精品解析：陕西西安交通大学附属中学分校2025～2026学年第二学期期中考试七年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试初一年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人每秒完成次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 6. 如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（ ）     A. B. C. D. 7. 一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如下图，则红球的个数最可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 0 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么的补角为______． 12. 计算：_____． 13. 一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是__________． 14. 结果不含的二次项，则_____． 15. 如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 16. 如图，，点、分别是直线、上的两点，在、处分别存在两个反射镜面和：现有一个激光发射装置位于直线上的点处，从点发出两束激光分别经、反射后交于点，已知入射角，则___．（光的反射定律：反射角等于入射角，即，） 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1） （2）．（利用整式乘法公式计算） 18. 化简： （1） （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 手工课上设计窗花，需要在三角形剪纸底稿上设计两处面积相等的装饰区域．已知点在边上，对应区域为，请用尺规在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 21. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（已知） 所以（________________） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以____________（________________） 所以_____（两直线平行，同位角相等） 因为（________________） 所以（________________） 22. 如图，点、在上，，，，交于点，且． （1）与相等吗？请说明理由． （2）若，，求的度数． 23. 现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） （1）求小明抽到卡片4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系：______； （2）请运用你所得到的公式计算：若，，试求的值． （3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25. 解答下列问题： （1）【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试初一年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人每秒完成次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为原数中左起第一个非零数字前零的个数（含小数点前的零）． 【详解】解：． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，根据三角形三边关系逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形； B、∵，∴能组成三角形； C、∵，∴不能组成三角形； D、∵，∴不能组成三角形； 故选：B． 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘法，，即可． 【详解】∵，，， ∴． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行公理、对顶角定义、垂直的性质、平行线的性质，逐个判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，∴该选项正确； B、∵相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等，但不是对顶角，∴该选项错误； C、∵只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少“同一平面内”的前提条件，∴该选项错误； D、∵只有两条平行线被第三条直线所截，同旁内角才互补，选项缺少“两直线平行”的前提条件，∴该选项错误． 6. 如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 7. 一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，则有，再通过三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如下图，则红球的个数最可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识点，解题的关键是通过频率稳定值估算红球的概率，再结合总球数计算红球个数． 观察频率折线图，确定红球出现的频率稳定在左右，以此作为红球的概率；用总球数乘以该概率，即可估算红球的个数． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增加，红球出现的频率稳定在附近， 因此红球的概率约为． 总球数为， 则红球个数约为． 故选：C． 9. 在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】分别令和，求出对应的代数式的值，再进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么的补角为______． 【答案】##155度 【解析】 【分析】本题考查补角的定义，根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故答案为： 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】将高次幂拆分为 ，再逆用积的乘方运算法则化简计算即可． 【详解】解： ． 13. 一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是__________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．由图可得红色区域所对的圆心角为，然后根据概率公式可求解． 【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为， ∴； 故答案为． 14. 结果不含的二次项，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的法则进行计算后，二次项的系数为0，进行求解即可. 【详解】解：， ∵结果不含的二次项， ∴， ∴. 15. 如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 【答案】 4 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵为的中线，的面积为30， ∴的面积是的面积的一半，为15， ∵， ∴， ∴的面积是的面积的，为， ∴中边上的高为. 16. 如图，，点、分别是直线、上的两点，在、处分别存在两个反射镜面和：现有一个激光发射装置位于直线上的点处，从点发出两束激光分别经、反射后交于点，已知入射角，则___．（光的反射定律：反射角等于入射角，即，） 【答案】 【解析】 【分析】根据光的反射定律得出，从而求出的度数，利用平行线的性质得出，设，在中利用三角形外角的性质表示出，再利用三角形外角的性质表示出，最后求和即可．  【详解】 解：不妨设交于点，如图所示： ，，  ，  ， ， ， 设，则， ， ， ， 又， ，  ．  三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1） （2）．（利用整式乘法公式计算） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算同底数幂的乘法与除法以及积的乘方，然后再合并即可； （2）原式根据单项式乘以多项式和平方差公式将括号展开，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 20. 手工课上设计窗花，需要在三角形剪纸底稿上设计两处面积相等的装饰区域．已知点在边上，对应区域为，请用尺规在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】以为顶点，为边，在右侧作，交于点，此时，那么到的距离相等，即中边上的高相等，即可得到． 【详解】解：以为顶点，为边，在右侧作，交于点，点即为所求作； 21. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（已知） 所以（________________） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以____________（________________） 所以_____（两直线平行，同位角相等） 因为（________________） 所以（________________） 【答案】两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；对顶角相等；等量代换． 【解析】 【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到，等量代换得到，再进一步通过同位角相等，两直线平行得到，接着根据两直线平行，同位角相等得到，最后结合对顶角相等，即可得出结论． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 因为（对顶角相等） 所以（等量代换） 22. 如图，点、在上，，，，交于点，且． （1）与相等吗？请说明理由． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：与相等，理由如下： ∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ 23. 现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） （1）求小明抽到卡片4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平． 【小问1详解】 解：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到卡片4的结果有2种． 所以，小明抽到卡片4的概率是． 【小问2详解】 解：不公平． 理由如下：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种． 所以，． 所以小明获得门票的概率为，小亮获得门票的概率为：． 因为， 所以，游戏不公平． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系：______； （2）请运用你所得到的公式计算：若，，试求的值． （3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3）11 【解析】 【分析】（1）图2中，大正方形的边长为，小正方形的边长为，那么图2阴影部分面积可直接表示出小正方形的面积，也可以用大正方形的面积减去旁边四个长方形的面积，从而得出三者关系； （2）根据（1）可知，先计算出，再算得即可； （3）不妨设，根据题意可得，，先通过（1）中公式算得，最后通过算得面积． 【小问1详解】 解：根据题意，图2中，大正方形的边长为，小正方形的边长为，小长方形的长为，宽为， ∵图2中，小正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：不妨设， ∵四边形，是正方形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即图中阴影部分面积为11． 25. 解答下列问题： （1）【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到结论即可； （2）延长，作延长线于点，于点，连接，证明和，得到，得出当与重合时，最大为长为，计算即可； （3）延长到点，使得，连接，证明和，得到，得出总路线长度计算即可； 【小问1详解】 解：，理由如下： 延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：延长，作延长线于点，于点，连接， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当与重合时，最大为长为， 此时； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ， ， 延长到点，使得，连接， 由方位角可知：，, ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 总路线长为， 长度为 ， 总长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $