陕西西安高级中学2026届高三模拟预测（五）数学试题

西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五） 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.已知集合A={xx2≤1}，B={xy=Vx},则AnB=() A.[0,1] B.[-1,1] C.[-1,0] D.(0,1] 2.己知sin0=-sin28,0∈（侵，m,则tan0=（） A-号 B.-1 C.-3 D.2 3.已知4(1,0,0)，B(0,1,0),C(0,0,1),D(xy,月四点共面，则xy的最大值为() A. B.日 C.1 D.2 4.已知向量a,满足圆=1，a·石=反-矶当的夹角最大时，=() A.22 B.2 C.v3 D.V2 5.已知数列[a的首项a1=1,且清足a1-am=Va+1+an∈N,).令b.=a1-a,则数列{ 的前2026项和为() A.8器 B.1015 2028 C.io D.502 1013 6.某果园为检测两试验园苹果的质量，现从A试验园抽取30个苹果，其平均质量为200g,方差为48，从B 试验园抽取20个苹果，其平均质量为220g,方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为() (参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m,x,s好，n,,s,记样本的平均数为ō， 方差为s2,则s2=m[s子+民-可]+mns号+-可]) A.45.8 B.140.8 C.176 D.183.2 7.已知a>0,b>0,c>0,且1+a-a2=a·2a,1+2b-b2=b·3b,1+3c-c2=c·4,则() A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c 8.已知椭圆号+y2=1,点M(2m,m),其中6m2-5m+1≤0，过M作直线交椭圆于A,C两点，过M 作直线l2交椭圆于B,D两点，若AB I CD,AM=2MC,则直线AB在y轴上的截距的取值范围为() A.【周 B.【 c.【 D.[-引 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五)第1页共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=x3-3ax2+3bx+1,a,b∈R,则() A.若a2>b,则函数f(x)有两个极值点 B.若a=b2+1,且b>0,则函数f(x)在(0,1)上不单调 C.若函数f(x)既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D.函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a)成中心对称图形 10.数列{anJ满足an+1+am=(-1)m+1(n∈N*),且a1=-2,数列{an}的前n项和为Sn,从{an}的前2n项中 任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为Pn,数列{1-Pn}的前n项积为Tm,则() A.a10=11 B.S101=-52 C.Pa D.Tn≤z 11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AP=(AB+AD+AA4),1∈(0,1).则下面结论中正确的是 () A.存在1∈(0,1)，使得平面A1DP/平面B1CD1 B.L=是AC11平面A1DP的充要条件 C.S1,S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1,平面BB1C1C上的投影图形的面积，对任意1∈0,1)，都有S1≠ S2 D.任意入EO,1,△ADP的面积不等于号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知0为坐标原点，过点(2,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，若0A·0B=2,则 P= 13.三棱锥P一ABC的四个J顶点在球O的表面上，若PA=AC=PC=1,BC=PB=2,AB=V3,则球O 的表面积为一 14.已知数列[an}满足a1=1,a+a+1=(2n-1)sin,记{an}的前n项和为Sn,则226S:= 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15.(本小题13分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF1平面ABCD,EFIBC,AB=4, AF=EF=2. 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五)第2页共4页 B (I)求证：平面ACE1平面CDE; (2)若点G在平面ABCD内，且DG L FG. (i)求点G的轨迹的长度； (ii)设直线EG与平面ACE所成的角为0，求sin6的取值范围. 16.(本小题15分)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(bsin2+csim2)(a+b+d)=三bc (I)若∠BAC的平分线AD交BC于点D,c0sC=贵，△ABC的面积为10N3,求AD长： (2)若b-a=2,c>4,求当△ABC周长最小时c的值， 17.(本小题15分)已知函数f(x)=|ax-2l,g(x)=ax2-ax(a>0). (1)设g(x)的导函数为g(x). (i)若f(x)与g(x)有相同的零点，求a的值： (i)若对任意x≥0，都有fx)≥g(x),求a的取值范围； (2)若f(x)=g(x)有唯一解，求a的取值范围 18.(本小题17分)某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有n(n≥2，n∈N+)种不同类型 的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具. (1)若n=2,求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率， (2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用k(k∈N+,k≤n)表示事件A 首次发生时的试验次数，且k的分布列为P()=(1一p)-1p,k=1,2,,n,则随机变量k服从几何分布， 该几何分布的期望为已知甲集齐n种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为X”, (i)求Xn的数学期望E(X): (ii)证明：nln(n+1)<E(Xn)<n+nlnn. 19.(本小思17分)已知椭圆C1+若-1a>0>0)与椭圆C号+芳-1a,>b,>0叭，过c,的右顶点 A与x辅垂直的直线与C1的一个交点为B(2,2）,过C1的右焦点F作x轴的垂线与C,的一个交点为(1，四) (1)求C1,C2的方程； (2)若斜率为k的直线OM交C2于点M,O是坐标原点，垂直于OM的直线0N交C1于点W. 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五)第3页共4页 (I)求|MNI的最小值； (Ⅱ)是否存在一个与直线MN相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五)第4页共4页 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五)参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A B A B A A ABD ABD 11 ABD 12.20.5 13.g 14.1520 15.【详解】(1)证明：因为AF1平面ABCD,CDc平面ABCD, 所以AF⊥CD, 因为四边形ABCD为正方形，所以CD 1 AD, 因为AD∩AF=A,AD,AFC平面ADEF,所以CDI平面ADEF, 因为AEC平面ADEF,所以CD⊥AE, 由题意求得ED= (AD-EF)2-AF2=2V2,AE =V2AF =2V2,AD=4, 所以AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED, 因为CD nED=D,CD,EDC平面CDE,所以AEI平面CDE, 因为AEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面CDE;(本小问4分) (2)解：由题意知，直线AB,AD,AF两两垂直，以直线AB,AD,AF分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系Axyz, 卡B 则A(0,0,0),D(0,4,0),C(44,0),E(0,2,2),F(0,0,2) (i)设G(x,y,0),则DG=(x,y-4,0),FG=(x,y,-2), 因为DG1FG,所以DG.FG=x2+y2-4y=0, 即x2+(y-2)2=4, 所以点G的轨迹是以棱AD为直径的圆，其长度为4π（本问7分） (ii)由(i)知EG=(x,y-2,-2),AC=(44,0),A正=(0,2,2)， 设平面ACE的一个法向量元=(a,b,则元·AC=0, 元.A正=0， 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第1页共6页 0+0=8 令c=1,得a=1,b=-1,所以元=(1，-1,1)， 则sn9=-lcos(,训= Ix-y川 x2+0-2)2+(-2)2xw5 由(i)知x2+(y-2)2=4,所以sin6= lx-yl _Ix-yl_lx-yl x2+0-2)2+(-2)2×3 2W2xV32√6 因为4=x2+(2-)2≥=2)，得-2W2-2≤x-y≤2W2-2, 所以0≤x-y≤2W2+2,所以sim9的取值范围是0,25 .(本小问13分) 16.【分析】(1)先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角A,再通过已知的c0sC及和角公式求 出角B的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的 性质建立关于AD的方程求解： (2)由已求得的角A用余弦定理消去b,将a用c表示，进而构造出周长关于c的函数；利用基本不等式求得c的值. 【i详解】(1)依题意有b×1+c×-)(a+b+c)=bc,即(b+c-beosc-ccosB)(a+b+0)=3bc, 又由余弦定理有a=bcosC+ccosB,∴.(b+c-a(a+b+c)=3bc,b2+c2-a2=bc. c0sA=+2-又A为△ABC中内角：A=号（本小处3分) 2bc 又cosC=共smC-普m8=m(4+O=2,前-盟-营（本小处5分） 因为△ABC的面积为10V3, 小bcsinA=9bc=10N5bc=40.b=8c=5.(本小处6分) 4 在△ABC中，c+b):AD:sm号=10W3学AD=10V3AD=9.(本小问7分) (2)由(1)知A=a2=b2+c2-bc,b-a=2,c>4a=-2c+4 c-4 设△ABC周长为L,则L=2a十c十2=2c2-24型+c+2,(本小处11分) c-4 令t=c-4,L=3t+生+18≥12V2+18,(本小处13分) 当且仅当t=2V2,c=4+2V2时周长取最小值.（本小处15分）故当△ABC周长最小时c=4+22. 17.【分析】(1)(i)先对g(x)求导，根据f(x)=0求出x值，并代入g'(x)求a (ii)将f(x)≥g'(x)转化为ax-2引≥2ax-3ax2问题，先求得a的一个大致范围，然后对x进行分类讨论，由此求 得a的取值范围 (2)将方程有唯一解问题转化为函数图象交点问题，对α进行分类讨论，并对不同区间的函数求导分析单调性，根 据函数值范围确定a的值. 【详解】(1)因为g(x)=ax2-ax3,所以g'(x)=2ax-3ax2, 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第2页共6页 i)因为a>0,f)=0得x=子所以g(日=2a×-3a×(月°=0， 所以a=3.(本小处2分) (i)原问题转化为|ax-2≥2ax-3ax2在x≥0时恒成立. 依题意，a>0,令x=名，所以2a×2-3a×(份≤0，得a≤3， ①当0≤x<时，原不等式可化为2-ax≥2ax-3axr2,所以品≥x-x2, 此时后≥号>分所以y=×-2的最大值为所以后≥片所以a≤导 ②当x>2时，原不等式可化为ax-2≥2ax-3ax2,所以≤3x2-x, 因为y=32-在(+m)上单调递增，所以≤3x(目°-名所以a≤3. 综上所述，0<a≤（本小处8分） （2)由题意知，方程|ax-2=ax2-ax3有唯一解. 依题意，a>0,原方程化为x-引=x2-x,由于-引≥0，所以x≤1， (i)当≥1，即0<Q≤2时，有2=-x3+x2+x(*), 设p(x)=-x3+x2+x,所以0'(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1), 所以p()在(-∞，-)上单调递减，在(，1)上单调递增，p()=-无p(1)=1, 因为方程(*)有唯一解，所以2>1，所以0<Q<2:(本小处12分) (i)当a>2时，≤x≤1时，方程可化为=x3-x2+x(*), 设h()=x3-x2+x,则h(x=3x2-2x+1>0,所以h()在[，1上单调递增， 又n(月=+<<h)=1,所以a>2时，方程()有唯一解： aa 当x<名<1时，有后=-0+2+x >()=-云方程有解： 所以a>2时，原方程至少有两个解（舍去）： 综上所述，a的取值范围为(0,2).（本小处15分） 18.【分析】(1)应用独立事件概率乘积公式计算求解； (2)()根据数学期望性质计算求解；（ⅱ）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明 不等式 【详解】(1)甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第3页共6页 和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为2×××子（本小处3分） (2)(i)设X⊙表示在甲已获得第i-1种类型的卡片后，获得第(i∈N+,i≤n)种类型卡片需要购买的玩具数，则Xn= X(①)+X(2)+…+X(m 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为”-一， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为”号 依此类推，在甲已获得第n一1种类型的卡片后，每次试验中获得第n种类型卡片的概率为则X,X②，，X0 均服从几何分布， 所以EX)=E(X)+E(Xa)+…+E(X)=1+二+是2+…+n.（本小处1分） (i)证明：0x,)=1+片+点2+…+n=n(++高2+…+1)=n(1+号+…+) 设f=hc+1)-x则f)=本-1=音 当x∈(-1,0)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(0，+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)≤f(0)=0,得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时，等号成立. 令x=是得n典<则n(n+1)=n2+n+…+ln史<1++…+是① 设g)=血(x+1)-京则g侧-中可 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g()≥9(O)=0,得本1≤n(x+1), 当且仅当x=0时，等号成立。 令x=≥2)，得<血高，则1+++日<1+n2+ln2+…+ln高=1+mm.@ 由①②得lm(m+1)<1+2+号+…+是<1+lhn, 所以mln(m+1)<n(1++…+)<n+nn, 即nln(n+1)<E(Xm)<n+nlm.(本小处17分) 1【分1对风可1+ =1,解出即可得：对椭圆C2,可得2=2+=1，解 出即可得： 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第4页共6页 (2)(I)由题意可得loM:y=kx,loN:y=-x,分别联立曲线两曲线，可解出两点坐标，再利用勾股定理计算即 可得解；（Ⅱ）借助等面积法与(I)中所得，可得原点O到直线MN的距离为定值，即可得解. 【详解】(1)对椭圆C号+写=101>b1>0).由题意可得c1=1, y2 吃学=1又-好+时+可1 b好 整理得51-29a1+20=(a1-5)(5a1-4)=0,即a1=5或a1=, 由a>c听=1，放=5，则bi=5-1=4,即c号+号-1： x2 对椭圆C2号+芳=1@z>b:>0叭，由题意可得a,=2, 暖算-1，时+是-1所阳好-号 则c2苦+若=1：（本小处5分） (2)由题意可得loM:y=kx,则yM=kxM: 由0M10N,则loN:y=-x,则yN=-xwN, y=kx 20 传+器-1解得御 V6k2+5 即IxM= 20 V6k2+5 y=- 1 20k2 20k2 后+苦-1 x2 ,解得1x=2 则xw=42+污 (1 IMNI2-10M+IN= 20,20k2,20k220_20k2+20,20k2+20 6k2+5+6k2+5+4k2+5+4k2+5-6k2+5+4k2+5 =20(k2+1)· 1 1 62+54k2+5=20(2+1):7 10k2+10 (6k2+5)(42+5) 200(k2+1)2 24k4+50k2+25 令t=k2+1≥1，则IMw2=2002+)2 200t2 24k4+50k2+25-24(t-1)2+50(t-1)+25 200t2 200 200 ≥200=8， 24+2+4+2 25 当且仅当=1，即k=0时，等号成立， 故|MWI的最小值为2W2;(本小处12分) m)1oM2-xP+ew水=+-g 6k2+5 1oM2-w+-+”-gg 2020(k2+1) 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第5页共6页 则10M2,10N2=20(2+L.202+1=40ok2+12 6k2+54k2+5-(6k2+5)(4k2+5) 40(k2+1)2 又1MNP-20o2+ (6k2+5)(4k2+5)' 则loM1oN-0=2, IMNI 200k2+1)2 (6k2+5)(4k2+5)】 由△OMN为直角三角形，故MN的高， 即原点O到直线MW的距离d=IoOM oM2loN=√2， MNI VIMNI 故存在一个与直线MN相切的定圆，且该圆方程为x2+y2=2.(本小处17分) N 2 西安高级中学模拟预测2026届数学试题（五）答案第6页共6页