形，对角线与分别是3，4，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再利用等面积法建立等式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 9. 已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 10. 在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，将军饮马河原理，熟练掌握性质和原理是解题的关键．连接，证明转化得到，利用将军饮马原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得， 连接交于点F， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 12. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 13. 一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有__________米. 【答案】16 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是直角三角形，根据勾股定理可以求出树的折断部分长度，进而可以得到树的总长 【详解】大树在离地面6米，树的顶部落在离根部8米处，根据勾股定理，树折断部分长为10米，大树总长10米+6米=16米 故答案为16 【点睛】此题重点考查学生对直角三角形的理解，勾股定理是解题的关键 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到DE=AD=BC，然后根据三角形中位线的性质得到OE=CD，最后利用整体思想代入求解即可． 【详解】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO， ∴OE=CD， ∵△BCD的周长为18， ∴BD+DC+BC=18， ∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理． 15. 使是整数的最小正整数________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵是整数， ∴12n是一个完全平方数， 又∵12n=4×3n=22×3n， ∴n的最小正整数为3， 此时，==6. 故答案为3 【点睛】此题是将被开方数化成a2的形式，再运用求解. 16. 如图，在中，D是的中点，，，__________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理，完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过点C作于点E，设，分别在和中，可得，，再由D是的中点，可得，然后利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：33 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再运算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在平行四边形中，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到，，证明出即可得到． 【详解】略． 19. 一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 【答案】该正多边形边数为8，内角和为. 【解析】 【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理求出内角和即可． 【详解】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为， ， 解得， 即这个多边形的边数是：． 这个多边形的内角和是：． 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 21. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，根据已知可得，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：，， ，， 在中，，， ，， ， 是直角三角形， ； 【小问2详解】 解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ． 四边形的面积为． 22. 在四边形中，，，． （1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想． 【答案】（1） 如图，射线即为所求作； （2） 四边形是菱形，证明如下： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 点，是不同边上的两点（，不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为，我们把的其他顶点（不妨设为D）与的距离称为这个点与的“关联距离”．比如：如图（1），点与关于对称，若，则点与的“关联距离”是． （1）如图（2），四边形是矩形，点关于的对称点恰好在上，若，，，则点与的“关联距离”______，点与的“关联距离”______； （2）如图（3），，点关于的对称点在的延长线上，若，，求点与的“关联距离”． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由对称的性质得到，利用勾股定理求出的长，即可求出的长，再用勾股定理求即可． （2）过点作于点，连接，证明为等边三角形，得到，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴ ∵四边形为矩形， ∴，， ∴在中， ∴； ∴在中， ∴则点与的“关联距离”，点与的“关联距离”； 【小问2详解】 解：过点作于点，连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵点关于的对称点在的延长线上， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， 点与的“关联距离”． 24. 若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数． （1）观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数： ①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，； （2）毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数； （3）直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度． 【答案】（1）； （2） 解：∵，， ∴，， ∴，，是一组勾股数； （3）当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，． 【解析】 【分析】（1）利用勾股数解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理运算证明即可； （3）由题意可知，三角形的周长为：，三角形的面积为：，即，利用完全平方公式和勾股定理整理式子，得到，再分类讨论的取值情况结合完全平方公式运算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：这组勾股数是，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：， ∴，整理得， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 把代入可得： ， 把代入可得： ， 整理得：， ∵是正整数，是正整数， ①当时，则， ∴， ， 把代入可得： ， 因式分解可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； 当时，， 解得：，，； ②当时，则， ∴， 同理可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； ③当时，则， ∴， 同理可得：， 两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意； 综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，． 25. 如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； （3）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）能为等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得到，即可求出，由对称的性质可得到，即可求出，利用等腰三角形的性质求出度数，再由三角形内角和求解即可； （2）先分析出等腰三角形的顶角，设，用含的式子表示出和的度数，再通过建立方程求解即可； （3）连接，过点作交于点，利用勾股定理得到，利用正方形的性质和对称的性质证明，得到，推出，得到，即可得到三边关系． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵线段与关于射线对称， ∴， ∴ ∴在等腰中， ∴在中， 【小问2详解】 解：能成为等腰三角形，理由如下： ①由（1）可得： ∵ ∴ ∴不能为等腰三角形的顶角时， ②当为等腰三角形的顶角时， 则， 此时，与重合，不符合题意； ③当为等腰三角形的顶角时， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 解得：， ∴时，能为等腰三角形； 【小问3详解】 解：连接，过点作交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 设，由（2）同理可得：，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $