精品解析：云南昆明市云南大学附属中学2025-2026学年下学期期中考试 八年级 数学试卷

云大附中2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷 （本试卷共8道大题，19道小题；考试时间120分钟） 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号、考场号、座位号用碱素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清动，不要折叠、不要弄破、客观题修改时用橡皮擦干净、答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试纸束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共15个小题，每小题2分，共30分） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，4， C. 3，4，6 D. 1，3，4 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，若，则（ ） A. 110° B. 100° C. 70° D. 140° 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 8. 一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 11. 如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 二、填空题（本题共4小题，每题2分，共8分） 16. 函数的自变量的取值范围是____________． 17. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 18. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．当时，自变量的取值范围为______．   19. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 三、解答题 20. 计算：． 21. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为__________； （2）当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 23. 阅读材料：等式，，，它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： （1）填空：与__________互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为__________； （2）计算：． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． （1）求出直线的解析式； （2）如图，当的面积为9时，求点的坐标； 25. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的销售单价． （2）某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 26. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 27. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； （3）如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷 （本试卷共8道大题，19道小题；考试时间120分钟） 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号、考场号、座位号用碱素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清动，不要折叠、不要弄破、客观题修改时用橡皮擦干净、答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试纸束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共15个小题，每小题2分，共30分） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，4， C. 3，4，6 D. 1，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴1，4，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴3，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，3，4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关规则逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，在中，若，则（ ） A. 110° B. 100° C. 70° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 又， ， 故选A． 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故D符合题意． 7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180°=900°， 解得n=7， ∴这个多边形的边数是7， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 8. 一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式中k与b的几何意义，运用排除法即可完成解答． 【详解】由函数解析式知，它是一次函数，图象不过原点，故可排除A选项；又，图象从左往右是下降的，故可排除B选项；又，即图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，故可排除D选项，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数解析式中k与b的几何意义是解答此题的关键． 9. 一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用y＝x＋2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把P（m，4）代入y＝x＋2得m＋2＝4，解得m＝2， 所以P点坐标为（2，4）， 所以关于x，y的二元一次方程组的解是 故答案选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 10. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 11. 如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点E，先求得菱形的边长，再求得点D的坐标，根据菱形的性质，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：连接，交于点E， ∵点A，B的坐标分别是，， ∴菱形的边长， ∴， ∴点D的坐标是， 设点C的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，解得， ，解得， ∴点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用． 12. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 【详解】解：由题意得： ， 故， ， 点表示的数为， 点表示的数为， 点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 13. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 14. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 15. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每题2分，共8分） 16. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 17. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先推导出是等边三角形，再利用直角三角形30度角的性质，可得，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．当时，自变量的取值范围为______．   【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，当时，直线在直线的上方．根据函数图象结合B点坐标可得出结论． 【详解】解：观察图象可知，当时，． 故答案为：． 19. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 【答案】96 【解析】 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 21. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为__________； （2）当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； 【答案】（1） ①填表如下： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据函数图象获取信息得到答案即可； ②根据速度的计算公式计算即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可． 【小问1详解】 解：①张华的速度为：， 张华离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图象可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图象可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； ②由图像可得张华从文化广场返回家所用时间为：，文化广场到家的距离为：，故张华从文化广场返回家的速度为：； 【小问2详解】 解：当时，设张华离家的距离关于时间的函数解析式为，把代入得：， 解得：， ∴此时； 当时，； 当时，设张华离家的距离关于时间的函数解析式为，把，代入得：， 解得：， ∴此时； 综上，． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 23. 阅读材料：等式，，，它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： （1）填空：与__________互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为__________； （2）计算：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解即可； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴与互为有理化因式； ； 【小问2详解】 解： ． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． （1）求出直线的解析式； （2）如图，当的面积为9时，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，； 当时，， ∴或； 25. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的销售单价． （2）某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 【答案】（1）A、B两种型号的智能机器人的销售单价分别为12万元、9.5万元 （2）192.5万元 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买A型号智能机器人a台，利润为w，根据题意列出w与a的关系式，得出一次函数，然后根据一次函数的性质，求得w的最大值． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得， 解得， ∴A、B两种型号的智能机器人的销售单价分别为12万元、9.5万元． 【小问2详解】 解：设购买A型号智能机器人a台，利润为w，根据题意得： ， ∵，w随a的增大而增大， ∴当时，w的值最大，最大值为， ∴该科技公司此笔订单最多可获利192.5万元． 26. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合矩形的性质以及点E是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，由（1）得四边形是菱形，运用对角线的乘积的一半算出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∴菱形的面积． 27. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； （3）如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】（1）④； （2）①是； ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ 【小问2详解】 ①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②略 【小问3详解】 解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $