2026年天津市宁河区部分学校中考二模九年级数学试卷

数 学 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷 为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定 位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结 束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2.本卷共12题，共36分。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) (1)计算(-3)×(-2)的结果等于 (A)-5 (B)-6 (C)5 (D)6 (2)如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 (A (B) (C) (D) 第(2)题 (3)估计√/19-2的值在 (A)1和2之间 (B)2和3之间 (C)3和4之间 (D)4和5之间 暴田全 022-2- (4)窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现出独特的东方美学与浓郁的传统韵味.在常见的窗花 图案中，有的窗花是轴对称图形.下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是 B (C) (D) (5)据2026年2月25日《天津日报》报道，据国家电影局统计，今年的“史上最长春节档”总票房 为5752000000元，将数据5752000000用科学记数法表示应为 (A)5.752×109 (B)57.52×10 (C)575.2×10 (D)5752×10 (6)√2sin45°-cos60的值等于 (月 , (D)13 2 4 (7)若点A(-1,),B(1,),C(2,y)都在反比例函数y=的图象上，则1，，的大小关系是 (A)y1<y2<y3 (B)y2<y3<y (C)y3<y2<y (D)y,<y3<y2 (8)《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，膨酒一斗直 粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各儿何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一 斗瑚酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗， 则可以列出的方程为 (A)2x+8(4-x)=20 (B)2x-8(4-x)=20 (C)8x+2(4-x)=20 (D)8x-2(4-x)=20 (9)计算11的结果等于 x x2+x (A) (B)1 (c (D)1 x+1 器田全 …。2-2-小 (10)如图，在△ABC中，分别以点B,C为圆心，大于2BC长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直 线MW,交边AC于点D,交边BC于点E,连接BD,若CD=2CE,则∠ADB的大小为 N 第(10)题 (A)100 (B)110° (C)120 (D)130° (11)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将△ABC绕顶点C顺时针旋转a(0°<α<90°)，得 到△DEC,记DE交AB于点F,连接AD,BE,则下列结论一定正确的是 E 第(11)题 关汁微信公众号★全科AA+ (A)△ACD是等边三角形 (B DF=BE (C)AD/∥BC (D)∠ACD=∠AFD (12)如图，正方形ABCD的边长为6cm,动点M从点B出发，以1cm/s的速度沿边BA向终点A 运动，动点N从点B同时出发，以2c/s的速度沿边BC、边CD向终点D运动，规定其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N 的位置如图所示.有以下结论： 第(12)题 ①当t=4s时，BM=DN; ②当0<t≤3时，△DMN的最大面积是16cm2; ③△DMN的面积可以是14cm2.其中，正确结论的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 影田全任 022-2- 数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）。 2.本卷共13题，共84分。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） (13)不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子 中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 (14)计算x-6x+3x的结果为 (15)计算（√17+1）(17-1)的结果为 (16)若一次函数y=x+3(k是常数，k≠0)的图象经过第一、第二、第四象限，则k的值可以 (写出一个即可) (17)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AO的中点，连接BE. (I S△腮的俏为 (Ⅱ)若EF为∠BEC的平分线，交BD于点G,交BC于点F.若∠CAD=60°，CE=CB,BG= 2√万，则边BC的长为 第(17)题 (18)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C为小正方形网格线的 中点 (I)线段BC的长为 (Ⅱ)经过点B,C的⊙O与AB交于点D,点G为劣弧BC的中点，请用无刻度的直尺，在如图 所示的网格中，画出点0，G,并简要说明点O,G的位置是如何找到的（不要求证明） 第(18)题 影田全任 …。2-2-小 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） (19)(本小题8分) 2x≥x-1,① 解不等式组} 4x-2<x+4.② 请结合题意填空，完成本题的解答 (I)解不等式①，得 (Ⅱ)解不等式②，得 (Ⅲ)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来： -3-2-10123 第(19)题 (V)原不等式组的解集为 (20)(本小题8分) 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“AI伴学”计划.为了解 本校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间（单位：h),随机调查了该校八年级a名学生，根 据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②. 人数 6h 14 10% 2h 12 15% 10 5h 3h m% 20% 4h 30% 失注微保态衬写全秤AAI 3456时间h 图① 图② 第(20)题 请根据相关信息，解答下列问题： (I)填空：a的值为 图①中m的值为 ,统计这批学生每周使用AI大模型 学习的时间数据的众数和中位数分别为 和 (Ⅱ)求统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的平均数； (Ⅲ)根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用AI大模 型学习的时间是5h及以上的人数， 暴国全任 。2-22- (21)(本小题10分) 在⊙0中，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点 (I)如图①，D为劣弧AC上一点，若∠BAC=35°，求∠BOC和∠ADC的大小； (Ⅱ)如图②，过点C作AB的垂线，交AB于点H,交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交CB 的延长线于点F,连接BE,AE,若AC=CE,BF=3,求EF的长度. D 图① 图② 第(21)题 (22)(本小题10分) 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼AB(如图①)的高度， 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B,E,C依次在同·条水平线上，AB⊥BC,CD⊥ BC.无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角龙45°，·位同学在恼E点16m的C处， 在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为17·，测得小洋楼顶部A的仰角为35°，测角仪CD =1.5m (I)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数）： (Ⅱ)计算天津西站小洋楼AB的高度（结果取整数）、 参考数据：tan17°≈0.3，tan35°≈0.7. 45》 179 图① 图② 第(22)题 器田全任 0-2…-。。-2小 (23)(本小题10分)》 已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家0.8km,体育馆离家 2.4km.小天从家出发，先匀速骑行了5min到图书馆，在图书馆停留了20min,之后匀速骑行了 10min到体育馆，在体育馆运动了l8min后，再用了20min匀速跑步返回家.下面图中x表示小 天离开家的时间，y表示小天离家的距离.图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的 对应关系 ↑y/km 2.4 0.8A 05 253553 73-x/min 第(23)题 请根据相关信息，回答下列问题： (I)①填表： 小天离开家的时间/min 1 5 12 47 小天离家的距离/km 0.8 关注微信公众号★全科AA士 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为 km/min; ③当0≤x≤35时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (Ⅱ)当小天离开家5mimn后，他的妈妈以0.O8km/min的速度步行直接到体育馆.在从家到 体育馆的过程中，对于同·个x的值，小天离家的距离为y1,小天的妈妈离家的距离为2，当y,< y2时，求x的取伉范固（直接写出结果即可）， 暴巴全目 。-。24-。2。一 (24)(本小题10分)】 在平面直角坐标系中，O为原点，等边△AOB的顶点B(3,0),点A在第一象限，矩形CDEO 的顶点C(0,√3)，E(-3,0),顶点D在第二象限. (I)填空：如图①，点A的坐标为 ,点D的坐标为 (Ⅱ)将矩形CDE0沿水平方向向右平移，得到矩形CD'E'O',点C,D,E,O的对应点分别为 C',D',E',0'.设00'=t. ①如图②，若边C'D'分别与边A0,AB相交于点M,V,边O'C与边AB相交于点Q,当矩形 C'D'E'O'与△AOB重叠部分为五边形MO0'QN时，试用含有t的式子表示线段C'Q的长，并直接 写出t的取值范围： ②设平移后重叠部分的面积为S,当≤：≤时，求5的取值范到〔（直接写出结果即可）. y 0 B x E O 0'B1 图① 图② 第(24)题 (25)(本小题10分) 已知抛物线y=aa2+2ar-3a(a为常数，a<0)的顶点为P,与x轴相交于A,B两点（点A在点B 的左侧)，与y轴相交于点C,Q(m,n)为第二象限一点. (I)若a=-1,m=-6, ①求该抛物线顶点P的坐标； ②当SAABG=S△4co时，求n的值； _26 (Ⅱ)E为y轴上一点（不与点C重合），且点E的纵坐标大于或等于)，过点E作抛物线对 称轴的垂线，垂足为F,连接QF.若四边形AEPQ是菱形，当PQ+QF取得最小值时，求点Q坐标 器田全任 0-2…-。。-2数 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 快速对答案：(1)~(5)DABCA(6)~(10)BDABC (11)~(12)DC (1)D (2)A (3)B【解析】16<19<25，.√16<√19<√25，即 4<19<5,.2<19-2<3. (4)C 新考法解读本题以传统“窗花”为背景，将考 查轴对称图形的识别与传统文化相结合，引导学 生关注中华民族优秀传统文化，增强文化自信，充 分体现了试题的育人作用.试题命制符合2019年 11月发布的《教育部关于加强初中学业水平考试 命题工作的意见》中指出的：弘扬中华优秀传统 文化. (5)A【解析】5752000000=5.752×109. (6)B【解标2in45°-cos60°=√2×)2=1人1 -2 (7)D【解析1：在反比例函数y=4中，k=4>0,反 比例函数的图象位于第一、三象限，在每一象限 内，y值随x的增大而减小，且第一象限内y值大 于第三象限内y值，-1<1<2，且点A(-1,y1)在 第三象限，∴y1<y3<y2 (8)A【解析】翻酒有x斗，则清酒有(4-x)斗，可列 方程为2x+8(4-x)=20. (9)B【解析)1=+1-1x。1 xx2+xx(x+1)x(x+1)x+1 (10)C【解析】由作图痕迹可知MN为BC的垂直平 分线，BD=CD,DE⊥BC,∠BDE=∠CDE, CD=2CE,.∠CDE=30°，∴.∠BDC=60°， ..∠ADB=180°-∠BDC=120° (11)D【解析】由旋转可知AC=DC,.△ACD为等腰 三角形，只有旋转角α为60°时，△ACD才是等边 三角形，故A选项错误；AC=BC,.∠CAB= 学 ∠CBA,由旋转可知∠ACD=∠BCE,BC=CE,∴ CD=CE=AC=BC,∠CAB=∠CBA=∠CDE= ∠CED,∴.△ACD≌△BCE(SAS),.AD=BE, ∠ADC=∠BEC,:BC=EC,∴.∠CBE=∠BEC,∴. ∠ADF=∠EBF,又，·∠AFD=∠EFB,∴.△ADF ≌△EBF(AAS),.DF=BF>BE,故B选项错误； ∠DAC≠∠ACB,.AD不可能平行于BC,故C 选项错误；：∠ACD+∠CDE=∠AFD+∠BAC, ∠CDE=∠BAC,∴.∠ACD=∠AFD,故D选项 正确. (12)C【解析】当t=4s时，点M运动4cm,BM= 4cm,点N运动8cm,':BC+CD=12(cm),∴.DN =4cm,.BM=DN,故①正确；当0<t≤3时， 5m-6x672r6(6-0-号×66-20 1 -t2+9t=-(t- ，，当=3时，△Dv的面积 最大，为18cm2,故②不正确；当0<t≤3时，令-t +9t=14,解得t1=2,t2=7(舍去)，当3<t<6时， 1 Sam=2×6×[6-2(t-3)]=-6t+36,令-6c+36= 14,解得1=号，满足条件，故③正确正确结论 有2个. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） (13)品(14)-2x (15)16【解析】（√17+1）（√17-1）=（√17）2-12= 17-1=16. (16)-2(答案不唯一) 曾新考法解读教育部发布的《关于加强初中学 业水平考试命题工作的意见》中明确指出：提高 开放性试题比例.近年的中考试题中开放性试题 的比例越来越高，这类试题主要的考查形式有： 条件开放、过程开放和结论开放，其中2025年山 西、湖北、武汉、广东等地均有考查.其中，条件开 放：主要有①添加/补充条件类试题；②选择条 件；③组合多选.结论开放：主要有①写出满足条 件的值或表达式；②提出合理化的建议、给出合 理化的评价、制定合理化的标准，均在统计题中 考查 (17)(I)8(Ⅱ)8 國解题思路 【解析】(I)四边形ABCD是平行四边形，对角 线AC,BD相交于点O,.C0=AO,B0=D0, 1 同底等高面积相等，中线等分面积 E为A0的中点，AB=0B=40,Sa 141.2 S4a8:(0四 -SApOS8SiBo,即>a4E 边形ABCD是平行四边形，.BC=AD,BC∥AD, .∠BCE=∠CAD.LCAD=60°，.∠BCE= 60°.CE=CB,.△BCE为等边三角形.EF为 ∠BEC的平分线，∴.∠BEF=30°，EF⊥BC,BF= CF=8C如解图，取D0的中点为且，连接职 遇到中点，找中点，构造中位线 E为AO的中点，H为D0的中点，.EH∥AD, EN-2AD,.E/BC.EH-BC.BFG- ∠HEG,BF=EH.又·∠BGF=∠HGE,.△BFG ≌△HEG(AAS),∴.FG=EG.设BC=2a(a>0),则 BF=a.∠BFE=90°，∠BEF=30°，.EF=√3BF =3aFG=BCfG-0在R△BGF中，由 勾股定理得BF+F6=BGa2+()=(27), 解得a1=4,a2=-4(舍去)，.a=4,.BC=8. 第(17)题解图 (18)(1)v 2； 【解析】BC=,4+()-V6丽 2 (Ⅱ)如解图①，取格点M,N,连接MN,MN交网 格线于点E,设S,F分别为⊙0与网格线的交点， 连接CE,DF,CE与⊙0交于点T,连接ST,ST交 DF于点O:设BC与网格线的交点为P,连接OP 并延长交BC于点G,则点0，G即为所求 E T G P 第(18)题解图① 【解析】如解图②，取格点Q,则点E为BQ的中 点.点C为小正方形网格线的中点，.EC∥BF, ∴.∠SCT=90°，ST为⊙0的直径.∠DBF= 90°，.DF为⊙0的直径，.DF与ST的交点为圆 心O;设弦BC交网格线于点P,则点P为弦BC 的中点，.OP的延长线与BC的交点G为BC的 中点. Gi P 第(18)题解图② 三、解答题（本大题共7小题，共66分） (19)剑答题模板 解：(I)x≥-1； …(2分）》 (Ⅱ)x<2;… (4分) (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示如解 图所示；.…(6分)》 -3-2-10123 第(19)题解图 (V)-1≤x<2.…(8分) (20)解：(I)40,25,4,4;…(4分) 【解法提示】由题意可知，a=6÷15%=40,∴.m%= 40×100%=25%,即m=25,统计这批学生每周使 1 用AI大模型学习的时间数据的众数是4，中位数 -=4 1 (Ⅱ)：x=×(2×6+3×8+4×12+5×10+6×4)= 40 3.95, ∴.统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时 间数据的平均数是3.95；…(6分) (Ⅲ)400×(25%+10%)=400×35%=140（人）. 答：估计该校八年级学生每周使用AI大模型学习的 时间是5h及以上的人数为140人.…(8分) (21)解：(I):∠BAC=35°， ∠B0C=70°.…(2分) 如解图①，连接BC 第(21)题解图① AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠BAC=35°， .ABC=55°， .∠ADC=180°-∠ABC=180°-55°=125°；… …(4分) (Ⅱ)，AB为⊙O的直径，AB⊥CE, ..AC=AE ..AC=AE, 又.AC=CE, ..AC=AE=CE, .△ACE是等边三角形， .∴.∠ACE=∠AEC=60°， .∠ABE=∠ABC=60°， .∠EBF=180°-∠ABC-∠ABE=60°， 如解图②，连接0E. 第(21)题解图② OB=OE,∠OBE=60°， .△BOE是等边三角形， .∠OEB=60°， ∴.∠OEB=∠EBF, .OE//BF, ∴.∠OEF+∠BFE=180°， EF是⊙0的切线，0E为半径， .OE⊥EF, ∴.∠0EF=90°， ∴.∠BFE=90°， 在Rt△BEF中， :BF=3,tan∠EBF=EE BE ∴.EF=tan60°×3=3√3. …(10分) 22)解：如解图，过D点作DG⊥AB于点G,交线段EH 于点M,过H点作HF⊥AB于点F,则HF=MG, DM=CE,HM=GF,CD=EM=BG. A 35 F --.450 17° D B E 第(22)题解图 (I)在Rt△HMD中，DM=CE=16米，∠HDM =17°， ∴.tan∠HDM= HM DM' .HM=tan∠HDM·DM≈0.3×16=4.8（米）， EM=CD=1.5米， .EH=HM+EM=4.8+1.5≈6（米）. 答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米； …（4分) (Ⅱ)在Rt△AHF中，∠AHF=45°， ∴.AF=HF, ∴.DG=GM+DM=AF+16, 在Rt△ADG中，∠ADG=35°， am之ADG0,即07A+43 AF+16 解得AF≈21.3（米）， .AB=AF+GF+BG=21.3+4.8+1.5≈28（米） 答：天津西站小洋楼AB的高度约为28米. …(10分) 23)(I)①0.16,0.8,2.4；…(3分) ②0.12； …（5分) 【解法提示】小天从体育馆返回家的速度为2.4÷ 20=0.12(km/min). [0.16x(0≤x≤5) ③y= ③y={0.8(5<x≤25) ； ......(8分) = (0.16x-3.2(25<x≤35) 【解法提示】当 0≤x≤5 时，小天匀速骑行的速度 为 0.16km/min，y=0.16x； 当 5<x≤25 时， y= 0.8； 当 25<x≤35 时，设 y=ax+b(a≠0)， ，将点 (25，0.8)，(35，2.4)代入，得 $$\left\{ \begin{array}{l} 2 5 a + b = 0 . 8 ， \\ 3 5 a + b = 2 . 4 ， \end{array} \right.$$ 得 $$\left\{ \begin{array}{l} a = 0 . 1 6 ， \\ b = - 3 . 2 ， \end{array} \right. \therefore y = 0 . 1 6 x$$ -3.2.综上所述， y= [0.16x(0≤x≤5) 0.8(5<x≤25) [0.16x-3.2(25<x≤35) (且)15<x<35. .............................(10分) 【解法提示】∵小天妈妈的速度为0.08 km/min， ∴ 设 $$y _ { 2 } = 0 . 0 8 x + n ，$$ ，将(5，0)代入得 0.08×5+n=0， 解得 $$n = - 0 . 4 ， \therefore y _ { 2 } = 0 . 0 8 x - 0 . 4 .$$ .当 5≤x≤25 时， $$\because y _ { 1 } < y _ { 2 } ， \therefore 0 . 8 < 0 . 0 8 x - 0 . 4 ，$$ ，解得 x>15； 当 25<x ≤35 时， $$\because y _ { 1 } < y _ { 2 } ， \therefore 0 . 1 6 x - 3 . 2 < 0 . 0 8 x - 0 . 4 ，$$ ，解得 x<35，∴15<x<35. (24)解：(I $$\left( I \right) \left( \frac { 3 } { 2 } ， \frac { 3 \sqrt 3 } { 2 } \right) ， \left( - 3 ， \sqrt 3 \right) ；$$ .... 【解法提示】如解图 ①， ，过点A作 AH⊥OB 于点 H.∵B(3，0)，∴OB=3.∵△AOB 为等边三角形， $$A H \bot O B ， \therefore \angle A O H = \angle A B O = 6 0 ^ { \circ } ， O H = B H = \frac { 1 } { 2 } O B$$ DB $$= \frac { 3 } { 2 } ， \therefore A H = O H \cdot \tan \angle A O H = \frac { 3 } { 2 } \times \sqrt 3 = \frac { 3 \sqrt 3 } { 2 } .$$ 点 A在第一象限， $$\therefore A \left( \frac { 3 } { 2 } ， \frac { 3 \sqrt 3 } { 2 } \right) ；$$ 四边形CDE 为 矩形， $$\therefore D C = O E ， D E = O C ， \angle D C O = \angle D E O = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴DC⊥y 轴， DE⊥x 轴. $$\because C \left( 0 ， \sqrt 3 \right) ， E \left( - 3 ， 0 \right) ，$$ $$\therefore O C = \sqrt 3 ， O E = 3 ， \therefore D C = 3 ， D E = \sqrt 3 . \because$$ 顶点D在 第二象限， ∴ $$、 D \left( - 3 ， \sqrt 3 \right) .$$ y A D C E 0 H B B x 第(24)题解图① (Ⅱ)①∵矩形 C'D'E'O' 是由矩形CD EO沿水平 方向向右平移得到的， ∴矩形 C'D'E'O'≅ 矩形 CDEO， ∴.∠C'0'E'=∠C0E=90°，C0'=C0=√3， .∠C0'B=90. .00'=t, ∴.0'B=0B-00'=3-t 在Rt△B0'Q中，由an∠QB0'-0g O'B 得0'Q=0'B·tan∠QB0'=(3-t)·tan60°=(3- t)·W5=35-√3t, .C'Q=C'0'-0'Q=√5-(35-√3t)=√5t-25. 其中2<t<3;… …(6分)》 【解法提示】如解图②，过点N作NT⊥OB于点 T,在Rt△OCM中，：CM=0C·tan∠C0M=√3× [3=1,-0M=2CM=2,∴AM=0A-0M=3-2=y MNOB,△AMN为等边三角形，∴.MN=1, .CN=2,.2<t<3. E'0 TO'B& 第(24)题解图② 5158 P …(10分) 8 【解法提示】情形1：当分≤1≤1时，如解图③，设 C'0'与0A交于点S,重叠部分为△00'S,S0'= 0'0·tan∠A0B=t·tan60°=√3t,.S=S△oos= 000…管<8情形2：当1d ≤2时，如解图④，设CD'与OA交于点P,重叠部 分为梯形P00'C'.CP=1,PC'=CC'-CP=t-1, 60-5S=8we=-1+)5=8-5 1 2 3；情形3：当2<1≤时，如题图②， 3 2 重叠部分为五边形M00'QN.:SAB=,B0 00=2(3-)·(3-05=9(3-0)3,5aw 2 3 ×1?=3 40=5x3= 4 4 4 4 93 9√3 ,.S=S五边形M00Qv=SA0B-S△0B-SA4MW= 4 4 =(3-)+25. 2(t 42二次项系数-020 S 8 综上，S的取值范围为≤3≤153 8 8 D 001 B x 图③ y D' E 0 0 B x 图④ 第(24)题解图 【难点突破】本题的难点在于第（Ⅱ）②问，在求面 积取值范围时需要根据平移过程中点C的位置， 进行分情况讨论，找出临界值，判断重叠部分图 形的形状，求解即可， (25)解：(I)①y=ax2+2ax-3a, 当a=-1时，y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, P(-1,4);…(3分) ②如解图①，过点A作x轴的垂线与CQ交于 点D. B 第(25)题解图① 令x=0,得y=3, .C(0,3), 令y=0,则-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, A(-3,0),B(1,0), .0C=3,AB=4, 1 1 六Sa4c=21B,0C=2x4x3=6, m=-6,∴.Q(-6,n), 'S△ABC=S△AC0, 1 六Sa40m=2·lx0xc·AD=6, .2 ×6AD=6, ∴.AD=2, D(-3,2), 设直线CQ的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将C(0,3),D(-3,2)代人， 1 解得y=3x+3, 当x=-6时，y=1, .n=1;…(6分) （Ⅱ)y=ax2+2ax-3a=a(x+1)2-4a, ∴.P(-1,-4a),对称轴为直线x=-1, .EF=1, 设E(0,e),则F(-1,e), y=ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3), 当y=0时，a(x2+2x-3)=0, 解得x1=-3,x2=1, .A(-3,0), 如解图②，作点A关于y轴的对称点A'(3,0),连 接A'E,将A'向左平移1个单位得到A"(2,0),连 接A"F A OBA"A 第(25)题解图② EF=A'A",EF∥A'A", .四边形A"A'EF为平行四边形， ..A'E=A"F, ,四边形AEPQ为菱形， ∴.PQ=AE=PE, ∴.PQ+QF=AE+QF=A'E+QF=A"F+QF≥A"Q, .当A",F,Q三点共线时，PQ+QF的值最小， 由菱形性质可得-1-m=0-(-3),e-0=-4a-n, 解得m=-4,n=-e-4a, ∴.Q(-4,-e-4a), 设直线A"Q的解析式为y=k'x+b'(k'≠0)， k'=e+4a 6 将A"(2,0),Q(-4,-e-4a)代入解得 e+4a b'= 3 将点F(-1,e)代入得e=-e+4a_e+40 63 4 1 e=-3a,E0,-3a), .PE=AE, 4(-oP=3(音 解得a,= V6 2,%2- (不合题意，舍去)， √6 26 ∴.e= 3 六049 (10分) P解题技巧 对称性质在最值中的应用： 1.直线异侧线段和最小值问题 已知：如图①，两定点A,B位于直线1两侧，直线1 上有一动点P. 计算：PA+PB的最小值. 作辅助线：如图②，连接AB交1于点P. ·A B 图① A 图② 结论：PA+PB的最小值为AB的长 2.直线同侧线段和最小值问题 情形1： 已知：如图③，两定点A,B位于直线1同侧，直线1 上有一动点P. 计算：PA+PB的最小值 作辅助线：如图④，作点B关于直线1的对称点 B',连接AB交1于点P.(也可以作点A关于直线 1的对称点) 。A 'B1 图③ B -1 PB' 图④ 结论：PA+PB的最小值为AB'的长 情形2： 已知：M,N为直线l上的两个动点，且MN长度为 定值，A,B为定长线段MN同侧的定点。 计算：AM+MN+BN的最小值. 作辅助线：将点A向右平移MN长度到点A',作 点A'关于l的对称点A”,连接A"B,交直线l于点 N,再确定点M. M/N 结论：最小值为A"B+MN的长，