精品解析：2026年安徽宿州市中考第二次模拟考试数学（试题卷）

九年级数学 （试题卷） 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．考试结束时，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数在数轴上对应的点离原点最近的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义．一个数在数轴上对应点到原点的距离等于这个数的绝对值，绝对值最小的数，距离原点最近． 【详解】解：，，，， ， 的绝对值最小，对应点离原点最近， 故选：B． 2. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（bie）臑（nao）”的几何体．它指的是由四个直角三角形围成的四面体．如图放置的“鳖臑”的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图的定义，找出左视图即可． 【详解】解：由题可知，“鳖臑”的左视图为： 3. 据海关数据，2025年中国全年进口原油577726000吨，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：577726000用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，故A选项计算正确； B、，故B选项计算错误； C、，故C选项计算错误； D、，当时 ，故D选项计算错误． 5. 如图，在中，，，且．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 6. 已知一次函数的图象与轴交于点，且不经过第四象限，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先将交点坐标代入一次函数解析式得到b与k的关系，再根据图象不经过第四象限确定k的符号，代入所求代数式即可判断结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点 ， ∴将代入解析式得，即， ∵一次函数图象不经过第四象限， ∴， 将代入得， ∵， ∴，即． 7. 如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 钠 镁 铝 硅 磷 钠 （钠，镁） （钠，铝） （钠，硅） （钠，磷） 镁 （镁，钠） （镁，铝） （镁，硅） （镁，磷） 铝 （铝，钠） （铝，镁） （铝，硅） （铝，磷） 硅 （硅，钠） （硅，镁） （硅，铝） （硅，磷） 磷 （磷，钠） （磷，镁） （磷，铝） （磷，硅） 由表格可得，共有20种等可能出现的结果，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的情况有12种， 故两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为． 8. 已知实数满足，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法将代数式变形，把转化为关于新元的二次函数，利用平方的非负性得到新元的取值范围，再根据二次函数的性质求最大值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴，代入得：， 整理得， ∵任意实数的平方非负，， 代入得， 化简得， 解得， 将和 代入：， ∵， ∴该二次函数开口向下， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 代入计算得：． 9. 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵当时，函数值最小，最小值为， ∴对任意实数，都有恒成立，即恒成立， ∴对任意实数，都有恒成立，故D选项正确，不符合题意． 10. 如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先取中点，连接，，，再根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质，得出为等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进一步得出，，根据垂线段最短，过点作的垂线，交点即为最小值处，最后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ． 为的中点，即为的中位线， ，且． 是等边三角形，且点为中点， ，，，， ，， 为等边三角形， ． 由旋转得，，， ， ． 在与中， ， ， ． 又， ， ， ． 过点作的垂线，交点即为所求，此时取得最小值， ． 在中，， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 12. 关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】m≤4． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式并求解即可． 【详解】解：当关于x的方程mx2﹣4x+1＝0是一次方程，则m＝0，有实数根； 当是一元二次方程，根据题意得△＝（﹣4）2﹣4m•1≥0，解得m≤4． 综上可得，m≤4． 故答案为m≤4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解不等式以及分类讨论思想，讨论方程为一次方程时得到m=1是解答本题的关键，也是解答本题的易错点． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可． 【详解】解：如图，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 14. 已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）利用根和系数的关系得，，再代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系得 ，，即得，进而可得，得到取，再相加即可求解． 【详解】解：（）由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴ ， 故答案为：； （）由一元二次方程根和系数的关系得， ，， ∴， ， ∴ ， 解得， 为整数，且， 取， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ， ． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： （1）以点为位似中心将在网格中放大两倍得到，请画出． （2）借助网格：连接线段，用无刻度直尺作在上的中线． 【答案】（1） 解：分别连接并延长，在延长线上取点，使，，， 顺次连接，得到的，就是所求图形． （2） 解：以为对角线，构造格点平行四边形，画出平行四边形的另一条对角线，两条对角线的交点就是​的中点， 连接，就是​中上的中线，即为所求． 【解析】 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以先连接，分别延长到，使，再顺次连接得到． （2）因为要作在上的中线，所以先借助网格找到平行四边形，画出平行四边形的另一条对角线，两条对角线的交点就是​的中点， 再连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】（1）A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元 （2）至少需要采购B种茶叶167盒 【解析】 【分析】（1）A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒，根据题意列出不等式，解得，结合为整数，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，由题意得， ， 解得， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元． 【小问2详解】 解：设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒， 根据题意，总利润， ， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，即的最小值为． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 18. 某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求水面的高度． 【答案】（1） （2）水面高度为 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，利用作差求出即可； （2）设，根据题意可得，，利用三角函数表示出，，结合，构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 根据题意，矩形中，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：水面高度为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，以为直径作．交于点，是的切线且交于点．延长交于点，半径，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 为的直径， ， ，即点为中点， ，即点为中点， 是的中位线， ， 又为的切线， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得 ，由等腰三角形的三线合一得到 ，即点为中点，推出是的中位线，，根据为的切线，推出，证明，即可证明； （2）证明，得到，在中，设，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ， 又 ， ， ， ， ，即， 在中，设， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 20. 为提升阅卷效率与公平性，某校在一次数学模拟测试后，采用智能批改+人工复核的方式对试卷进行评阅．工作人员随机抽取了部分试卷，对批改的得分情况进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表： 得分段（分） 频数 频率 10 0.05 30 0.55 50 请根据图表信息解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是___________，表中___________，___________； （2）若该校共有1200名学生参加测试，估计此次测试评分在73分及以上的学生人数； （3）现有4份经AI批改后的试卷，其中2份需要人工复核，另外2份无需复核．老师从中随机抽取2份试卷，求恰好抽到1份需要复核、1份无需复核的概率． 【答案】（1）200，0.15，110 （2）估计此次测试AI评分在73分及以上的学生人数为人 （3） 【解析】 【分析】（1）用分数段的人数除以它的频率可得这次抽样调查的样本容量，用30除以样本容量可得，用样本容量乘0.55可得的值； （2）先求出的值，再用乘评分在73分及以上的学生人数的频率即可得出结果； （3）设复核的2份为，无需复核的为，画树状图，得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1份需要复核、1份无需复核的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是； ； ； 【小问2详解】 解：， （人）． 所以，估计此次测试评分在73分及以上的学生人数为960人； 【小问3详解】 解：设复核的2份为，无需复核的为， 由图可知，共有12种可能结果，其中抽到1份需要复核，1份无需复核有8种结果． （抽到1份需要复核，1份无需复核）． 六、（本题满分12分） 21. 项目主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 项目准备：（1）正边形内角和度数； （2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于（周角）． 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 项目任务：（1）初步探究：单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为____①____， ，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为____②____， ，因此正五边形不能单独镶嵌． （2）实战应用：两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为___________③___________；第二步：建立镶嵌方程． 设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得：，符合条件的正整数解为． 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． （1）①___________；②___________； （2）③___________；④___________；⑤___________．⑥___________． 【答案】（1）； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据正多边形的内角公式进行计算即可； （2）先根据正多边形的内角公式求出正六边形的内角，再代入拼接处的方程，化简后，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：等边三角形每个内角为， 正五边形每个内角为； 【小问2详解】 解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， ∴符合条件的正整数解为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，长方形中，，为边上一点，连接，过点作交边于点．连接交于点． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，求出，易证和为等腰直角三角形，根据三角形内角和定理推出 ，根据，即可求解； （2）延长，交于点，由平行线分线段成比例定理和勾股定理可求 ，，，，即可求解； （3）先证明，进而得到是的垂直平分线，再证明 ，推出，根据勾股定理求出，再求出，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 和为等腰直角三角形， ， 又 ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， 又，， 又 ， ， ， ； 【小问3详解】 解：是长方形， ， 又， 在和中，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ． 八、（木题满分14分） 23. 已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）若该抛物线与轴交于点．连接，在抛物线段上有一动点，连接交于，求的最大值： （3）若自变量满足，此时函数的最大值为，最小值为，求的最大值．并求出此时的值． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）的最大值为7，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求解即可； （2）过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点，易得，从而，根据题意，求直线的解析式为，从而可求，，设，则，则，根据二次函数的性质，可得的最大值为，即可求的最大值； （3）根据二次函数，可知对称轴为，根据的取值分类讨论：当时，分别求出和，从而，再根据二次函数的性质，可得当时，最大值为7；当时，同理可得，则最大值小于4；最后两种情况进行比较，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ，解得， ； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点， ， ， ， 设解析式为，由题意可知， 则，解得， ， 时，， ， ， 设，则， ， ， 当时，取得最大值为，即取得最大值， 则最大值为； 【小问3详解】 ， 二次函数对称轴为， 当时，此时函数最大值，最小值， 则， ， 当时，最大值为7； 当时，此时函数最大值为，最小值为， ， 又， 最大值小于4， ， 时，取最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （试题卷） 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．考试结束时，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数在数轴上对应的点离原点最近的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（bie）臑（nao）”的几何体．它指的是由四个直角三角形围成的四面体．如图放置的“鳖臑”的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据海关数据，2025年中国全年进口原油577726000吨，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，且．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象与轴交于点，且不经过第四象限，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法判断 7. 如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 9. 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有恒成立 10. 如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为___________． 12. 关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是_____． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 14. 已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： （1）以点为位似中心将在网格中放大两倍得到，请画出． （2）借助网格：连接线段，用无刻度直尺作在上的中线． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 18. 某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求水面的高度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，以为直径作．交于点，是的切线且交于点．延长交于点，半径，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 为提升阅卷效率与公平性，某校在一次数学模拟测试后，采用智能批改+人工复核的方式对试卷进行评阅．工作人员随机抽取了部分试卷，对批改的得分情况进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表： 得分段（分） 频数 频率 10 0.05 30 0.55 50 请根据图表信息解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是___________，表中___________，___________； （2）若该校共有1200名学生参加测试，估计此次测试评分在73分及以上的学生人数； （3）现有4份经AI批改后的试卷，其中2份需要人工复核，另外2份无需复核．老师从中随机抽取2份试卷，求恰好抽到1份需要复核、1份无需复核的概率． 六、（本题满分12分） 21. 项目主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 项目准备：（1）正边形内角和度数； （2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于（周角）． 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 项目任务：（1）初步探究：单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为____①____， ，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为____②____， ，因此正五边形不能单独镶嵌． （2）实战应用：两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为___________③___________；第二步：建立镶嵌方程． 设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得：，符合条件的正整数解为． 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． （1）①___________；②___________； （2）③___________；④___________；⑤___________．⑥___________． 七、（本题满分12分） 22. 如图，长方形中，，为边上一点，连接，过点作交边于点．连接交于点． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，求的长； （3）若，求的值． 八、（木题满分14分） 23. 已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）若该抛物线与轴交于点．连接，在抛物线段上有一动点，连接交于，求的最大值： （3）若自变量满足，此时函数的最大值为，最小值为，求的最大值．并求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $